2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，是棱上一点，且，是棱的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.两平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.用，，这个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为( )
A. B. C. D.
7.正四面体的棱长为，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两个随机事件，若，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，相互独立
D. 若，相互独立，则
10.已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为( )
A. 若点在平面内，则
B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ______．
13.在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______．
14.在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正方体的棱长为．
用空间向量方法证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知直线：，．
求恒过的定点的坐标；
若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
若乙回答了个问题，求乙至少有个回答正确的概率；
若甲、乙两人各回答了个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多个的概率；
假设某人连续次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答次被退出比赛的概率．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
求经过，的直线的点方向式方程；
已知平面：，平面：，平面：，若，，证明：；
已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
参考答案
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15.证明：由题，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
正方体的棱长为，
，，，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，，即；
，
，又平面，
平面；
，，
，
由知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：已知直线：，，
整理直线的方程，得，
联立方程组
解得所以直线恒过的定点的坐标为；
当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意；
当时，，
因为经过第一、二、三象限，所以，
解得或，
综上所述，的取值范围是．
17.解：取的中点，连接，显然，
由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，
又、底面，所以，，
因为是中点，易得，
则以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为；
由可知：，
设平面的一个法向量为，
则由，取，可得，，
则平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由图可知二面角为钝角，设其为，
所以，
则，
故二面角的正弦值为．
18.解：某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，
甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．
假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响，乙回答了个问题，
记“乙至少有个回答正确”为事件，
乙至少有个回答正确的概率为．
甲、乙两人各回答了个问题，记“乙答对个问题”为事件，“甲答对个问题”为事件，
则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多个的事件为：
，
甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多个的概率是：
．
设“甲答对第个问题”为事件，
则甲恰好回答次被退出比赛为事件，
甲恰好回答次被退出比赛的概率为：
．
19.解：，，
直线的方向向量为，
直线的点方向式方程为；
证明：由平面为：，
平面的法向量为，
由平面为：，
平面的法向量为，
设交线的方向向量为，
则根据题意可得，取，
又平面：的法向量为，
，又，
；
设侧面所在平面的法向量，
又平面经过三点，，，
，
，，取，
又平面：的法向量为，
由可求得平面与平面的交线的方向向量为，
平面：的法向量为，
由，
解得，，
，
平面与平面夹角的大小为．
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