第二十一章 21.2.3 因式分解法 自学练 2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 21.2.3 因式分解法 自学练
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．方程的两个根的和是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．一元二次方程的根是（　　）
A． B．5 C．不能确定 D．或5
3．已知方程，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或0
4．已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a，b满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．0 D．1
6．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
8．已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
9．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
10．如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．
二、填空题
11．用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是 ，一元二次方程的解是 ．
12．若，则的值为 ．
13．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ．
14．一元二次方程的解是 ．
15．如果的值与的值相等，则 ．
16．一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
三、解答题
17．解方程．
(1)（公式法）；
(2)（配方法）；
(3)（因式分解法）．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值．
参考答案：
1．C
解：∵，
∴或，
∴，，
∴，
2．D
解；∵，
∴或，
∴或，
3．D
解：，
∴或，
解得：，
当时，；
当时，．
4．A
解：∵关于的方程的两个根为．
∴原方程为：．
∴二次三项式可分解为．
5．A
解：设，则，
∴，
整理，得：．
∵存在实数a，b满足，
∴关于b的一元二次方程有解，
∴，
∴，
解得：，
∴，即的最小值为．
6．A
解：，
设，则原方程化为：，
，
，
7．C
解：∵，
∴，即．　
设，则．
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴一元二次方程必有一根为2026．
8．B
解： ，，是方程的解，
令，，满足方程，即．
，，
方程的解是：，．
9．C
解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
10．A
解：是一元二次方程的根，
，
即，
解得，或（不合题意，舍去）．
∴，，
在中，，
，
的周长．
11． ，
解：∵，
∴要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是；
由得，由得，
故一元二次方程的解是，，
故答案为：；，
12．
解：设，
则原式可化为：，
即，
解得：或，
，
故，
故答案为：．
13．2
解：设，则由原方程，得
，
整理，得
，
解得或（舍去）．
则，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为．
故答案为：2．
14．，
解：
，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
15．或1
解：根据题意得：，
∴，
分解因式得：，
∴，，
解方程得：，．
故答案为：或1．
16．
解：，
，
解得：，，
菱形一条对角线长为6，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线为，
菱形的面积为，
故答案为：．
17．(1)；
(2)，；
(3)，．
（1）解：，
，，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：
两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，
即，
开平方，得，
即，，
∴，．
（3）解：原方程可变形为．
∴．
∴，，
∴，．
18．(1)见解析
(2)k的值为12或3
（1）由题意得：
∴方程有两个不相等的实数根
（2）∵，即
解得：
当为直角边时，，解得：
当为斜边时，，解得：（不合题意，舍）
综上：k的值为12或3
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