牛顿运动定律的应用（等时圆问题） 专项练 2025年高考物理一轮复习备考

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牛顿运动定律的应用（等时圆问题） 专项练
2025年高考物理一轮复习备考
一、单选题
1．如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则（　　）
A．a球最先到达M点
B．b球最先到达M点
C．c球最先到达M点
D．a、c、b三球依次先后到达M点
2．如图所示，在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道到大环上，，欲使物体（视为质点）从P点由静止释放，沿此倾斜轨道滑到大环的时间最短，已知重力加速度为g，则（　　）

A．物体在光滑斜轨上滑行的加速度为
B．轨道长为
C．最短时间为
D．最短时间为
3．如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD三点，其中轻杆AC与斜面垂直，，把可看成质点的质量为m的圆环依次沿三根轻杆从A点由静止滑下，滑到斜面过程中的平均速度分别为、、，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度都为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环滑到d的时间，则（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，竖直平面内存在半径为R的大圆和半径为r的小圆，两个圆的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B两点，A点为大圆的最高点，另一条轨道一端交于大圆的C点.另一端交于小圆的D点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条轨道的顶端A、C由静止释放，分别滑到B点和D点（假设物体能够无障碍地穿过CD与圆的交叉点），物体在两条轨道上的运动时间分别为、，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，是一个倾角为的传送带，上方离传送带表面距离为的处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在与传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从处到达传送带的时间为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为，为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图所示，位于竖直平面内的固定圆环与水平地面相切于M点，A点是圆环水平直径的左端点，B、C位于圆环的同一水平线上，AB、AM、AC是三条光滑倾斜直轨道，a、b、c三个小球分别由A点从静止开始释放，分别运动到B、M、C点，则下列说法正确的是（　　）
A．球a运动到B点所用的时间最短 B．球b运动到M点所用的时间最长
C．球c运动到C点所用的时间最长 D．三球所用的时间一样长
9．如图所示，让物体同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处，P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为θ1、θ2则（　　）
A．物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为sinθ1: sinθ2
B．物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为cosθ1: cosθ2
C．物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为1:1
D．两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cosθ1: cosθ2
三、解答题
10．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。
（1）如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系；
（2）若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。
11．如图甲所示， bc是竖直面内一根固定的光滑细杆，a、b、c位于同一圆周上，圆的半径为R，a点为圆周的最高点，c点为最低点。让一个小滑环从 b点由静止释放到达c 点；如图乙所示，在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的 P 点搭一光滑斜轨道到大环上，，欲使物体（视为质点）从 P 点由静止释放，沿此倾斜轨道滑到大环。已知重力加速度为 g。
（1）求小滑环从b点运动到c点的时间；
（2）求物体从 P 点滑到大环的最小时间。
参考答案：
1．C
设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论
B点在圆外，有
tb>ta
C球做自由落体运动，有
tc＝
故有
tc2．D
B．如图建立一个与大圆相内切的等时圆，如图所示。

设其半径为r，由几何关系得
解得
由等时圆可知，从P点运动到切点M为最短时间，由几何关系可知
则轨道长度
选项B错误；
CD．由等时圆可知从P到M的时间为
即最短时间为
选项C错误，D正确；
A．根据
可得
选项A错误。
3．B
因AB垂直于斜面底边，以AB为直径做圆，则必过C点，如图
圆环在杆AC上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得
联立解得
即从A点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得
由平均速度
又因为
可得
圆环从A到C的平均速度
圆环从A到D的过程有
则平均速度
则可得
综上可得
4．D
设某光滑细杆与竖直方向的夹角为θ，其上一小环受到重力和杆的支持力作用，由牛顿第二定律得
据几何关系得细杆长度为
环在杆上由静止做匀加速运动，由运动学公式有
解得
由计算结果可知，环沿细杆下滑时间与杆的倾斜程度无关，即
5．D
设轨道与竖直方向的夹角为，则物体在轨道上运动的加速度大小为
根据运动学公式可得
解得
设轨道与竖直方向的夹角为，则物体在轨道上运动的加速度大小为
根据运动学公式可得
解得
则有
6．D
如图所示
以处为圆的最高点作圆与传送带相切于点，设圆的半径为，从处建立一管道到圆周上，管道与竖直方向的夹角为，原料下滑的加速度为
管道长度为
由运动学公式可得
解得
可知从处建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等，故在与传送带间建立一管道，原料从处到传送带上所用时间最短；根据图中几何关系可得
可得
联立可得
7．BC
1号小球的加速度为
位移为
运动时间为
2号小球的加速度为
位移为
运动时间为
3号小球的加速度为
位移为
运动时间为
4号小球的加速度为
位移为
运动时间为
则
，
8．AC
设圆半径为R，从A点开始的倾斜直轨道与水平方向的夹角为，则小球下滑的加速度为
根据运动公式
解得
因越大，则时间越短，可知球a运动到B点所用的时间最短，球c运动到C点所用的时间最长。
9．BCD
A．物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律
解得
物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为
A错误；
B．末速度为
解得
速度之比为
B正确；
C．下滑的时间为
解得
下滑的时间之比为
C正确；
D．合外力之比为
D正确。
10．（1）；（2）
（1）设AB与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度
由运动学公式有
由几何关系知
解得
由上式可知，沿滑梯运动的时间t与滑梯和水平面间的夹角无关，同理可知
故
（2）画出以P点为最高点、半径为r与题图中圆外切的圆，如图
设切点为D，根据第（1）问的结论，当小朋友沿滑梯PD下滑时，在滑梯上运动的时间最短，由几何关系知
解得
结合第（1）问的结论有
11．（1）；（2）
（1）设ac与bc夹角为，则有
由几何关系得bc 细杆长度为
小滑环匀加速运动，根据运动学公式可得
联立解得
（2）如图建立一个与大圆相内切的等时圆
设其半径为，由几何关系得
解得
从 P 点运动到切点为最短时间，由（1）结论得
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