绵阳南山中学2024年秋季高2023级半期考试
数学试题参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选 项 A A B C C D C D ABC AD ACD
填空题
12. 9 13. 14.
四、解答题
15.解：(Ⅰ)法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以,所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；
法二：因为，设AD边所在直线的方程为：
又因为直线AD过点，所以将点代入上式得:．所以AD边所在直线的方程为：；
(Ⅱ)由，得：，得AC所在直线的方程：，即．
16.解：（Ⅰ）由题可设圆C的方程为，则有，解得；所以圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）因为，所以过的切线有两条，当斜率存在时，设切线方程为：即，所以有：，解得：；
所以的方程为：。
17.解：（Ⅰ）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（Ⅱ）由（1）得直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（Ⅰ）由已知,所以C的标准方程为：；
（Ⅱ）设，则有两式相减可得：
即，
即，为定值；
（Ⅲ）设的方程为：，，
由消去得： ，
令，，当且仅当时，取“=”，所以面积的最大值为1.
19.解:（Ⅰ）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P轨迹方程为
（Ⅱ）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为。
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，
由可得，所以，
代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.2024年 11月
绵阳南山中学 2024 年秋季高 2023 级半期考试
数学试题
命题人：蒋伟 审题人：郑科 青树国
本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共 4页，满分 150 分，时间 120 分钟.
注意事项：
1、答题前，请将本人的信息用 0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对
应位置上；
2、选择题的答案，必须使用 2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对
应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用 2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔；
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的.
1.直线 x 3y 2023 0的倾斜角是（ ）
A.30 B.60 C.120 D.150
2.在 ABC中， B( 2,0),C(2,0), AB AC 6,则顶点 A的轨迹方程（ ）
2
A. x y
2 2 2
1(x 3) B. x y 1(x 2)
9 5 9 4
x2 2 2 2C. y 1 D. x y 1
9 5 9 4
3.已知 B为 A(1,2, 1)在坐标平面Oyz内的射影，则 OB ( )
A. 3 B. 5 C.2 D. 6
4.直线 l : x cos y sin 1与圆O : x2 y 2 1的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
2 2
5. x y与椭圆 1共焦点且过 P(2,1)的双曲线方程为（ ）
6 3
x2 2A． y2 1 B． x2 y 1
4 2
2 2
C x． y2 1 D x． y2 1
2 3
6.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AC1 3MC1,若 AB a, AD b, AA1 c,
则MD1 =（ ）
1 1 2 2
A. a b c B. a b c
3 3 3 3
1 1 1 1 2
C. a b c D. b c a
3 3 3 3 3
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7.已知四棱锥 P ABCD的底面为正方形，PA 平面 ABCD，PA AB 1，点 E是 BC的中
点，则点 E到直线 PD的距离是（ ）
A 5 5 3 2 2． B． C. D．
4 2 4 2
8.在平面直角坐标系Oxy中，点 A(4,0),B(1,0),C(0,1)，若点 P满足 PA 2 PB ，则
PO 2 PC 2 的最大值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错项得 0 分.
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ）
A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B.若非零向量 a,b,c，满足 a // b,b // c,则有 a // c
C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
1 1
D.设OA,OB,OC为空间的一组基底，且OD OA OB OC,则 A,B,C,D四点共2 2
2 2
10. x y若方程 1所表示的曲线为C，则（ ）
5 m m 1
A．曲线C可能是圆
B.当m 2时，表示焦点在 x轴上的椭圆，焦距为 2
C．若1 m 5，则C为椭圆
D．若C为椭圆，且焦点在 x轴上，则1 m 3
11.过点 P 0,t t R 的直线与圆C : (x 2) 2 y 2 3相切，切点分别为 A,B，则（ ）
5
A．当 t 0时， AB 3 B．存在 t R，使得 APB
6
1
C．直线 AB经过点 ( ,0) D．直线 PC与直线 AB的交点在定圆上
2
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.
x2 y2
12.双曲线 1的左右焦点分别是 F1,F2，M 是双曲线左支上一点，且 MF1 5,则4 12
MF2 .
2 2
13. x y已知椭圆 1(a b 0) 的左 右焦点分别为 F ,F ,过 F 作 x轴垂线交椭圆于 P，若
a2 b2 1 2 2
F1PF2 30 ，则该椭圆的离心率是 .
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14.如图所示，在四面体 ABCD中， BCD为等边三角形， ADB ，则平面 ABD与
2
平面 ACD夹角的最大值是 .
第 14题图
四、解答题：本题共 5小题，满分 77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点M (3,5)，AB边所在直线的
方程为 x 3y 8 0,点N (0,6)在 AD边所在直线上．
(Ⅰ) 求 AD边所在直线的方程；
(Ⅱ) 求对角线 AC所在直线的方程．
16. (15分)
已知圆C与 y轴相切，其圆心在 x轴的正半轴上，且圆C被直线 y x截得的弦长为 2 2 .
(Ⅰ) 求圆C的标准方程；
(Ⅱ) 若过点 P 0,3 的直线 l与圆C相切，求直线 l的方程.
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17.（15分）
如图所示，在几何体 ABCDEFG中，四边形 ABCD和 ABFE均为
边长为 2的正方形，AD / /EG，EG 1,平面 ABFE 平面ABCD
M、N分别为DG、EF的中点.
(Ⅰ) 求证：MN / /平面CFG；
(Ⅱ) 求直线 AN与平面CFG所成角的正弦值．
18．（17分）
x2 y2
在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C : 2 2 1(a b 0)的右焦点为F ( 3,0)，短轴长为 2.a b
过点 F 且不平行于坐标轴的直线 l与椭圆C交于 A,B两点，线段 AB的中点为M .
(Ⅰ) 求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ) 证明：直线OM 的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值；
(Ⅲ) 求 AOB面积的最大值.
19. (17分)
定义：M是圆 C上一动点，N是圆 C外一点，记 MN 的最大值为 m， MN 的最小值为 n，
若m 2n，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“ E F ”
2 2 1
的“钻石点”.已知圆 A： x 1 y 1 ，P为圆 A的“黄金点”
3
(Ⅰ) 求点 P的轨迹方程；
(Ⅱ) 已知圆 B： (x 2)2 (y 2)2 1，P，Q均为圆“ A B ”的“钻石点”.
(ⅰ) 求直线 PQ的方程；
1
(ⅱ) 若圆 H是以线段 PQ为直径的圆，直线 l : y kx 与圆 H交于 I，J两点，对于
3
任意的实数 k，在 y轴上是否存在一点 W，使得 y轴平分 IWJ ？若存在，求出点 W的坐标；
若不存在，请说明理由.
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