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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2.能运用等式的基本性质进行等式变形。 3.能利用等式的基本性质解一元一次方程。 4.能根据二元一次方程组的系数特征，灵活选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。 5.经历对现实问题中量的分析、用字母表示未知数、建立两个量之间的关系这一过程，知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达。 6.经历一次方程(组)模型的建立，模型意识和应用意识得到加强。 7.※能解简单的三元一次方程组
内容分析 本章内容属于《义务教育数学课程标准(2022年版)》中的“数与代数”领域，是“方程与不等式”主题的重要内容，本章内容的编写是在学生已经学过代数式以及有理数运算的基础上展开的。一元一次方程是数与代数部分的核心内容之一，它不仅是解决许多实际问题的工具，还是学习更复杂的方程和不等式的基础。学习一元一次方程，理解代数方程的基本概念和求解方法，能为后续的数学学习打下坚实的基础，一元一次方程在实际生活中具有广泛的应用，也是数学与其他学科交叉应用的桥梁.在利用方程解决问题的过程中，可以培养学生的推理能力、模型观念和应用意识等核心素养。
学情分析 在前面几章内容的学习中，学生对数与式以及数与式的运算已经有了初步的认识和理解，尤其是在“代数式”以及“整式的加减”两章中，学生对分析实际问题中的数量关系以及用代数式表示数量关系都有了初步的认识和理解，这些都为本章研究方程及其相关知识作铺垫.该年龄阶段的学生对复杂问题和抽象符号的理解不够，加之在小学阶段，用算术的方法解应用题是数学课的重要内容，这使学生已经习惯用算术的方法解决实际问题.面对如何设未知数，如何寻找相等关系，如何用含有未知数的等式表示相等关系等问题，学生会有一定的畏难情绪，因此从算术方法过渡到方程方法还有一定的困难，因此本章需要引导学生体会在面对复杂问题时方程方法的优势，从而更重视对方程的学习。
单元目标 （一）教学目标 1.能从具体问题中分析出数量关系，列出方程，理解方程的意义和方程的概念。 2.了解方程的解和解方程的概念，知道一元一次方程的概念。 3.理解关于等式的两个基本事实，掌握等式的性质1和性质2，能利用等式的性质解简单的一元一次方程。 4.熟练掌握一元一次方程求解的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；理解每个步骤的变化依据；能熟练地解一元一次方程。 5.能在实际问题中分析出复杂、隐蔽的数量关系，能列出一元一次方程并求解，能利用方程的解的意义解决实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.能从具体问题中分析出数量关系，列出方程，理解方程的意义和方程的概念。 2.了解方程的解和解方程的概念，知道一元一次方程的概念。 3.理解关于等式的两个基本事实，掌握等式的性质1和性质2，能利用等式的性质解简单的一元一次方程。 教学难点： 1.熟练掌握一元一次方程求解的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；理解每个步骤的变化依据；能熟练地解一元一次方程。 2.能在实际问题中分析出复杂、隐蔽的数量关系，能列出一元一次方程并求解，能利用方程的解的意义解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3. 1等量关系和方程认识方程和方程的解13. 2 等式的基本性质了解等式的基本性质，掌握移项、去括号、去分母33. 3 一元一次方程的解法会解一元一次方程13. 4 一元一次方程的应用一元一次方程解决实际问题23. 5 认识二元一次方程组认识二元一次方程组和二元一次方程组的解13. 6 二元一次方程组的解法会用代入法、加减法解二元一次方程组23. 7 二元一次方程组的应用二元一次方程组解决实际问题23. 8 三元一次方程组认识三元一次方程组1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 3.1等量关系和方程结合实例，了解方程的解和解方程的概念，会验证方程的解，知道一元一次方程的概念，能判断方程和一元一次方程。体会方程模型的重要性，了解一元一次方程的概念。能正确理解方程作为解决实际问题的数学模型的作用。任务一：在具体情境中感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。 任务二：通过观察、归纳一元一次方程的概念。 3. 2 等式的基本性质1.理解关于等式的两个基本事实，掌握等式的性质1和性质2。 2.结合实例，会利用等式的性质解方程。理解和应用等式的性质，应用等式的性质，把简单的一元一次方程化为“x=a”的形式。 任务一：掌握等式的性质。 任务二：会运用等式的性质解简单的一元一次方程。 任务三：练习巩固。1.结合实例，理解移项在解方程中的作用，能根据数学问题列一元一次方程； 2.能按照移项、合并同类项、系数化为1的过程解方程。1.在现实的情景中理解等式的性质，并能正确运用等式的性质。 2．运用移项法解一元一次方程。任务一：利用等式的基本性质解一元一次方程； 任务二：通过具体实例归纳出移项法则； 任务三：用移项法、合并同类项解方程。 1.结合实例，了解去括号、去分母在解方程中的作用； 2.运用去括号法则解带有括号的一元一次方程。 3.掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法。 1.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程. 2.在具体情境中会用去分母的方法解一元一次方程. 任务一：运用去括号法则解带有括号的一元一次方程。 任务二：掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法。 3. 3 一元一次方程的解法知道解一元一次方程的一般步骤，能根据数学问题列一元一次方程，能按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的过程解方程 掌握解一元一次方程的基本方法，能熟练求解一元一次方程 任务一：能熟练求解一元一次方程. 任务二：练习巩固。 3. 4 一元一次方程的应用结合实例,理解利用一元一次方程解决实际问题的基本过程,能根据数量关系比较复杂的问题(例如分配问题和效率问题等)列一元一次方程并求解。借助图表分析复杂问题中的数量关系，进一步体会方程解决问题的作用，树立把实际问题转化为数学问题的思想。任务一：探究行程问题。 任务二：探究“和差倍分”问题。 任务三：探究效率问题。结合实例,理解利用一元一次方程解决实际问题的基本过程,能根据数量关系比较复杂的问题列一元一次方程并求解。运用图示法寻找问题中的相等关系，列方程解决行程中的相遇和追击问题。任务一：探究行程问题。 任务二：列方程解决行程中的相遇和追击问题。3. 5 认识二元一次方程组1．理解二元一次方程（组）及其解的概念； 2．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解； 3．能根据简单的实际问题列出二元一次方程组。二元一次方程（组）及其解的概念． 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组任务一：探究二元一次方程（组）及其解的概念。 任务二：练习巩固。3. 6 二元一次方程组的解法1．熟练掌握代入消元法的基本步骤，提高基本运算能力； 2．通过独立思考，小组合作，探究用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程的规律和方法； 会用代入消元法解二元一次方程组。 任务一：探究用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。 任务二：用代入消元法解二元一次方程组。1．熟练掌握加减消元法的基本步骤，提高基本运算能力； 2．通过独立思考，小组合作，探究用加减法消元过程的规律和方法； 会用加减法消元解二元一次方程组。 任务一：探究加减法的消元过程． 任务二：会用加减法消元解二元一次方程组．3. 7 二元一次方程组的应用初步掌握列二元一次方程组解应用题，学会构建实际问题中的等量关系，培养分析问题、解决问题的能力；根据题意找出等量关系，根据等量关系列出二元一次方程组解应用题。任务一：会根据题意找出等量关系。 任务二：能根据等量关系列出二元一次方程组解应用题。会正确运用表格分析问题中的等量关系，会列二元一次方程组解决较复杂的实际问题，培养分析问题的能力。能找到能表示应用题全部含义的等量关系，根据等量关系列出方程组。任务一：会根据题意找出等量关系。 任务二：能根据等量关系列出二元一次方程组解应用题。3. 8 三元一次方程组1.熟练掌握三元一次方程组的概念及解法，提高基本运算的能力； 2.通过独立思考，小组合作，探究解三元一次方程组的方法。 理解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组。任务一：理解三元一次方程组的概念。 任务二：会解简单的三元一次方程组。
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分课时教学设计
《3.5 认识二元一次方程组》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《认识二元一次方程组》这节课选自湘教版初中数学七年级上册第3章第5节的内容,本节课主要学习了二元一次方程（组）的概念以及二元一次方程（组）的解。方程是刻画现实世界实际意义的重要模型，具有广泛的应用，在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，同时也是中考常见考点，本节课是一元一次方程的延伸，同时也是为后面学习二元一次方程组解决生活中的实际问题以及函数做下铺垫，也为其他学科的学习奠定基础，因此本节课有着承上启下的作用。
学习者分析 从学生的特征来说，七年级的学生年龄小、思维活跃、好奇心强积极主动，希望平等对待，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，厌烦空洞的说教，爱发表自己的见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的素材，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
教学目标 1.通过类比迁移，能归纳二元一次方程组及解的概念、特点，能举例说明。 2.通过自学课本，会判断给定的两个数值是否为二元一次方程组的解，能通过列表求出二元一次方程组的解。 3.能通过实际问题列出二元一次方程组，并能求解解决问题。 4.能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解辩证统一的思想。
教学重点 通过与一元一次方程的类比来认识二元一次方程,通过列表求解讨论掌握二元一次方程（组）的解。
教学难点 引导学生运用“实际问题- - 数学问题的”建模意识来理解和探索二元一次方程的解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 教师提问：1.什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫作一元一次方程. 2.解一元一次方程的基本步骤是什么？ ①去分母②去括号③移项④合并同类项 ⑤系数化为1 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ 你能根据其中的等量关系列出一元一次方程吗？ 设兔有x只，则鸡有（35 - x）只. 由题意，得 4x + 2（35 - x）= 94.学生活动1： 通过复习前面学习的一元一次方程，为本节课学习新知识奠定基础。 教师提出问题，学生尝试利用已学知识解决这个问题。活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 教师出示问题： 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ 题目中的等量关系是什么？ （1） 兔的只数+鸡的只数=35； （2） 兔的脚数+鸡的脚数=94. 若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？ x + y = 35 4x + 2y = 94 列出的方程还是一元一次方程吗？ 观察上面两个方程，和一元一次方程有什么相同点和不同点？ 不同点：上面两个方程含有两个未知数. 相同点：这两个未知数的次数都是1次. 总结:含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 【注意】二元一次方程的三个要素 (1)含有两个未知数； (2)含未知数的项的次数都是1； (3)是整式方程. 【例】下列方程是二元一次方程的是( A ) A. x +2y=3 B. x2 +y=1 C. y+ =2 D. 3xy=5 要解决上述“鸡兔同笼”问题，（1）（2）两个等量关系需要同时成立，也即未知数x，y必须同时满足上述两个方程. 于是将两个方程联立，得 x + y = 35 ① 4x + 2y = 94 ② 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组. 做一做： （1） 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： 由上表可知，x = 1，y = 34/x = 2，y = 33/…/x = 34，y = 1都能使方程x + y = 35 两边的值相等，因而它们都是方程 x + y = 35 的解 . 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 要注意的是，如果不考虑方程 x + y = 35 与前面实际问题的联系，那么 x =-1，y = 36/x = 0. 5，y = 34. 5/…也都是方程x + y = 35的解. 一般地，一个二元一次方程有无数组解. （2） 下表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出. x = 12，y = 23 既满足方程①，又满足方程②. 也就是说，x = 12，y = 23是方程①与方程②的公共解 . 于是，将这两个数写成（12，23）的形式，它就是由方程①和②组成的方程组的一个解. 一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2）叫作这个方程组的一个解.习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组.学生活动2： 学生根据教师提示，列出题目中的等量关系。 学生根据等量关系列出方程。 师生总结二元一次方程的定义 学生探究用去括号法解决加减混合运算。 师生探究二元一次方程组的概念。 师生归纳二元一次方程组及解的概念、特点，判断给定的两个数值是否为二元一次方程组的解，能通过列表求出二元一次方程组的解。 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：典例精析教师活动3： 【例】小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元. （1） 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱＝17元， 购买练习本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱＝1元. 解： 根据等量关系，得 3x + 2y = 17， ① 3x - 2y = 1. ② （2）x=3,y=4是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 解：把x用3，y用4分别代入方程①②可得： 方程①左边的值是3 × 3 + 2 × 4 = 17，方程①右边的值也是17； 方程②左边的值为3 × 3 - 2 × 4 = 1，方程②右边的值也是1. 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解. 【总结归纳】 判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法： 将这组数值分别代入二元一次方程组中的每个方程，若满足每一个方程，则这组数值是此方程组的解；若不满足其中任何一个方程，则这组数值不是此方程组的解.学生活动3： 学生完成例题。 学生总结判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法。 活动意图说明：通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 课题：3.5 认识二元一次方程组 一、二元一次方程 二、二元一次方程组 三、二元一次方程组的解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列方程中，是二元一次方程的有( A ) ①2x-5=y； ②x-4=1； ③2xy=3；④2x+y+z=7；⑤5x+ =2； ⑥x2+=8. A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 2.下列各个方程组中，属于二元一次方程组的是( C ). 3.下面4组数值中，只有一组值是二元一次方程3x－2y＝6的解，它是( C ). 4.是下列哪个方程组的解？（ D ） 选做题： 5.已知关于x，y的方程xa＋1－2yb－2＋3＝0是二元一次方程，则a＋b＝( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组为( A ) 【综合拓展类作业】 7.为支援抗灾前线，某企业采购甲、乙两种抗灾物资共540 t，甲物资的价格为3万元/t，乙物资的价格为2万元/t，采购这两种物资共花费1 380万元. (1)为了求出甲、乙两种物资各采购了多少吨，设甲种物资采购了x t，乙种物资采购了y t，你能建立关于x，y的二元一次方程组吗？ 解：由题意，得关于x，y的二元一次方程组为 解：把代入方程①中，左边=右边， 把 代入方程②中，左边=右边， 所以是方程组的解.
课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 2.使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 3.只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知(m－2)x｜m｜－1＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝( D ) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 2.方程组的解是（ A ）. 选做题： 3.为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( C ). A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 4.暑假时，一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿.如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间客房还有5人没住满.设中学生的人数为x，旅店的客房数为y，则可列方程组为( A ) 【综合拓展类作业】 5.已知关于 x ， y 的方程( m2－4) x2＋( m ＋2) x ＋( m ＋1) y ＝ m ＋5. (1)当 m 为何值时，它是一元一次方程？ 解：当 m ＝－2时， m ＋2＝0， m ＋1≠0，此时方程为一
元一次方程； (2)当 m 为何值时，它是二元一次方程？ 【解】由题意得 m2－4＝0，解得 m ＝2或 m ＝－2. 当 m ＝2时，原方程可化为4 x ＋3 y ＝7，此时方程为二元一次方程.
教学反思 本节课的教学是概念性教学，备课中如果按教材编排去授课学生会感到单调无味，教师的单一讲解和空洞无味练习不会提高学生自身的能力，可是教师过于放手教给学生探索总结，只有极个别学生能够主动参与，教学就不是面向全体学生了，更谈不上不同层次学生有不同发展，因此，本节课采取的是情景教学，启发式教学和类比法合用，多媒体教学方法，从而培养学生的合作意识，互助意识，增强学生的数学应用意识．提高学生的语言表达能力、高度准确概括能力．
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（湘教版）七年级
上
3.5 认识二元一次方程组
一次方程（组）
第3章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.通过类比迁移，能归纳二元一次方程组及解的概念、特点，能举例说明。
2.通过自学课本，会判断给定的两个数值是否为二元一次方程组的解，能通过列表求出二元一次方程组的解。
3.能通过实际问题列出二元一次方程组，并能求解解决问题。
4.能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力,了解辩证统一的思想。
新知导入
思考：
1.什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫作一元一次方程.
2.解一元一次方程的基本步骤是什么？
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤系数化为1
新知导入
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？
你能根据其中的等量关系列出一元一次方程吗？
设兔有x只，则鸡有（35 - x）只.
由题意，得 4x + 2（35 - x）= 94.
新知讲解
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？
题目中的等量关系是什么？
（1） 兔的只数+鸡的只数=35；
（2） 兔的脚数+鸡的脚数=94.
若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
新知讲解
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？
设兔有x只，鸡有y只，则根据上述两个等量关系可列出以下两个方程：
（1） 兔的只数+鸡的只数=35
（2） 兔的脚数+鸡的脚数=94
x + y = 35
4x + 2y = 94
列出的方程还是一元一次方程吗？
新知讲解
知识点1：认识二元一次方程
x + y = 35
4x + 2y = 94
观察上面两个方程，和一元一次方程有什么相同点和不同点？
不同点：上面两个方程含有两个未知数.
相同点：这两个未知数的次数都是1次.
新知讲解
知识点：认识二元一次方程
含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
【注意】二元一次方程的三个要素
(1)含有两个未知数;
(2)含未知数的项的次数都是1;
(3)是整式方程.
新知讲解
A
【例】下列方程是二元一次方程的是( )
A. x +2y=3
B. x2 +y=1
C. y+ =2
D. 3xy=5
新知讲解
要解决上述“鸡兔同笼”问题，（1）（2）两个等量关系需要同时成立，也即未知数x，y必须同时满足上述两个方程.
于是将两个方程联立，得
x + y = 35 ①
4x + 2y = 94 ②
像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组.
新知讲解
做一做：
（1） 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25
由上表可知，x = 1，y = 34/x = 2，y = 33/…/x = 34，y = 1都能使方程x + y = 35 两边的值相等，因而它们都是方程 x + y = 35 的解 .
新知讲解
知识点：二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
要注意的是，如果不考虑方程 x + y = 35 与前面实际问题的联系，那么 x =-1，y = 36/x = 0. 5，y = 34. 5/…也都是方程x + y = 35的解.
一般地，一个二元一次方程有无数组解.
新知讲解
做一做：
（2） 下表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25
x = 12，y = 23 既满足方程①，又满足方程②.
也就是说，x = 12，y = 23是方程①与方程②的公共解 .
新知讲解
于是，将这两个数写成（12，23）的形式，它就是由方程①和②组成的方程组的一个解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2）叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
x=c1
y=c2
求方程组的解的过程叫作解方程组.
典例精析
【例】小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
（1） 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组.
分析：本题中等量关系如下：
购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱＝17元，
购买练习本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱＝1元.
典例精析
【例】小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
（1） 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组.
解： 根据等量关系，得
3x + 2y = 17， ①
3x - 2y = 1. ②
典例精析
【例】小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
（2） 是列出的二元一次方程组的一个解吗？
x=3
y=4
解：把x用3，y用4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3 × 3 + 2 × 4 = 17，方程①右边的值也是17；
方程②左边的值为3 × 3 - 2 × 4 = 1，方程②右边的值也是1.
因此， 是列出的二元一次方程组的一个解.
x=3
y=4
新知讲解
【总结归纳】
判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法：
将这组数值分别代入二元一次方程组中的每个方程，若满足每一个方程，则这组数值是此方程组的解;若不满足其中任何一个方程，则这组数值不是此方程组的解.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列方程中，是二元一次方程的有( )
①2x-5=y； ②x-4=1； ③2xy=3；④2x+y+z=7；
⑤5x+ =2; ⑥x2+ =8.
A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 6个
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.下列各个方程组中，属于二元一次方程组的是( ).
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.下面4组数值中，只有一组值是二元一次方程3x－2y＝6的解，它是( ).
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4. 是下列哪个方程组的解？（ ）
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.已知关于x，y的方程xa＋1－2yb－2＋3＝0是二元一次方程，则a＋b＝( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组为( )
A
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.为支援抗灾前线，某企业采购甲、乙两种抗灾物资共540 t，甲物资的价格为3万元/t，乙物资的价格为2万元/t，采购这两种物资共花费1 380万元.
(1)为了求出甲、乙两种物资各采购了多少吨，设甲种物资采购了x t，乙种物资采购了y t，你能建立关于x，y的二元一次方程组吗？
解：由题意，得关于x，y的二元一次方程组为
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.
解：把 代入方程①中，左边=右边，
把 代入方程②中，左边=右边，
所以 是方程组 的解.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
2.使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
3.只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组.
板书设计
课题：3.5 认识二元一次方程组
教师板演区
学生展示区
一、二元一次方程
二、二元一次方程组
三、二元一次方程组的解
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.已知(m－2)x｜m｜－1＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝( D )
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.方程组 的解是（ ）.
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3.为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( ).
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
C
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
4.暑假时，一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿.如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间客房还有5人没住满.设中学生的人数为x，旅店的客房数为y，则可列方程组为( )
A
【综合拓展类作业】
作业布置
5.已知关于 x ， y 的方程( m2－4) x2＋( m ＋2) x ＋( m ＋1) y ＝ m ＋5.
(1)当 m 为何值时，它是一元一次方程？
解：当 m ＝－2时， m ＋2＝0， m ＋1≠0，此时方程为一
元一次方程；
【综合拓展类作业】
作业布置
5.已知关于 x ， y 的方程( m2－4) x2＋( m ＋2) x ＋( m ＋1) y ＝ m ＋5.
(2)当 m 为何值时，它是二元一次方程？
【解】由题意得 m2－4＝0，解得 m ＝2或 m ＝－2.
当 m ＝2时，原方程可化为4 x ＋3 y ＝7，此时方程为二元一次方程.
Thanks!
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