(共21张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 认识勾股定理
1. 下列说法正确的是( D )
A. 若 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，则 a2＋ b2＝ c2
B. 若 a ， b ， c 是Rt△ ABC 的三边长，则 a2＋ b2＝ c2
C. 若 a ， b ， c 是Rt△ ABC 的三边长，∠ A ＝90°，则 a2
＋ b2＝ c2
D. 若 a ， b ， c 是Rt△ ABC 的三边长，∠ C ＝90°，则 a2
＋ b2＝ c2
D
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2. [2024北京三十五中开学]直角三角形的两条直角边长分别
为 a ， b ，斜边长为 c ，若 a ＝5， c ＝13，则 b 的值为
( C )
A. 4 B. 8
C. 12 D. 144
C
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3. 【情境题 生活应用】如图，某农舍的大门是一个木制的
长方形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对
的顶点间用一块木板加固，则木板的长为 .
2.5 m
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4. 在△ ABC 中，∠ C ＝90°， a ， b ， c 分别是∠ A ，∠B ，∠ C 的对边.若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝10，则 a ＝ ，
b ＝ .
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5. [2024青岛城阳区月考母题教材P4习题T4变式]已知等腰三角形的腰长为5 cm，底边上的中线长为4 cm，求它的面积.
解： 如图，因为 AB ＝ AC ＝5 cm， AD 为底边上的中线，
所以易得 AD ⊥ BC ， BD ＝ BC . 所以 BD ＝ ＝3(cm).
所以 BC ＝2 BD ＝6 cm.
所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝12 cm2.
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知识点2 勾股定理与面积计算
6. [2024西安交大附中月考母题教材P3随堂练习T1变式]如
图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，分别以 AB ， AC 为
边向外作正方形，面积分别为 ，若 S1＝41， S2＝
9，则 BC2＝( C )
C
A. 50 B. 40
C. 32 D. 23
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7. [2024榆林月考]如图是由两个直角三角形和三个正方形组
成的图形，其中阴影部分的面积是( D )
A. 169 B. 144
C. 36 D. 25
D
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8. [2024咸阳阶段练习]毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，如
图是一棵美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方
形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是3，5，2，3，则最大
正方形 E 的面积是( D )
A. 13 B. 26
C. 34 D. 47
D
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9. 在Rt△ ABC 中，斜边长 BC ＝3，则 AB2＋ AC2＋ BC2的值
为( A )
A. 18 B. 9
C. 6 D. 无法计算
A
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10. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，
则直角三角形的周长为( C )
A. 121 B. 120
C. 90 D. 不能确定
C
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11. [2023东营母题教材P17复习题T5变式]一艘船由 A 港沿北
偏东60°方向航行30 km至 B 港，然后再沿北偏西30°
方向航行40 km至 C 港，则 A ， C 两港之间的距离
为 km .
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12. [2024咸阳月考]如图，以Rt△ ABC 的三边为直角边分别
向外作等腰直角三角形.若斜边 AB ＝4，则图中阴影部
分的面积为 .
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13. 【新考法 分类讨论法】在△ ABC 中， AB ＝17， AC ＝
10，高 AD ＝8，则△ ABC 的周长是 .
48或36
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14. 如图是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大
正方形图案，如果大正方形的面积为16，小正方形的面
积为4，直角三角形的两直角边长分别为 a 和 b ，求( a ＋
b )2的值.
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解：因为大正方形的面积为16，
所以它的边长为4.
所以 a2＋ b2＝42＝16.
由题意得，4× × ab ＋4＝16，
所以2 ab ＝12.
所以( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2＝28.
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15. [新考法 数形结合法]数形结合是解决数学问题的一种重
要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得
直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些
代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进
行直观推导和解释.
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(1)如图①，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，以Rt△ ABC 的三边为边向外作正方形，面积分别为 S1， S2， S3，请直接写出 S1， S2， S3之间存在的等量关系为 .
S1＋ S2＝ S3
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解：结论仍成立.理由：设直角三角形两条直角边 BC ＝ b ， AC ＝ c ，斜边 AB ＝ a .由题图可得 S2＝ π ＝ ， S3＝ π ＝ ， S1＝ π ＝ .
所以 S1＋ S2＝ ＋ ＝ .
又因为在Rt△ ABC 中， b2＋ c2＝ a2，所以 S1＋ S2＝ S3.
(2)如图②，如果以Rt△ ABC 的三边长 a ， b ， c 为直径向外作半圆，那么(1)中的结论是否成立？请说明理由.
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(3)如图③，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，三边长分别为5，12，13，分别以它的三边长为直径向上作半圆，求图③中阴影部分的面积.
解：根据(2)中的结论，两个以直角边长为直径的半圆面积的和等于以斜边长为直径的半圆面积，所以阴影部分的面积＝直角三角形面积＝5×12÷2＝30.
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1(共9张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
1. 在△ ABC 中，若∠ A ＝30°，∠ B ＝60°， a ， b ， c 分
别是∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边，则下列式子不成立的是
( C )
A. b2＝ c2－ a2 B. a2＝ c2－ b2
C. b2＝ a2－ c2 D. c2＝ a2＋ b2
C
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2. [2024长春朝阳区期末]如图，四边形均为正方形，三角形
为直角三角形，最大的正方形的边长为7 cm ，则图中A，
B两个正方形的面积之和为 cm2.
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3. 若三角形的三个内角的比是1∶2∶3，最短边为1 cm，最
长边为2 cm，则这个三角形三个角的度数分别是
， ， ，另外一边的平方是 .
30°
60°
90°
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4. 一个直角三角形中两边长为5和12，则以第三边为边的正
方形的面积为 .
119或169
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5. 一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8 m，梯子的顶端下滑2 m后，底端滑动 m.
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6. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝7， BC ＝
24， CD ⊥ AB 于 D .
(1)求 AB 的长；
解：(1)因为在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝7， BC ＝24，所以 AB2＝ AC2＋ BC2＝72＋242＝625.所以 AB ＝25.
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(2)求 CD 的长.
解：(2)因为 CD 是边 AB 上的高，所以 AC · BC ＝ AB · CD ，即 ×7×24＝ ×25 CD ，解得 CD ＝6.72.
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7. 【教材P4习题T4变式】 如图，在△ ABC 中， AD 是
BC 边上的高， AB ＝15， AC ＝13， AD ＝12，求△
ABC 的面积.
解：因为 AD 是 BC 边上的高，
所以∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°，
所以 BD2＝ AB2－ AD2＝81， CD2＝ AC2－ AD2＝25，
所以 BD ＝9， CD ＝5，
所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝14，
所以△ ABC 的面积＝ × BC × AD ＝84.
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1(共20张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 有一个角是 的三角形是直角三角形；有两个
角 的三角形是直角三角形.
直角
互余
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1
2. 直角三角形的两个锐角 .
互余
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3. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的 或
.
一半
斜边
高与斜边乘积的一半
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4. 若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等
于( A )
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 140°
A
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5. [2024合肥经开区月考]△ ABC 的三角之比是1∶2∶3，则
△ ABC 是( B )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
B
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1
1. 直角三角形两直角边的 等于斜边的 .
如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜
边长，那么 .
平方和
平方
a2＋ b2＝ c2
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1
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长
的直角边称为 ，斜边称为 .因此，称上面的
结论为勾股定理.
勾
股
弦
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3. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( A )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A
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1
4. 在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对应边
分别是 a ， b ， c ，则下列式子成立的是( A )
A. a2＋ b2＝ c2 B. a2＋ c2＝ b2
C. a2－ b2＝ c2 D. b2－ c2＝ a2
A
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5. 【情境题 生活应用】如图，做一个长80厘米，宽60厘米
的长方形木框，需在相对角顶点钉一根加固木条，则木条
的长至少为( B )
A. 90厘米 B. 100厘米
C. 105厘米 D. 110厘米
B
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1
6. [2024烟台招远期末]下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母 S 表示所在正方形的面积.其中 S 的值恰好等于10的是( D )
D
A
B
C
D
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知识点1 认识勾股定理
在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分
别为 a ， b ， c .
(1)若 a ＝5， b ＝12，求 c 的值；
(1)因为 c2＝ a2＋ b2， a ＝5， b ＝12，所以 c ＝13.
解：如图，
(3)若 a ∶ c ＝3∶5， b ＝32，求 a ， c 的值.
(2)若 c ＝26， b ＝24，求 a 的值；
解：(2) 因为 a2＝ c2－ b2， c ＝26， b ＝24，所以 a ＝10.
解：(3)因为 a ∶ c ＝3∶ 5，所以设 a ＝3 x ( x ＞0)，则 c ＝5 x ，由勾股定理得，(3 x ) 2＋322＝(5 x ) 2，
解得 x ＝8，则 a ＝24， c ＝40.
变式1－1设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b ，斜边
长为 c .已知 b ＝8， c ＝10，则 a 的值为( B )
A. 2 B. 6 C. 5 D. 36
解：
B
变式1－2[2024庆阳期末]如图，在5×6的正方形网格中，点
A ， B 在格点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段 AB
的长为( C )
C
A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
解：
知识点2 勾股定理与面积计算
[2024西安雁塔区期末]如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形
A ， B ， C 的面积分别为2，8，5，求正方形 D 的面积.
解： 由勾股定理得，正方形 D 的面积＝正方形 A 的面积＋正方形 B 的面积＋正方形 C 的面积＝2＋8＋5＝15.
变式2－1如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，若 AB ＝
15，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为( A )
A
A. 225 B. 200
C. 150 D. 无法计算
解：
变式2－2如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，分别以 AB ， AC 和 BC 为直径作半圆，已知 S1＝5， S2＝2，
求 S3的值.
解： 由题意得 BC2＝ AB2＋ AC2.
因为 S1＝ π· ＝ AB2＝5，
S2＝ π· ＝ AC2＝2，所以 S3＝
π· ＝ ( AB2＋ AC2)＝ AB2＋ AC2＝5＋2＝7.(共19张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗？
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 直角三角形的判定
1. [教材P10习题T2变式]在△ ABC 中，若 AC2－ BC2＝
AB2，则( B )
A. ∠ A ＝90° B. ∠ B ＝90°
C. ∠ C ＝90° D. △ ABC 不是直角三角形
B
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2. [2024天津南开中学期中母题教材P10随堂练习T1变式]
以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是
( C )
A. 5，12，13 B. 6，8，10
C. 7，23，25 D. 8，15，17
C
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3. [2024石家庄外国语学校期末]下列条件中，不能判定△
ABC 是直角三角形的是( D )
A. ∠ A ＝∠ B ＋∠ C
B. a ∶ b ∶ c ＝5∶12∶13
C. a2＝( b ＋ c ) b － c )
D. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5
D
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4. 【情境题 环境保护】为了增强学生的环保意识和生态意
识，某中学在植树节当天组织了植树活动.如图，为了判
断种的小树是否笔直，种好树后，小明从 A 处拉了一根
2.5 m长的绳子刚好到距离树的底部2 m处，测得树干 AB
＝1.5 m，则小树与地面 (填“垂
直”或“不垂直”).
垂直
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5. 已知 a ， b ， c 为三角形的三边长，若有( a ＋ c )2＝ b2＋2
ac ，则这个三角形的形状是 三角形.
直角
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6. [2024佛山南海石门实验中学一模]已知△ ABC 的三边长分
别是6，8，10，则△ ABC 的面积是 .
24
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7. 【情境题 生活应用】如图，小圆家(点 C )和小方家(点 B )
相距2.6 km，他们同时从学校(点 A )放学回家，5分钟后
同时到家.已知小方沿东北方向每分钟骑车480 m，小圆每
分钟步行200 m，请求出小圆家在学校
的什么方位.
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解： 由题意得 AB ＝5×480＝2 400(m)＝2.4 km， AC ＝5×200＝1 000(m)＝1 km.
因为 BC ＝2.6 km，所以 AC2＋ AB2＝12＋2.42＝2.62＝ BC2.所以∠ CAB ＝90°.
又因为∠ NAB ＝45°，所以∠ CAN ＝45°.
所以小圆家在学校北偏西45°方向上.
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知识点2 勾股数
8. 下列各组数中，是勾股数的是( B )
A. 6，7，10 B. 9，40，41
C. 1，2，3 D. 4，5，8
B
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9. 【2024西安长安区二模新考向·传承数学文化】勾股定理
最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅
五”，观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；
10，24，26；12，35，37；14，48，50；…，我们发现，
当一组勾股数的勾为2 m ( m ≥3， m 为正整数)时，它的
股，径分别为 m2－1和 m2＋1.若一组勾股数的勾为26，则
径为 .
170
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10. [2024西安西工大附中月考]在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，
∠ C 的对边分别记为 a ， b ， c ，下列结论中不正确的是
( B )
B
A. 如果∠ A －∠ B ＝∠ C ，那么△ ABC 是直角三角形
B. 如果 a2＝ b2－ c2，那么△ ABC 是直角三角形且∠ C
＝90°
C. 如果∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝1∶3∶2，那么△ ABC 是直
角三角形
D. 如果 a2∶ b2∶ c2＝9∶16∶25 ，那么△ ABC 是直角三
角形
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11. 【2024西安长安区二模新考向·传承数学文化】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 a ， b ， c 的计算公式： a ＝ ( m2－ n2)， b ＝ mn ， c ＝ ( m2＋ n2)，其中 m ＞ n ＞0， m ， n 是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( C )
C
A. 3，4，5 B. 5，12，13
C. 6，8，10 D. 7，24，25
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12. [2024西安期中]如图所示，在△ ABC 中， AB ＝5， BC
＝12， AC ＝13，把△ ABC 沿 AD 折叠，使 AC 落在直线
AB 上.
(1)判断△ ABC 的形状，并说明理由；
解： △ ABC 是直角三角形，理由：
因为 AB ＝5， BC ＝12， AC ＝13，
所以 AB2＋ BC2＝52＋122＝169， AC2＝132＝169.所以 AB2＋ BC2＝ AC2.所以△ ABC 是直角三角形.
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1
(2)求阴影部分的面积.
解： 由(1)得△ ABC 是直角三角形，且∠ ABC ＝90°.
因为把△ ABC 沿 AD 折叠， AC 落在直线 AB 上，
所以AC'＝ AC ＝13，C'D＝ CD ＝12－ BD ，∠DBC'＝180°－∠ ABC ＝90°.
所以BC'＝AC'－ AB ＝8，BC'2＋ BD2＝C'D2，所以82＋ BD2＝(12－ BD )2，解得 BD ＝ .所以 S△BC'D＝ BC'· BD ＝ ，即阴影部分的面积是 .
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13. 【2023广东新考法·操作法】综合与实践
主题：制作无盖正方体纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个
相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
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猜想与说明：
(1)直接写出纸板上∠ ABC 与纸盒上∠ A1 B1 C1的大小关系；
解： ∠ ABC ＝∠ A1 B1 C1.
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(2)说明(1)中你发现的结论.
解： 因为 A1 C1＝ B1 C1，∠ A1 C1 B1＝90°，
所以∠ A1 B1 C1＝45°.
设每个小正方形的边长为1，连接 AC ，
则 AB2＝10， AC2＝ BC2＝5.
所以 AC2＋ BC2＝ AB2.所以△ ABC 是等腰直角三角形.
所以∠ ABC ＝45°.所以∠ ABC ＝∠ A1 B1 C1.
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1(共7张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
1. 【教材P17复习题T8变式】古埃及人曾经用如图所示的方
法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个
结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉
成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是
( B )
B
A. 直角三角形两个锐角互余
B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于180°
D. 勾股定理
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1
2. 若3，4， a 为勾股数，则 a 的值为( B )
A. 7 B. 5 C. 6 D. 2
B
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1
3. 在△ ABC 中， BC2－ AC2＝ AB2.若∠ B ＝25°，则∠ C
＝( C )
A. 20° B. 35°
C. 65° D. 75°
C
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1
4. 由下列条件不能判定△ ABC ( a ， b ， c 分别为∠ A ，∠B ，∠ C 的对边)为直角三角形的是( A )
A. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝1∶1∶4
B. c2－ a2＝ b2
C. a ＝3， b ＝4， c ＝5
D. ∠ A ＋∠ B ＝∠ C
A
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1
5. 如图，有一张四边形纸片 ABCD ， AB ⊥ BC . 经测得 AB
＝9 cm， BC ＝12 cm， CD ＝8 cm， AD ＝17 cm.
(1)求 A ， C 两点之间的距离.
解：(1) 连接 AC ，如图.
在Rt△ ABC 中， AB ＝9 cm， BC ＝12 cm，
所以 AC ＝ ＝ ＝15(cm)，
即 A ， C 两点之间的距离为15 cm.
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1
(2)求这张纸片的面积.
解：(2)因为 CD2＋ AC2 ＝ 82＋152＝ 172 ＝ AD2，
所以∠ ACD ＝ 90°，
所以四边形纸片 ABCD 的面积＝ S△ ABC ＋ S△ ACD ＝ AB · BC ＋ AC · CD ＝ ×9×12＋ ×15×8＝54＋60＝ 114(cm2).
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1(共20张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 有一个角是90°的三角形是 三角形.
直角
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1
2. 在△ ABC 中，如果∠ A ＋∠ B ＝90°，那么△ ABC
是 三角形，三边长满足： .
直角
AC2＋ BC2＝ AB2
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1
3. 【2024兰州期末情境题·生活应用】如图，一块边长为24米
的正方形绿地 ABCD 四周被小路环绕，点 M 在 BC 边上，
则居民从点 A 沿 A → B → M 到点 M 比从点 A 沿直线 AM
直接到点 M 要多走( D )
D
A. 5米 B. 25米
C. 12米 D. 6米
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1
4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，∠ CED ＝∠ A ，则
△ CDE 为( B )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上均有可能
B
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1
1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a ， b ， c 满
足 ，那么这个三角形是直角
三角形.
a2＋ b2＝ c2(答案不唯一)
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1
2. 勾股数的定义：满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为
勾股数.
正整数
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1
3. 【教材P10随堂练习T1变式】下列长度的三条线段能组成
直角三角形的是( A )
A. 3， 4，5 B. 2，3，4
C. 4，6，7 D. 5，11，12
A
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1
4. 【教材P10习题T1变式】在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C
的对边分别是 a ， b ， c ，且 a2－ b2＝ c2，则下列说法正
确的是( C )
A. ∠ C 是直角 B. ∠ B 是直角
C. ∠ A 是直角 D. ∠ A 是锐角
C
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1
5. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三
个数是 .
15
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1
6. [2024西安长安区期末]如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝
BC ＝2， CD ＝3， DA ＝1，且∠ B ＝90°，求∠ DAB 的
度数.
解： 连接 AC ，因为∠ B ＝90°， AB ＝ BC ＝2，所以 AC2＝8，∠ BAC ＝45°.
又因为 CD ＝3， DA ＝1，所以 AC2＋ DA2＝9， CD2＝9，
所以 AC2＋ DA2＝ CD2，所以△ ACD 是直角三角形，且∠ CAD ＝90°，
所以∠ DAB ＝135°.
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1
知识点1 直角三角形的判定
判断由线段 a ， b ， c 组成的三角形是不是直角三角形.
(1) a ＝7， b ＝24， c ＝25；
解：(1)因为72＋242＝252 ，即 a2＋ b2＝ c2，
所以由线段 a ， b ， c 组成的三角形是直角三角形.
(2) a ＝4， b ＝5， c ＝6；
解：(2)因为42＋52≠62，即 a2＋ b2≠ c2，
所以由线段 a ， b ， c 组成的三角形不是直角三角形.
(3) a ∶ b ∶ c ＝5∶13∶12.
解：(3)因为 a ∶ b ∶ c ＝5∶13∶12，
所以设 a ＝5 x ，则 b ＝13 x ， c ＝12 x .
因为(5 x )2＋(12 x )2＝(13 x )2，即 a2＋ c2＝ b2 ，
所以由线段 a ， b ， c 组成的三角形是直角三角形.
变式1[2024济南章丘区月考]如果△ ABC 的三边长 a ， b ， c
满足关系式( a ＋2 b －60)2＋｜ b －18｜＋｜ c －30｜＝0，试判断△ ABC 的形状.
解： 因为( a ＋2 b －60)2＋｜ b －18｜＋｜ c －30｜＝0，
所以 a ＋2 b －60＝0， b －18＝0， c －30＝0，
所以 a ＝24， b ＝18， c ＝30.
因为242＋182＝302，即 a2＋ b2＝ c2，
所以△ ABC 是直角三角形.
知识点2 勾股数
[2024西安爱知中学期中]下列四组数中，是勾股数的是
( A )
A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5
C. ， ， D. 32，42，52
笔记：
A
变式2 已知 m ＞0，若3 m ＋2，4 m ＋8，5 m ＋8是一组勾股
数，求 m 的值.
解： 由题意得，(3 m ＋2)2＋(4 m ＋8)2＝(5 m ＋8)2，解得 m
＝1.
【新考法 表格信息法】在学习完“勾股定理”后，善于思考的小涵发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如
下的表格中：
a 3 5 7 9 …
b 4 12 24 40 …
c 5 13 25 41 …
当 b ＝60时， a 的值为( A )
A
A. 11 B. 13
C. 15 D. 17
笔记：
变式3【新视角 规律探究题】观察下列勾股数：3，4，5；
5，12，13；7，24，25；9，40，41；…； a ， b ， c .
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)当 a ＝17时，求 b ， c 的值；
解： (1)通过观察可得 c － b ＝1.
因为 a ＝17， a2＋ b2＝ c2，所以172＋ b2＝( b ＋1)2，
所以 b ＝144，所以 c ＝145.
(2)当 a ＝2 n ＋1时，求 b ， c 的值.
解： (2)由题意得(2 n ＋1)2＋ b2＝ c2，
所以 c2－ b2＝(2 n ＋1)2，即( b ＋ c )( c － b )＝(2 n ＋1)2.
因为 c － b ＝1，所以 b ＋ c ＝(2 n ＋1)2.
所以2 b ＋1＝(2 n ＋1)2，
所以 b ＝2 n2＋2 n ，所以 c ＝2 n2＋2 n ＋1.(共17张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 勾股定理在生活中的应用
1. 如图，原来从 A 村到 B 村，需要沿路 A → C → B (∠ C ＝
90°)绕过两地间的一片湖，现在在 A ， B 间建好桥后，
就可直接从 A 村到 B 村.若 AC ＝5 km， BC ＝12 km，那
么，建好桥后从 A 村到 B 村比原来减少的路程为( B )
B
A. 2 km B. 4 km
C. 10 km D. 14 km
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2. 炎炎夏日，清凉解暑的饮品深受大家欢迎，如图是一个装
饮品的圆柱形的玻璃杯，现测得内径为5 cm，高为12 cm，有一支15 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为( B )
B
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 不能确定
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1
3. 某小区入口上方 A 处装有红外线激光测温仪(如图)，测温仪离地面的距离 AB ＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并显示人体体温.当身高
为1.8米的居民 CD 正对门缓慢走到离门0.8米
的地方时(即 BC ＝0.8米)，测温仪自动显示体
温，则居民头顶离测温仪的距离 AD 为多少米.
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1
解： 过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，
则易得 BE ＝ CD ＝1.8米，
ED ＝ BC ＝0.8米.
因为 AB ＝2.4米，
所以 AE ＝ AB － BE ＝0.6米.
所以在Rt△ ADE 中，易得 AD ＝1米.
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知识点2 勾股定理逆定理的应用
4. 【2024西安月考新视角·结论开放题】据说古埃及人曾用
下面的方法得到直角.如图①，他们用13个结把一根绳子
分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第
13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳
子，就会得到一个直角三角形，
其直角在第4个结处.仿照上面的
方法，你能否只用绳子，在图②
中设计一种不同于①的直角三角
形(只需画出示意图).
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解： (答案不唯一)如图，△ ABC 即为所求.
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知识点3 立体图形中两点之间的最短路径问题
5. 【情境题 体育运动】攀岩是一项在天然岩壁或人工岩
壁上进行的向上攀爬的运动项目(如图①).如图②，攀
岩墙近似地看作一个长方体的两个侧面，小天根据学
过的数学知识准确地判断出从点 A 攀爬到点 B 的最短
路程为 米.
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1
6. [2024渭南期中]如图，在圆柱的截面 ABCD 中， AB 和 CD
分别为下底面和上底面的直径， AB ＝ ， BC ＝10，动
点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面运动到 BC 的中点 S 的
最短路程为 .
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7. 【新趋势 跨学科】有诗曰：“平地秋千未起，踏板一尺
离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终
朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”(注：一
步等于五尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离
地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就
和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳
索始终拉得很直，试问绳索有多长？”其示意
图如图所示，则绳索长为( C )
C
A. 12尺 B. 13.5尺
C. 14.5尺 D. 15.5尺
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1
8. [2024佛山顺德区月考]如图，在一个长为2米，宽为1米的
长方形草地上，堆放着一根正三棱柱木块，它的侧棱平行
且大于草地宽 AD ，木块从正面看到的是边长为0.4米的
正三角形，一只蚂蚁从 A 处到 C 处需要走的最短路程
是 米.
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9. [教材P15习题T4变式]如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学合作小组研究长方体纸盒的底面顶点 A 到长方体纸盒中与 A 相对的顶点 B 的表面最短距离.若该长方体纸盒的长为12 cm，宽为9 cm，高为5 cm，请你帮助该小组求出 A 点到 B 点的表面最短距离.(结果精确到
1 cm.参考数据：21.592≈466，18.442
≈340，19.242≈370)
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解： 将长方形 ACDF 与长方形 FDBG 在同一平面上展开，如图①所示，连接 AB . 根据勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋(5＋9)2＝340；将长方形 ACDF 与长方形 DCEB 在同一平面上展开，如图②所示，连接 AB . 根据勾股定理，得 AB2＝ BE2＋ AE2＝52＋(12＋9)2＝466；将长方形 AHGF 与长方形 FDBG 在同一平面上展开，如图③所示，连接 AB .根据勾股定理，得 AB2＝ AD2＋ BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以 A 点到 B 点的表面最短距离是如图①所示
的情况.此时 AB ≈18 cm.故 A 点
到 B 点的表面最短距离约为18 cm.
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10. 如图所示， A ， B 两块试验田相距200 m， C 为水源地，
AC ＝160 m， BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方
案修筑水渠.
甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到 A ， B ；
乙方案；过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H ，先从水源地 C
修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H
处，再从 H 处分别向 A ， B 进行修筑.
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(1)请判断△ ABC 的形状，并说明理由.
解： △ ABC 是直角三角形.理由如下：
因为 AC2＋ BC2＝1602＋1202＝40 000， AB2＝2002＝40 000，所以 AC2＋ BC2＝ AB2.
所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
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1
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.
解： 甲方案所修的水渠较短.说明如下：
因为△ ABC 是直角三角形，
所以△ ABC 的面积＝ AB · CH ＝ AC · BC .
所以 CH ＝ ＝ ＝96(m).
因为 AC＋BC＝280 m，CH ＋AH ＋BH＝ CH＋AB＝296 m，
所以 AC ＋ BC ＜ CH ＋ AH ＋ BH .
所以甲方案所修的水渠较短.
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1(共8张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
1. 如图， A ， C 之间隔有一湖，在与 AC 方向成90°角的 CB
方向上的点 B 处测得 AB ＝500 m， BC ＝400 m，则 AC 的
长为( A )
A. 300 m B. 400 m
C. 500 m D. 600 m
A
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1
2. 五根木棒长度分别为8，9，12，15，17，将其摆成两个直
角三角形，则正确的是( C )
A
B
C
D
C
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1
3. 如图，正方体的棱长为2 cm，点 B 为一条棱的中点.蚂蚁
在正方体侧面爬行，从点 A 爬到点 B 的最短路程
是 cm.
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1
4. [2024成都期末]如图所示，一圆柱高8 cm ，底面半径为2
cm ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底
面与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的
最短路程(π取3).
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1
解：将此圆柱侧面展开成平面图如图，连接AB.
因为圆柱的高为8 cm ，底面半径为2 cm ，
所以AC＝8 cm ，BC＝ BB' ＝ ×2π×2≈6( cm ).
所以AB＝ ≈ ＝10( cm ).
所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为10 cm .
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1
5. [2024宝鸡阶段练习]“儿童散学归来早，忙趁东风放纸
鸢”.又到了放风筝的最佳时节，某校八年级(1)班的小明
和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高
度CE(如图)，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD
的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出
风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明
的身高为1.5米.求风筝的垂直高度CE.
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1
解：根据题意知∠BDC＝ 90°，BD＝8米，BC＝17米，
所以CD＝ ＝ ＝15(米).易知DE＝1.5米，
所以CE＝CD＋DE＝15＋1.5＝16.5(米).
所以风筝的垂直高度CE为16.5米.
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4
5
1(共19张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 两点之间，线段 .
最短
2
3
1
2. 把圆柱的侧面沿高展开，得到的侧面展开图是一个
形或 形.
长
方
正方
2
3
1
3. 【新考法 展开法】如图，在一个圆柱的上、下底面处有
相对的 A ， B 两点，它们分别对应于圆柱侧面展开图的位
置正确的是( C )
A
B
C
D
C
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3
1
1. 在平面上寻找两点之间的最短路线是根据“两点之间，
，”在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，应将其展开成 ，利用平面图形中线段的性质确定最短路线.
线段最短
平面图形
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1
2. 【学科素养 应用意识】在解决一些有关求高度、宽度、
长度、距离等的问题时，要先结合题意把实际问题转化为
数学问题，构建直角三角形，把要求的量看成直角三角形
的一条边，已知直角三角形任意两条边的长度，可利
用 求出第三边的长度.
勾股定理
2
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1
3. 【情境题 生活应用】如图，若圆柱的底面周长是30 cm，
高是40 cm，从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部
B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是( D )
A. 80 cm B. 70 cm
C. 60 cm D. 50 cm
D
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1
4. 【2024西安新城区月考教材习题P15 T 4变式】如图所示，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现使一绳子从点 A 出发，沿长方体表面到达 C 处，则绳子最短
是 cm.
5
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1
5. [2024嘉兴期末]一艘轮船8：00从某港口出发向西航行，
10：00折向北航行，平均航速均为20千米/时，求11：30
时该轮船离该港口的距离.
解： 航线示意图如图所示.
由题意，可得 AB ＝20×2＝40(千米)， BC ＝20×1.5＝30(千米)，
所以由勾股定理得 AC ＝50千米，
所以11：30时该轮船离该港口的距离为50千米.
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知识点1 勾股定理在生活中的应用
【2024邯郸期末教材P15习题T5变式】如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它的茎秆高出水面30 cm.大风吹过，红莲被吹至一边，茎秆顶部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是多少？
解： 示意图如图所示， AD 是红莲高出水面的茎秆部分，即 AD ＝30 cm， DC 为移动的水平距离，即 DC ＝60 cm， B 是红莲的根部.
设 BD ＝ x cm，则 BA ＝(30＋ x )cm，由题意可得 BC ＝ AB
＝(30＋ x )cm.
在Rt△ BCD 中， CD2＋ BD2＝ BC2，即602＋ x2＝(30＋ x )2.
解得 x ＝45.所以水深45 cm.
变式1【情境题 生活应用】如图是一个滑梯示意图，若将滑
梯 BD 水平放置，则刚好与 DE 一样长，已知滑梯的高度 CE
为3米， BC 为1米.则滑道 BD 的长度为 .
解：
5米
知识点2 立体图形中两点之间的最短路径问题
【新考法 展开法】如图，长方体的长为20 cm，宽为10 cm，高为15 cm，点 B 与点 C 的距离为5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 去吃一滴蜂蜜，需要爬行的最短距离的平方是多少？
解：将长方体沿 CF ， FG ， GH 剪开，向前翻折，使面
FCHG 和面 ADCH 在同一个平面内，连接 AB ，如图①，
由题意可得， BD ＝ BC ＋ CD ＝5＋10＝15(cm)， AD ＝15 cm，
在Rt△ ABD 中，根据勾股定理得， AB2＝450；
将长方体沿 DE ， EF ， FC 剪开，向上翻折，使面 DEFC 和
面 ADCH 在同一个平面内，连接 AB ，如图②，
由题意得， BH ＝ BC ＋ CH ＝5＋15＝20(cm)， AH ＝10 cm，
在Rt△ ABH 中，根据勾股定理得， AB2＝500；
将长方体沿 HA ， AI ， IG 剪开，向下翻折，使面 HGIA 与
面 CFGH 在同一个平面内，连接 AB ，如图③，
由题意可得， CA ＝ CH ＋ HA ＝15＋10＝25(cm)， BC ＝5 cm.在Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 AB2＝650.
因为450＜500＜650，
所以需要爬行的最短距离的平方是450.
变式2[2024南安期末]葛藤是一种多年生草本植物，为获得更
多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着树干底部沿最短路线盘旋而上.如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是3尺，当一段葛藤从点 A 绕树干盘旋1圈升高4尺至点 B 处时，求这段葛藤的长度.
解： 将树干侧面展开如图所示.
由题意得 AC ＝3尺， BC ＝4尺，由勾股定理，得 AB ＝5尺.
所以这段葛藤的长度为5尺.(共10张PPT)
第一章 勾股定理
培优拔高练 勾股定理的应用
1. [2024襄阳襄州区阶段练习]我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3，
若EF ＝6，则 S1＋ S2＋ S3的值是( D )
D
A. 32 B. 38
C. 48 D. 108
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2. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀
算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图①
是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其
面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入长方形 KLMJ
内得到的，∠ BAC ＝90°， AB
＝6， BC ＝10，点 D ，E ， F ，
G ， H ， I 都在长方形 KLMJ 的
边上，则长方形 KLMJ 的面积为
( B )
B
A. 420 B. 440 C. 430 D. 410
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点拨：如图，延长 AB 交 KL 于 P ，延长 AC 交 LM 于 Q ，
由题意得，∠ BAC ＝∠ BPF ＝∠ FBC ＝90°， BC ＝BF ，
所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝90°＝∠ PBF ＋∠ ABC .
所以∠ ACB ＝∠ PBF .
所以△ ABC ≌△ PFB (AAS).所以 PB ＝ AC .
同理可得△ ABC ≌△ QCG . 所以 CQ ＝ AB .
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所以 AC ＝8， CQ ＝ AB ＝ AD ＝6.
所以 PB ＝ AC ＝ AI ＝8.
所以 IP ＝8＋6＋8＝22， DQ ＝6＋8＋6＝20.
所以长方形 KLMJ 的面积＝22×20＝440.
因为在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝6， BC ＝10，
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3. 【问题探究】(1)如图①，在锐角三角形 ABC 中，分别以
AB ， AC 为边向外作等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三
角形 ACD ，使 AE ＝ AB ， AD ＝ AC ，∠ BAE ＝∠ CAD
＝90°，连接 BD ， CE ，请判断 BD 与 CE
的数量关系，并说明理由；
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解： BD ＝ CE . 理由如下：
因为∠ CAD ＝∠ BAE ＝90°，
所以∠ BAD ＝∠ EAC ＝90°＋∠ BAC .
因为 AB ＝ AE ， AD ＝ AC ，
所以△ ABD ≌△ AEC (SAS).
所以 BD ＝ CE .
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【深入探究】(2)如图②，在四边形 ABCD 中， AB ＝5，
BC ＝2，∠ ABC ＝∠ ACD ＝∠ ADC ＝45°，求 BD2的
值；甲同学受到(1)的启发构造了如图所
示的一个和△ ABD 全等的三角形，将 BD
进行转化再计算，请你准确叙述辅助线的
作法，再计算.
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解：在△ ABC 的外部作Rt△ BAE ，使∠ BAE ＝90°， AE ＝ AB ，连接 BE ， CE .
因为∠ ACD ＝∠ ADC ＝45°，
所以∠ CAD ＝90°， AC ＝ AD .
所以∠ EAC ＝∠ BAD ＝90°＋∠ BAC .
所以△ EAC ≌△ BAD (SAS).
所以 EC ＝ BD . 所以 EC2＝ BD2.
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易得∠ ABE ＝45°.因为∠ ABC ＝45°，
所以∠ CBE ＝45°＋45°＝90°.
因为 AE ＝ AB ＝5，∠ BAE ＝90°，
所以 BE2＝ AB2＋ AE2＝52＋52＝50.
因为 BC ＝2，
所以 EC2＝ BC2＋ BE2＝22＋50＝54.所以 BD2＝54.
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