人教版2024年八年级上册第11-13章阶段性基础提升练习 含答案
文档属性
| 名称 | 人教版2024年八年级上册第11-13章阶段性基础提升练习 含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 553.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-11 21:14:33 | ||
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文档简介
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人教版2024年八年级上册第11-13章阶段性基础提升练习
一．选择题
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2、2、4 B．8、6、3 C．2、6、3 D．11、4、6
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
4．若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得（ ）
A．α＝50° B．α＝60° C．x＝18 D．x＝20
5．如图，AB⊥BC于B，DE⊥AC于E，AB＝CE，AC＝CD．则△ABC≌△CED的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
6．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
7．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．40cm B．36cm C．27cm D．24cm
二．填空题
9．点A（a，4），点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）2023＝ ．
10．如图，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝145°，则∠COD＝ ．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝5，则点D到AB的距离为 ．
12．如图，在ABC中，DE垂直平分AC，交AC边于点E，交BC边于点D，若AE＝3cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为 ．
13．等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 ．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 ．
三．解答题
15．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．
16．如图，在△ABC和△BDE中，点C在线段BD上，AC与BE交于点F．若AC＝BD，BF＝CF，BC＝BE．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若∠D＝58°，∠ABE＝52°，求∠ACB的度数．
17．如图，△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延长到E，使DE＝AD．求证：∠C＝∠EBC．
18．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）若∠ABC＝∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
19．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 ；
（2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为14cm，求FC的长．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC．
（1）求证：△BCE是等边三角形．
（2）若BC＝3，求DE的长．
人教版2024年八年级上册第11-13章阶段性基础提升练习
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、2+2＝4，不能组成三角形；
B、3+6＞8，能够组成三角形；
C、3+2＝5＜6，不能组成三角形；
D、4+6＜11，不能组成三角形．
故选：B．
2．【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
3．【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7，
故选：A．
4．【解答】解：由题意得，50°角对应的边长为10，
∴α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴70°角对应的边长为20，
∴x＝20．
故选：D．
5．【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥AC
∴∠ABC＝∠CED＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CED中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），
故选：D．
6．【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
7．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
8．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，
∴DE＝DC+CE＝40（cm），
答：两堵木墙之间的距离为40cm．
故选：A．
二．填空题
9．【解答】解：∵点A（a，4），点B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣4，
则（a+b）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1；
故答案为：﹣1．
10．【解答】解：∵△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵∠AOC＝145°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝145°﹣100°＝45°，
故答案为：45°．
11．【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝5，
∴DE＝5．
故答案为：5．
12．【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3cm，AD＝DC，
∵△ABD的周长为15cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝15cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝AB+BC+AE+CE＝15+3+3＝21（cm），
故答案为：21cm．
13．【解答】解：当4cm为腰时，三边为4cm、4cm、6cm，可以构成三角形，
∴周长为：4+4+6＝14（cm）；
当6cm为腰时，三边为6cm、6cm、4cm，可以构成三角形，
∴周长为：6+6+4＝16（cm）；
综上，周长为14cm或16cm．
故答案为：14cm或16cm．
14．【解答】解：如图所示，连接CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△BDE（SAS），
∴CE＝BE，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°，
同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，
∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，
∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°，
故答案为：40°．
三．解答题
15．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2），
答：△A1B1C1的面积是3；
（3）如图所示，点P即为所求；
∴P（2，0）．
16．【解答】（1）证明：∵BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
在△ABC与△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（SAS），
∴AB＝DE；
（2）解：由（1）知，△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝58°，
∵∠A+∠ABE+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠FCB，
∴58°+∠52°+2∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝35°．
17．【解答】证明：∵D为BC的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDE＝∠CDA，DE＝AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴∠C＝∠EBC．
18．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）解：∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
19．【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°，
∴∠A+∠B＝70°，
∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°，
∴∠MCN＝40°，
故答案为：40°；
（2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠MCN＝α，
∴，
∴，
∵∠ACB+∠MFN＝180°，
∴，
故答案为：；
（3）如图，
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为6cm，
∴AB＝6cm，
∵△FAB的周长为14cm，
∴FA+FB+AB＝14cm，
∴FA+FB＝8cm，
∵DF，EF分别垂直平分AC和BC，
∴FA＝FC，FB＝FC，
∴2FC＝8cm，
∴FC＝4cm．
20．【解答】证明：（1）在△ABC中，
∵∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵DE垂直平分AC，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠A＝30°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形；
（2）由（1）得，EC＝BC＝3，
Rt△ECD中，∵∠ECD＝30°，
∴DE＝EC＝．
人教版2024年八年级上册第11-13章阶段性基础提升练习
一．选择题
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2、2、4 B．8、6、3 C．2、6、3 D．11、4、6
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
4．若图中的两个三角形全等，则依据所标数据可得（ ）
A．α＝50° B．α＝60° C．x＝18 D．x＝20
5．如图，AB⊥BC于B，DE⊥AC于E，AB＝CE，AC＝CD．则△ABC≌△CED的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
6．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
7．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．40cm B．36cm C．27cm D．24cm
二．填空题
9．点A（a，4），点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）2023＝ ．
10．如图，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝145°，则∠COD＝ ．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝5，则点D到AB的距离为 ．
12．如图，在ABC中，DE垂直平分AC，交AC边于点E，交BC边于点D，若AE＝3cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为 ．
13．等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 ．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 ．
三．解答题
15．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．
16．如图，在△ABC和△BDE中，点C在线段BD上，AC与BE交于点F．若AC＝BD，BF＝CF，BC＝BE．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若∠D＝58°，∠ABE＝52°，求∠ACB的度数．
17．如图，△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延长到E，使DE＝AD．求证：∠C＝∠EBC．
18．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）若∠ABC＝∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
19．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 ；
（2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为14cm，求FC的长．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC．
（1）求证：△BCE是等边三角形．
（2）若BC＝3，求DE的长．
人教版2024年八年级上册第11-13章阶段性基础提升练习
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、2+2＝4，不能组成三角形；
B、3+6＞8，能够组成三角形；
C、3+2＝5＜6，不能组成三角形；
D、4+6＜11，不能组成三角形．
故选：B．
2．【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
3．【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7，
故选：A．
4．【解答】解：由题意得，50°角对应的边长为10，
∴α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴70°角对应的边长为20，
∴x＝20．
故选：D．
5．【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥AC
∴∠ABC＝∠CED＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CED中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），
故选：D．
6．【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
7．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
8．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，
∴DE＝DC+CE＝40（cm），
答：两堵木墙之间的距离为40cm．
故选：A．
二．填空题
9．【解答】解：∵点A（a，4），点B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣4，
则（a+b）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1；
故答案为：﹣1．
10．【解答】解：∵△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵∠AOC＝145°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝145°﹣100°＝45°，
故答案为：45°．
11．【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝5，
∴DE＝5．
故答案为：5．
12．【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3cm，AD＝DC，
∵△ABD的周长为15cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝15cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝AB+BC+AE+CE＝15+3+3＝21（cm），
故答案为：21cm．
13．【解答】解：当4cm为腰时，三边为4cm、4cm、6cm，可以构成三角形，
∴周长为：4+4+6＝14（cm）；
当6cm为腰时，三边为6cm、6cm、4cm，可以构成三角形，
∴周长为：6+6+4＝16（cm）；
综上，周长为14cm或16cm．
故答案为：14cm或16cm．
14．【解答】解：如图所示，连接CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△BDE（SAS），
∴CE＝BE，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°，
同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，
∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，
∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°，
故答案为：40°．
三．解答题
15．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2），
答：△A1B1C1的面积是3；
（3）如图所示，点P即为所求；
∴P（2，0）．
16．【解答】（1）证明：∵BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
在△ABC与△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（SAS），
∴AB＝DE；
（2）解：由（1）知，△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝58°，
∵∠A+∠ABE+∠FBC+∠FCB＝180°，∠FBC＝∠FCB，
∴58°+∠52°+2∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝35°．
17．【解答】证明：∵D为BC的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDE＝∠CDA，DE＝AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴∠C＝∠EBC．
18．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）解：∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
19．【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°，
∴∠A+∠B＝70°，
∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°，
∴∠MCN＝40°，
故答案为：40°；
（2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠MCN＝α，
∴，
∴，
∵∠ACB+∠MFN＝180°，
∴，
故答案为：；
（3）如图，
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为6cm，
∴AB＝6cm，
∵△FAB的周长为14cm，
∴FA+FB+AB＝14cm，
∴FA+FB＝8cm，
∵DF，EF分别垂直平分AC和BC，
∴FA＝FC，FB＝FC，
∴2FC＝8cm，
∴FC＝4cm．
20．【解答】证明：（1）在△ABC中，
∵∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵DE垂直平分AC，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠A＝30°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形；
（2）由（1）得，EC＝BC＝3，
Rt△ECD中，∵∠ECD＝30°，
∴DE＝EC＝．