第 十二章 全等三角形 添加辅助线 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版八年级上册

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第十二章 全等三角形 添加辅助线 专项练
-2025学年上学期初中数学人教版八年级上册
1．阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
2．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
3．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
4．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
5．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
6．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
7．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
8．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．
9．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
10．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
参考答案：
1．（1）；（2）见解析；（3）见解析．
（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
2．(1)度
(2)
（1）解：∵为的角平分线，
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：在上截取，连接．
∵为的角平分线．
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
3．（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
4．见解析
解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
5．详见解析
如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
【点睛】
6．见详解
过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DF，
∵，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴ FMD CME，
∴．
7．(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
8．略
【详解】证明：连接AC，AD
∵AF⊥CD且F是CD的中点
∴可知AF是CD的垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
∴AC=AD，
在和中
9．(1)
(2)证明见解析
（1）解：选方法一来证明，
是的中线，
在和中
，
，
在中，
，
，
即：，
，
（2）解：延长到F使，连接，如图所示；
点D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
10．(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析
（1）如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
（2）图2成立，图3不成立．
证明：如图2，延长到K使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
如图3，如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
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