2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省绵阳市南山中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.设，，与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：互相平行，且，之间的距离为，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.已知，，则“”是“直线和直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.两条直线：和：在同一直角坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
6.在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为( )
A. B. C. D.
7.已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为( )
A. B. C. D.
8.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则
B. 坐标平面内过点的直线方程可以写成
C. 直线过点，且原点到的距离是，则的方程是
D. 若是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 若，，三点在一条直线上，则
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D. 直线的方向向量为，则该直线的斜率为
11.在三棱锥中，，，两两垂直，平面于点，设，，，的面积分别为，，，，下列命题中正确的是( )
A. 可能为直角三角形 B. 点为的垂心
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则在上的投影向量坐标为______．
13.已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则 ______．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线与直线交于点．
Ⅰ直线过点且平行于直线，求直线的方程；
Ⅱ直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线的方程．
注：结果都写成直线方程的一般式
16.本小题分
已知空间中三点，，．
若，且，求向量的坐标；
求的面积．
17.本小题分
如图，平行六面体中底面是边长为的正方形，，，设，，．
试用，，表示向量，并求；
求直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知直线：．
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程；
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程．
19.本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：Ⅰ根据题意，设直线的方程为，
，解可得，则的坐标为，
在直线上，则有，解可得，
则直线的方程为；
Ⅱ直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线不通过原点，且其斜率为或，
若直线的斜率为，则直线的方程为，即，
若直线的斜率为，则直线的方程为，即，
综合可得：直线的方程为或．
16.解：空间中三点，，，
可得，
，且，
设，
可得，
，解得，
或；
，，
，
，
，
．
17.解：由题意可得，
又，，，，
则，，
则，
即；
由题意可得，
则，
又，，
则，
即直线与所成角的余弦值．
18.解：直线的方程可化为，令，得直线过定点，在第二象限，
要使直线不过第四象限，则，
所以的取值范围是．
由题可知直线恒过定点且斜率为，结合图象知，
当与直线：垂直时，点到直线的距离最大，且，
此时，，
所以直线的方程为，即为．
由题意知，再由的方程，得．
依题意得，解得．
由，
当且仅当，且时取等号，此时，
所以，此时直线的方程为，即．
19.解：证明：取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示；
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
，
不妨设，
又，
，
；
又平面，
平面；
，，
设平面的法向量为，
，
令，则，，
，
，
平面与平面夹角的余弦值是；
设，；
，，
又平面的法向量为，
直线与平面所成角的余弦值为，
设与平面所成角为，
，
，
化简得，
解得或；
当时，，；
当时，，；
综上，．
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