2024-2025学年浙江省宁波市三锋联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市三锋联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线：与直线：的距离是( )
A. B. C. D.
3.“”是“曲线表示椭圆”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，，圆：，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )
A. 的周长为 B. 面积的最大值为
C. 椭圆的焦距为 D. 椭圆的离心率为
10.已知圆与圆交于，两点，则( )
A. 两圆的公切线有条
B. 直线方程为
C.
D. 动点在圆上，则的最大值为
11.如图，已知正方体的棱长为，点，在四边形所在的平面内，若，，则下述结论正确的是( )
A. 二面角的平面角的正切值为
B.
C. 点的轨迹是一个圆
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，，，则 ______．
13.已知正四面体的棱长为，空间中一点满足，其中，，，且则的最小值______．
14.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过点．
若与直线：垂直，求的方程；
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
16.本小题分
已知直线：，与圆：交于，两点，点在圆上运动．
当时，求；
已知点，求的中点的轨迹方程．
17.本小题分
在直三棱柱中，、分别是、的中点，，，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．
求证：平面；
求与平面所成的角；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为．
求椭圆的方程；
设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程．
若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值若是求出定值，若不是说明理由．
参考答案
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15.解：由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
若在两坐标轴上的截距为，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或．
16.解：由题意可知：圆：的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得．
设，
因为点，且为的中点，则，
又因为点在圆上，则，整理得，
所以点的轨迹方程为．
17.解：证明：因为为直三棱柱，
则平面，且，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，且，分别是，的中点，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
则，取，则，，
则平面的一个法向量为，
因为平面，且，
则平面．
由可知，平面的一个法向量为，且，
则点到平面的距离．
18.证明：，是的中点，，
故四边形是菱形，从而，
沿着翻折成后，，，
又，
平面，
由题意，易知，，
四边形是平行四边形，故AE，
平面；
解：平面，
与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
是正三角形，，
与平面所成的角为；
假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
，，，， 四点共面，
又平面，，
四边形为平行四边形，故，
为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且．
19.解：由题可得：，
解得：，，
故椭圆的方程为；
由知，，，
若直线的斜率不存在，则，
代入椭圆方程可得，故，
此时，
故直线斜率存在，如图，
设直线的斜率为，则的方程为，，，
联立 ，化简得：，显然，
则，，
所以
，
化简得：，即，
解得，
所以直线的方程为：；
依题意，设椭圆上的点，则过点的切线方程为：，
即，又，则，，
则原点到切线的距离为，
又，
同理，
则，
故，为定值．
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