2024-2025学年浙江省“七彩阳光”高二上期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“七彩阳光”高二上期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，，分别为，的中点，，，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知直线与，若，则，之间的距离是( )
A. B. C. D.
6.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的个问题中，选手若能连续正确回答出个问题，则停止答题，晋级下一轮假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了个问题就晋级下一轮的概率为( )
A. B. C. D.
7.人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆如果卫星当作质点，地球当作半径为的球体，卫星轨道的近地点距离地面最近的点距离地面为，远地点距离地面最远的点距离地面为，且，，在同一直线上，则卫星轨道的离心率为( )
A. B. C. D.
8.点是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，棱长为的正方体中，则下列说法正确的是( )
A. 若点满足，则点到平面的距离等于
B. 若点满足，则的最小值是
C. 若点满足，则的最小值是
D. 若点满足，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线经过的定点坐标是 ．
13.已知某组数据为，，，，它的平均数为，方差为，则的值为 ．
14.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，，分别为的两个焦点，动点在上异于的左、右顶点，的重心为，若直线与的斜率之积为非零常数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．
求与两坐标轴围成的三角形面积
若直线，且到的距离为，求的方程．
16.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段的中点，为上的一点，且．
求直线与平面所成的角的正弦值
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于，两点．
求的值
若的角平分线交直线于点，证明：，，三点共线．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆和圆．
求圆与圆的外公切线的长
过圆上的任意一点作圆的两条切线，切点分别是，，设
求的值
求圆心到直线的距离的取值范围．
19.本小题分
在平面内，若点，分别是直线与圆上的动点，则称的最小值为直线与圆的“线圆距离”，类比到空间中，若点，分别是平面内与球表面上的动点，则称的最小值为平面与球的“面球距离”．
如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段上，且，点在线段上
求直线与外接圆的“线圆距离”
求平面与三棱锥外接球的“面球距离”
当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值．
参考答案
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15.解：直线的斜率是，其方程为：，令，则，令，则，
所求三角形面积为：．
直线的斜率是，设其方程为，所以，得或，
所以的方程为或．
16.解：连接，因为底面是正方形，侧棱平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
，，平面，
，，，取平面的法向量为，
又，，，而，，
记直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
设平面的法向量为，，，，
，即，取，
易知平面，取平面的法向量为，
记平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：因为，，得，，即，椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得，所以．
设直线倾斜角为，则，得，，
直线为：，得，而，
所以直线斜率为，直线斜率为，
得，所以，，三点共线．
18.解：圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
，
所以外公切线长为．
设点，则满足，得，
所以，
而，得，所以．
设点，以为直径的圆方程为，即，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为．
圆心到直线的距离为，
又因为点在圆上，即，，
所以，
设，且，
由函数的单调性，得的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为
19.解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系，在平面上，外接圆的方程为：，直线的方程为：，即，圆心到直线的距离为，所以“线圆距离”是．
三棱锥外接球的球心为，半径为，
球心到平面的距离等于，所以“面球距离”为．
，，，，
设，则，，，，
记平面的法向量为，则，即，
取，所以点到平面的距离为，
当球与平面相切或相交时，即“面球距离”为零，所以，即，
令，代入得，即，得，
所以的最大值是
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