第二十一章 21.3 实际问题与一元二次方程 自学练 2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 21.3 实际问题与一元二次方程 自学练 2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
8．某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
10．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
11．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
12．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则 ．
14．某中学学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了毕业留言1640份，则全班共有学生 名．
15．如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知花园的占地面积为670平方米，设小路的宽为米，则可列方程为 .
16．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价元，可列方程为 ．
17．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于．
三、解答题
18．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
19．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
20．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
21．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件．
(1)求11月、12月这两个月的月平均增长率．
(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？
22．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍．
(1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？
(2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值．
23．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，当点到达点或点到达点时，两点停止移动，如果分别是从同时出发，秒钟后．

(1)求出的面积；
(2)当的面积等于8平方厘米时，求的值；
(3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案：
1．B
解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得：，
2．C
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
3．A
设教育经费的年平均增长率为，
依题意得：，
4．C
解：设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
5．B
解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺，
根据题意得：．
6．A
解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，
根据题意有：，
7．C
解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，此时这个两位数为，
当时，，此时这个两位数为，
综上所述，这个两位数为25或36，
8．D
解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：
，
9．B
解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
10．A
解：设t秒后，的面积等于4
由题意得：，，则
整理得：
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
11．C
设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，
甲共行走：，
，
，
又，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
即甲走了步，
12．C
解：设班级有x名学生，由题意，得：；
13．
解：由题意得：，
故答案为：．
14．41
解：设全班共有学生名，
则
或（舍去）
全班共有学生41名．
故答案为：41．
15．或
解：设小路的宽为米，
根据题意得：，
或，
故答案为：或．
16．
涨价元，则可减少销售量为个，实际销售量为个，实际销售价为元，则所获利润为元，
由题意得：，
故答案为：．
17．2或4/4或2
解：设经过秒，的面积等于，则，，
根据题意，可得：，
即，
解得：，，
∴经过或，的面积等于，
故答案为：2或4．
18．(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
19．(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元
(2)的值为
（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，
∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元，
∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去），
∴的值为．
20．(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
21．(1)
(2)10元
（1）解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x．根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）．
答：11月、12月这两个月的月平均增长率为．
（2）解：设当模型降价m元时，该商店获利5570元．根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）．
答：每件模型应降价10元．
22．(1)中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元
(2)的值为
（1）解：设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
中果车厘子单价：（元），
答：中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元；
（2）水果店购买大果的数量：（斤），
水果店购买中果的数量：（斤），
网购中果的单价为：（元），
网购大果的单价为：，
网购中果的数量：（斤），
网购大果的数量：（斤），
根据题意得：，
解得：或（舍去），
的值为．
23．(1)
(2)或
(3)不存在
（1）解：根据题意可得：
，，
，
；
（2）解：根据题意得：
令，
解得：，，
当的面积等于8平方厘米时，或
（3）解：根据题意得：
令，
整理得：，
，
方程无解，
不存在的面积等于10平方厘米．
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