(共22张PPT)
第二章 实数
1 认识无理数
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 无理数的发现
1. [2024西安长安区期中]如图，用两个边长为1的小正方形
纸片剪拼成一个大正方形，则下列关于大正方形边长 a 的
说法正确的是( D )
A. a 是整数 B. a 满足 a2＝4
C. a 是分数 D. a 比2小
D
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2. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的
边分别为 a ， b ， c .
(1)①当 a ＝1， c ＝2时， b2＝ ；
②当 a ＝3， c ＝5时， b2＝ ；
③当 a ＝0.6， c ＝1时， b2＝ .
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0.64
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(2)通过(1)中计算出的 b2的值，我们知道 b 是整数的是 ， b 是分数的是 ， b 既不是整数，也不是分数的是
.(填序号)
②
③
①
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知识点2 估算无理数数值的大小
3. [教材P23做一做变式]一个正方形的面积是31，估计它的边
长大小应该在( B )
A. 5与5.5之间 B. 5.5与6之间
C. 6与6.5之间 D. 6.5与7之间
B
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4. 已知在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝1， BC ＝3，则
AB 的值应该在( B )
A. 3.0与3.1之间 B. 3.1与3.2之间
C. 3.2与3.3之间 D. 3.3与3.4之间
B
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知识点3 无理数的概念
5. 【新考向 数学文化】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学
派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数
之比(分数)表示.后来，这一学派的希伯索斯发现，边长
为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比表示，
由此引发了第一次数学危机.这里“不能用整数或整数之
比表示的数”是指( C )
C
A. 质数 B. 负数
C. 无理数 D. 有理数
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6. 【新考法 概念辨析法】下列说法不正确的是( B )
A. 无理数是无限不循环小数
B. 无限小数是无理数
C. 任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数
D. 含有π的数是无理数
B
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7. [2024西安铁一中期中]下列各数中，是无理数的是( C )
A. 面积为16的正方形的边长
B. 体积为27的正方体的棱长
C. 两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长
D. 长为4，宽为3的长方形的对角线长
C
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8. 若 a2＝11( a ＞0)，则 a 是一个 数，精确到百分位
约是 .
无理
3.32
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9. 【新视角 结论开放题】公元前500年，古希腊毕达哥拉斯
学派的成员希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长
不能用有理数表示.为了纪念他，人们把这些数取名为无
理数.请你写出一个无理数： .
π(答案不唯一)
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10. [教材P23例变式]把下列各数填入它所属的集合内：
－ ，0， ，0.050 050 005…， ，300，－ ，
－｜－3.14｜ ，－0. .
(1)有理数集合：{－ ，0， ，300，－ ，－｜－
3. 14｜，－0. ，…}；
(2)无理数集合：{0.050 050 005…， ，…}.
－ ，0， ，300，－ ，
－｜－3.14｜，－0. ，
0.050 050 005…， ，
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11. 面积为15的正方形的周长 x 满足( D )
A. 3＜ x ＜4 B. 4＜ x ＜8
C. 8＜ x ＜12 D. 12＜ x ＜16
D
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12. [教材P22习题T1变式]如图是由16个边长为1的小正方形
拼成的大正方形，连接 CA ， CB ， CD ， CE ，这四条
线段中长度是无理数的有 条.
三
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13. 【新考法 方程建模法】无限循环小数如何化为分数呢？
设 x ＝0. ＝0.333…①，则10 x ＝3.333…②，由②－
①，得9 x ＝3，即 x ＝ ，所以0. ＝0.333…＝ .根据
上述提供的方法解决下列问题：
(1)把0. 化为分数为 ；
(2)把0. 化为分数为 .
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14. [2024成都青羊区期末]如图①是第七届国际数学教育大
会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三
角形演化而成的，其中 OA1＝ A1 A2＝ A2 A3＝…＝ A7 A8
＝1.如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么在
OA1， OA2， OA3，…， OA25这些线段中，有 条线
段的长度为正整数.
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15. [教材P25习题T2变式]面积为15π的圆的半径为 x ，请回
答下列问题：
(1) x 是有理数吗？
解： x 不是有理数.
(2) x 的整数部分是多少？
因为π x2＝15π，所以 x ＝ .
因为32＝9，42＝16，9＜15＜16，
所以3＜ ＜4，所以 x 的整数部分是3.
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(3)把 x 的值精确到0.1时是多少？精确到0.01时呢？
解： 把 x 的值精确到0.1时， x ≈3.9；把 x 的值精确到0.01时， x ≈3.87.
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16. [2024北京理工大学附中期中]如图，在4×4的正方形网
格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别
按下列要求画△ ABC .
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(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
解： 如图①，△ ABC 即为所求.(答案不唯一)
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(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
如图③，△ ABC 即为所求.(答案不唯一)
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
解： 如图②，△ ABC 即为所求.(答案不唯一)
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1(共16张PPT)
第二章 实数
1 认识无理数
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 整数(正整数、0、负整数)和分数统称为 .正整
数和正分数合称为 ，负整数和负分数合称
为 .因而 可分为正有理数、负有
理数和 .
有理数
正有理数
负有理数
有理数
0
2
1
2. 把下面的有理数填在相应的大括号里：
－ ，0，－0.15， ，－2.6，50％.
正数集合{ ，50％…}；
负数集合{－ ，－0.15，－2.6…}；
非负整数集合{0…}.
，50％
－ ，－0.15，－2.6
0
2
1
1. 无理数的定义： 称为无理数.
无限不循环小数
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3
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1
2. 任何有限小数或无限循环小数都是 ；π是一个
无限不循环小数，因此它 (填“是”或“不是”)一
个无理数.
有理数
是
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1
3. 【教材P25习题T2(1)变式】面积为6的正方形的边长为
( B )
A. 有理数 B. 无理数
C. 整数 D. 分数
B
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5
1
4. [2024淄博淄川区期末]下列说法中正确的是( D )
A. 有理数是有限小数
B. 无理数可以写成分数的形式
C. 无理数是无限循环小数
D. 无限不循环小数是无理数
D
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1
5. 【新考法 分类列举法】把下列各数填在相应的集合内.
5，π，－ ， ，1.131 331 333 1…(相邻两个1之间依
次多一个3)，1.6，0.
正分数集合{ ，1.6…}
非负整数集合{5，0…}
无理数集合{π，1.131 331 333 1…(相邻两个1之间依次多
一个3)…}
，1.6
5，0
π，1.131 331 333 1…(相邻两个1之间依次多
一个3)
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1
知识点1 无理数的发现
长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能是整
数吗？可能是分数吗？
解： 因为 ＝ ，所以长、宽分别是3，2的长方
形，它的对角线的长不是整数，也不是分数，是无理数.
变式1如图为边长为1的正方形组成的网格图， A ， B 两点在
格点上，设 AB 的长为 x ，则 x2＝ ，此时 x 整
数， 分数，所以 x 有理数.
5
不是
也不是
不是
知识点2 估算无理数数值的大小
如图，每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分(正方形)的面积是多少？
解：(1) S阴影＝2×2＋4× ×1×3＝4＋6＝10.
(2)阴影部分(正方形)边长的值在哪两个整数之间？
解：(2)因为9＜10＜16，所以3＜ ＜4，
所以阴影部分(正方形)边长的值在3与4之间.
(3)估计阴影部分(正方形)边长的值.(结果精确到0.01)
解：(3)因为3.1622＝9.998 244，
3.1632＝10.004 569，9.998 244＜10＜10.004 569，
所以3.162＜ ＜3.163.
所以 ≈3.16，
即阴影部分(正方形)边长的值约为3.16.
变式2【情境题 生活中的数学】国涛同学家的客厅是面积为
28平方米的正方形，设这个客厅的边长为 x 米，那么请你判
断一下 x 是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么 x
的最大取值是多少？
解： x ＝ ，它不是有理数.
因为52＜28＜62，所以5＜ ＜6.
因为5.2912＝27.994 681，5.2922＝28.005 264，27.994 681
＜28＜28.005 264，
所以5.291＜ ＜5.292.
所以 x 的最大取值是5.29.
知识点3 无理数的概念
【新考法 逐项判断法】有理数和无理数的区别在于
( B )
B
A. 有理数是有限小数，无理数是无限小数
B. 有理数能用分数表示，而无理数不能
C. 有理数是正的，无理数是负的
D. 有理数是整数，无理数是分数
笔记：
变式3 [2024延安阶段练习]将下列各数对应的序号填在相应
的集合里.
①－｜－2.5｜，②0，③－(－52)，④＋(－ )2，
⑤1.212 112 111 2…(相邻两个2之间依次多一个1)，
⑥－ ，⑦－π.
正数集合：{③④⑤…}
整数集合：{②③…}
负分数集合：{①⑥…}
无理数集合：{⑤⑦…}.
③④⑤
②③
①⑥
⑤⑦(共22张PPT)
第二章 实数
2 平方根
第1课时 算术平方根
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 算术平方根的定义
1. 把“49的算术平方根是7”用数学式子表示出来为
.
＝7
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2. [2023金昌]9的算术平方根是( C )
A. ±3 B. ±9
C. 3 D. －3
C
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3. 下列说法正确的是( A )
A. 因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B. 因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C. 因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根
D. 以上说法都不对
A
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知识点2 运用算术平方根的定义进行计算
4. [教材P27习题T1变式]计算 的结果是( B )
A. ±2 B. 2
C. ± D.
B
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5. 【易错题】(1) 的算术平方根是 .
(2) 的值是 .
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6. (1)若 ＝4，则 x 的值为 ；
(2)若 ＝4，则 x 的值为 ；
(3)若 x ＞0且 ＝4，则 x 的值为 .
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7. [教材P27随堂练习T1变式]求以下各数的算术平方根：
0，1，121， ，1.96，106，(－8)2，10－6.
解： 0的算术平方根是0；1的算术平方根是1；121的算术平方根是11； 的算术平方根是 ；1.96的算术平方根是1.4；106的算术平方根是103；因为(－8)2＝64，64的算术平方根是8，所以(－8)2的算术平方根是8；10－6的算术平方根是10－3.
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知识点3 算术平方根的应用
8. [2024西安高新一中月考]如图，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，
甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C ，
B 两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
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解： 根据题意可知∠ BAC ＝180°－42°－48°＝90°，
AC ＝16×0.5＝8(海里)， BC ＝17海里，
所以在Rt△ ABC 中， AB ＝ ＝ ＝
15(海里)，所以乙船的航速是 ＝30(海里/时).
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9. 两个连续自然数，前一个数的算术平方根为 x ，则后一个
数的算术平方根是( D )
A. x ＋1 B. x2＋1
C. D.
D
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10. [2024武汉江汉区期末]若 是整数，则正整数 n 不
可能是( B )
A. 6 B. 9
C. 11 D. 14
B
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11. 已知 x ， y ， z 是有理数，且满足( x －2)2＋ ＋｜ z
－3｜＝0，则( x ＋3 y ) z ＝ .
－1
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1
12. [2024榆林期中]如图所示，每个小正方形的边长为1，先
把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中
虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个
直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，则
大正方形的边长是 .
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13. [2024荆州沙市区期末]如图，Rt△ ABC ≌Rt△ EDC ，且
点 B ， C ， E 共线，若△ ABC 的面积为6， BE ＝7，则
AD ＝ .
1
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1
14. 探索与应用.
先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.000 1 0.01 1 100 10 000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中 x ＝ ， y ＝ ；
0.1
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1
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；
②已知 ＝1.8，若 ＝180，则 a ＝ .
解： 规律：算术平方根的被开方数每扩大100倍，算术平方根就扩大10倍.
31.6
32 400
(2)写出表格中 a 与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
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1
15. 【情境题 生活中的数学】为了方便喂养鱼苗，陈老板计
划将原本的正方形鱼塘改为长方形鱼塘.已知改建后的长
方形鱼塘的面积为810平方米，且其长∶宽＝5∶2.
(1)改建后长方形鱼塘的长和宽分别是多少米？
解： 设改建后长方形鱼塘的长为5 x 米，则宽为2 x 米，
根据题意，得5 x ·2 x ＝810，解得 x ＝9(负值已舍去)，
所以5 x ＝5×9＝45，2 x ＝2×9＝18，
所以改建后长方形鱼塘的长为45米，宽为18米.
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(2)如果把原来面积为900平方米的正方形鱼塘四周的阻隔网全部利用，用来作为新鱼塘阻隔网是否够用？为什么？
解： 原来的阻隔网不够用.理由如下：
设正方形鱼塘的边长为 y 米，根据题意，得 y2＝900，
解得 y ＝30(负值已舍去)，所以4 y ＝120，
所以正方形鱼塘四周的阻隔网长度为120米.
因为长方形鱼塘需要阻隔网的长度为2×(45＋18)＝126(米)，
126米＞120米，所以原来的阻隔网不够用.
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16. 【新考法 阅读类比法】阅读材料：如果一个三角形的三
边长分别为 a ， b ， c ，记 p ＝ ，那么这个三角
形的面积为 S ＝ .这个公式叫
“海伦公式”，它是利用三角形的三边长直接求三角形
面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜
求积术，故这个公式又被称为“海伦
——秦九韶公式”.完成以下问题：如
图，在△ ABC 中， BC ＝ a ＝5， AC
＝ b ＝3， AB ＝ c ＝4.
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(1)求△ ABC 的面积；
解： 因为 a ＝5， b ＝3， c ＝4，所以 p ＝ ＝6，
所以△ ABC 的面积＝ ＝6.
(2)过点 A 作 AD ⊥ BC ，垂足为 D ，求线段 AD 的长.
因为△ ABC 的面积＝ BC · AD ＝6，
所以 ×5× AD ＝6.所以 AD ＝ .
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第二章 实数
2 平方根
第1课时 算术平方根
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是 .
2
2
1
2. 如图是由五个小直角三角形组成的图形，请分别计算出每
个小直角三角形的斜边的平方的值，填在下面的横线上.
(1) x2＝ ， y2＝ ， z2＝ ， a2＝ ， b2
＝ .
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(2)判断 x ， y ， z ， a ， b 各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
解： (2) x ， y ， z ， a 都是无理数； b 是有理数.
2
1
1. 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 ＝ a ，那么
这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作
“ ”.特别地，我们规定：0的算术平方根
是 .
根号 a
0
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1
2. “ 的算术平方根是 ”用式子表示为( C )
A. ± ＝± B. ＝±
C. ＝ D. ± ＝
C
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1
3. [2024西安灞桥区月考]16的算术平方根为( B )
A. －4 B. 4
C. ±4 D. ±2
B
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1
4. 【教材P26例1变式】求下列各数的算术平方根：
(1)36；
(2)1.21；
(3) ；
(4) .
解： (1)6.
(2)1.1.
(3) .
(4) .
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1
5. 正方形的边长为 a cm，它的面积与长为96 cm、宽为6 cm
的长方形的面积相等，求 a 的值.
解： 因为正方形的面积与长方形的面积相等，
所以 a2＝96×6.
所以 a ＝ ＝24.
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1
知识点1 算术平方根的定义
因为22＝4，所以正数 是 的算术平方根，用数
学式子表示为 .
笔记：
2
4
＝2
变式1已知一个正方形的边长为 a ，面积为 b ，则下列说法
中，正确的是( B )
A. b 的平方根是 a
B. a 是 b 的算术平方根
C. a ＝±
D. b ＝
解：
B
知识点2 运用算术平方根的定义进行计算
求下列各数的算术平方根.
(1)169； (2) ； (3)0.09.
解： (1) ＝13.
(3) ＝0.3.
(2) ＝ .
变式2【教材P27习题T2变式】 的算术平方根为( D )
A. － B. ±
C. D.
解：
D
知识点3 算术平方根的应用
[2024长治期末]如图，已知大圆的半径为 R ，小圆的半
径为 r ，且 R ＝2 r ，圆环面积为 S .
(1)用含 S 的代数式表示小圆的半径 r ；
解： (1)因为 S ＝π R2－π r2＝π(2 r )2－π r2＝3π r2，所以 r ＝ .
(2)当 S ＝12π和 S ＝ π时，分别求出 r 的值.
解： (2)当 S ＝12π时， r ＝ ＝ ＝2，
当 S ＝ π时， r ＝ ＝ ＝ .
变式3 【2024榆林阶段练习情境题 生活应用】从理论上讲，人的眼睛能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到.天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离 s (单位：千米)可用经验公式 s ＝ 来估计，其中 h (单位：米)是眼睛距离海平面的高度.一个游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为17米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？
解： 由题意得， h ＝17米，
所以 s ＝ ＝17(千米).
所以他能看到大海的最远距离约是17千米.(共24张PPT)
第二章 实数
3 立方根
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 立方根的定义
1. (1)因为( )3＝125，所以125的立方根是 ，用数学式子表示为 .
(2)因为( )3＝－216，所以－216的立方根是 ，用数学式子表示为 .
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＝5
－6
－6
＝－6
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2. [2023舟山]－8的立方根是 .
－2
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3. [2024西安高新一中三模]体积为4的正方体的棱长是( C )
A. 4的平方 B. 4的平方根
C. 4的立方根 D. 4的算术平方根
C
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4. [2024西安雁塔区月考]下列说法正确的是( D )
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个数的立方根不是正数就是负数
C. 负数没有立方根
D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定
是－1或0或1
D
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5. 下列判断正确的是( C )
A. 64的立方根是±4
B. (－1)－1的立方根是1
C. 的立方根是2
D. 如果 ＝ a ，则 a ＝0
C
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6. [教材P31例1变式]求下列各数的立方根.
(1)－125； (2)0.027； (3) ；
解： (1) ＝－5.
(2) ＝0.3.
(3) ＝ ＝ .
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(4)－9；
(5)10－6；
解：(4)－9的立方根是 .
(5) ＝10－2.
(6) ＝－ .
(6)－4 .
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知识点2 ( )3与
7. 【新考法 分类讨论法】若 x2＝(－5)2，( )3＝－5，则 x
＋ y 的值为( C )
A. 0 B. －10
C. 0或－10 D. 0或－10或10
C
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8. 若 a ＜0，则化简 ＋ 的结果为 .
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知识点3 开立方
9. 若一个数的立方根是－ ，则该数为( B )
A. － B. －
C. ± D. ±
B
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10. 下列计算中，错误的是( D )
A. ＝0.5 B. ＝－
C. ＝1 D. － ＝－
D
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11. 【 2024·温州期中情境题·身边的数学】魔方是一种立方体形状的益智玩具，如图所示的二阶魔方为2×2×2的正方体结构，由8个相同的小方块组成.已知该二阶魔方的体积为64 cm3(小方块之间的缝隙忽略不计)，那么每个小方块的边长为( B )
A. 4 cm B. 2 cm
C. cm D. 8 cm
B
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12. 下列说法错误的是( D )
A. a2与(－ a )2相等
B. 与 互为相反数
C. 与 互为相反数
D. ｜ a ｜与｜－ a ｜互为相反数
D
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13. [教材P31随堂练习T2变式]一个正方体的体积是16 cm3，
另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，则另一个
正方体的表面积是( B )
A. 48 cm2 B. 96 cm2
C. 4 cm2 D. (24＋ ) cm2
B
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14. 【新趋势 学科内综合】一个几何体由几个大小相同的小
立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图
所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块
的个数.若每个小立方块的体积为216 cm3，则该几何体
的最大高度是( D )
A. 6 cm B. 12 cm
C. 18 cm D. 24 cm
D
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15. [2024西安雁塔区月考]若 ＝4，则 x ＋13的立方根
是 .
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16. 求下列各式中的 x .
(1)( x －2)3＝－0.125；
(2)( x ＋3)3＋27＝0.
解： x ＝1.5.
x ＝－6.
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17. 对于结论：当 a ＋ b ＝0时， a3＋ b3＝0也成立.若将 a 看成 a3的立方根， b 看成 b3的立方根，由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”.
(1)举一个具体的例子进行验证；
解： 如： ＋ ＝2＋(－2)＝0，8＋(－8)＝0，
所以结论“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.
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(2)若 和 互为相反数，且 x －3的平方根是它本身，求 x ＋ y 的立方根.
解： 因为 和 互为相反数，
所以7－ y 与2 y －5互为相反数，
所以7－ y ＋2 y －5＝0，所以 y ＝－2.
因为只有0的平方根是它本身，所以 x －3＝0，所以 x ＝3，
所以 x ＋ y ＝3＋(－2)＝1，所以 x ＋ y 的立方根是1.
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18. 爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下
列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 ；
10倍
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(2)已知 ≈1.414(精确到0.001)，并用上述规律直接写出各式的值： ≈ ， ≈ ；
(3)已知 ＝102， ＝10.2， ＝1 020，则 x
＝ ， y ＝ .
0.141
14.1
104.04
1 040 400
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(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据 ≈1.442，直接写出 和 的近似值吗？
解： 由 ≈1.442，可得 ≈14.42，不能直接得出 的近似值.
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1(共9张PPT)
第二章 实数
3 立方根
1. 下列式子中不正确的是( A )
A. ＝ B. ± ＝±6
C. ＝0.4 D. ＝
A
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2. 若一个数的立方根是－3，则该数为( B )
A. － B. －27
C. ± D. ±27
B
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3. 下列四个说法中，错误的有 个.(1)负数没有立方根；(2)1的立方根与平方根都是1；(3) 的平方根是± ，(4) ＝2＋ ＝2 .
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4. 已知 a 的平方根是±8，则它的立方根是 .
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5. ＝ ； ＝ ；( )3＝ ；
＝ － .
－8
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－
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6. 求下列各数的立方根.
(1)－ ；
(2) ；
(3) －512 000；
解：(1)－ .
(2) .
(3)－80.
(4) 0.027.
(4)0.3.
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7. 求下列各式中 x 的值.
(1) x3＝ ；
(2)3 x3＝－24.
解：(1) x ＝ .
(2) x ＝－2.
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8. 一个正方体的棱长为5 cm，若把它的各个棱长加长若干长
度之后，恰好是它原来体积的27倍，请问加长的长度为多
少厘米？
解：设加长的长度为 x cm，
根据题意，得(5＋ x )3＝27×53，
解得 x ＝10.
所以加长的长度为10 cm.
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1(共10张PPT)
第二章 实数
4 估算
1. 在哪两个整数之间( C )
A. 5与6 B. 6与7
C. 7与8 D. 8与9
C
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1
2. [2024西安铁一中一模]下列无理数中，大小在0和1之间的
是( A )
A. B.
C. D.
A
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3. [2024广州一模]若a－1＜ ＜a，且a为整数，则a的值
是( A )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
A
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4. 大于－ 且小于 的整数有 .
－2，－1，0，1，2
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5. a 是 的整数部分， b 是 的整数部分，则 a－ b
＝ .
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6. ｜ －1｜≈ ， ≈ .(结果
精确到0.01)
0.41
0.27
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7. 下列计算结果是否正确？说明判断的理由.
(1) ≈0.6； (2) ≈125；
解：(1)正确.理由：因为0.62＝0.36＞0.35，0.552＝0.302 5＜0.35，
所以0.55＜ ＜0.6，所以 ≈0.6正确.
(2)错误.理由：因为 ＜ ＝100，
所以 ≈125错误.
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(3) ≈96； (4) ≈60.4.
解：(3)错误.理由：因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，所以 ＜10，所以估算错误.
(4)错误.理由：因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所
以 应比60小，所以估算错误.
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1
8. 太阳体积约是地球体积的130万倍，如果将它们近似地看
成球体，估算太阳半径约是地球半径的多少倍(球体体积
公式为 V ＝ π R3)？
解：由 ＝1 300 000，得 ＝ .
所以太阳半径约是地球半径的 倍.
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1(共12张PPT)
第二章 实数
4 估算
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 学习了无理数之后，对于 ，下列说法正确的是( A )
① 表示的意义是14的算术平方根；②面积是14的正
方形的边长是 ；③ 在两个连续整数3与4之间.
A. 三个都正确 B. 只有①与②正确
C. 只有②与③正确 D. 只有②不对
A
1
1. 对带根号的无理数的估算，可以通过平方运算或立方运
算，采用“ ”，两边无限 的方法，
逐级夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位
等小数部分.
夹逼准则
接近
2
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1
2. [2024天津宝坻区二模]估计 的值在( C )
A. 4和5之间 B. 5和6之间
C. 6和7之间 D. 7和8之间
C
2
3
1
3. 【教材P34随堂练习T2变式】比较大小： －2 3.
＜
2
3
1
知识点1 估算无理数的大小
估算 的大小：取和5最接近的两个完全平方数，4和
；因为4＜5＜ ，所以 ＜ ＜ ，即2
＜ ＜ .
9
9
3
变式1估算下列各数的大小(结果精确到1).
(1) ；
(2) .
解： (1)10.
(2)8.
知识点2 用估算比较两个数的大小
通过估算，比较下面各组数的大小：
(1) 2.6； (2) .
＞
＞
变式2通过估算，比较大小.
(1) 5.1； (2) .
解：
＜
＞
知识点3 估算的应用
有两名学生在打羽毛球，一不小心球落在离地面高为6米
的树上，其中一名学生赶快搬来一架长为7米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2米远，另一名学生爬上梯子去拿羽毛球.则这名学生 (填“能”或“不能”)拿到球.
能
变式3[2024成都武侯区期中]边长为 a 的正方形的面积为30，
则 a 的取值范围是( B )
A. 5.0＜ a ＜5.2 B. 5.2＜ a ＜5.5
C. 5.5＜ a ＜5.7 D. 5.7＜ a ＜6.0
解：
B(共12张PPT)
第二章 实数
5 用计算器开方
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
知识点1 用计算器开方
1. [2024烟台牟平区期末]利用计算器求 的值，正确的
按键顺序为( D )
D
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1
2. 在计算器上按键 ，显示的结果
是( B )
A. 3 B. －3
C. 1 D. －1
B
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3
4
5
6
7
1
3. [教材P36做一做变式]用计算器求值，填空.
(1) ≈ (精确到十分位)；
(2) ≈ (精确到个位)；
(3)－ ≈ (精确到0.1)；
(4) ≈ (精确到0.001).
94.6
111
－11.4
0.586
2
3
4
5
6
7
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4. 【新趋势 跨学科】当人造地球卫星的运行速度大于第一
宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球运行，已
知第一宇宙速度的计算公式是 v1＝ (米/秒)，第二宇
宙速度的计算公式是 v2＝ (米/秒)，其中 g ＝9.8米/
秒2， R ＝6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度(结果保留
两位小数).
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解： 第一宇宙速度：
v1＝ ＝ ≈7 919.60(米/秒).
第二宇宙速度：
v2＝ ＝ ＝11 200.00(米/秒).
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知识点2 用计算器比较大小
5. 若 a ＝ ， b ＝ ， c ＝2，则 a ， b ， c 的大小关系为
( C )
A. b ＜ c ＜ a B. b ＜ a ＜ c
C. c ＜ a ＜ b D. a ＜ b ＜ c
C
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6. [教材P37例变式]利用计算器比较大小.
(1) ；
(2)2 3 .
＜
＜
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7. 【新考法 阅读类比法】阅读下面材料，解答问题：
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用
规律求一个正数的算术平方根”的实践活动.
【实践探究】同学们利用计算器完成了下表，请你补充完整：
a 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500
0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250
0.25
2.5
25
250
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(1)根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动
位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；
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(2)已知 ≈1.732，请运用上述规律直接写出各式的值： ≈ ； ≈ .
(3)你能根据 的值直接写出 的值是多少吗？
解： 根据发现的规律，不能根据 的值直接写出 的值.
0.173 2
17.32
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1(共22张PPT)
第二章 实数
6 实数
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 实数的概念及分类
1. 【2024咸阳期中新考法概念辨析法】下列说法正确的个数
有( B )
①无限小数都是无理数；
②正数、负数统称为实数；
③无理数的相反数还是无理数；
④无理数与无理数的和一定还是无理数；
⑤无理数与有理数的和一定是无理数；
⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数.
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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2. [教材P40习题T1变式]把下列各数填入相应的集合中：
－3.141 592 6，0， ， ，－ ， ，－ ，
－1.414， ，－0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1)
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(1)有理数集合：{－3.141 592 6，0，－ ， ，－
，－1…}；
(2)无理数集合：{ ， ，－0.212 112 111 2…(相邻两个
2之间的1的个数逐次加1)， ，…}；
(3)负实数集合：{－3.141 592 6，－ ，－ ，－
1.414，－0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数
逐次加1)，…}.
－3.141 592 6，0，－ ， ，－ ，
－1.414，
， ，－0.212 112 111 2…(相邻两个
2之间的1的个数逐次加1)， ，
－3.141 592 6，－ ，－ ，
－1.414，－0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数
逐次加1)，
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知识点2 实数的相反数、倒数、绝对值
3. [2024西安西工大附中模拟]在数轴上表示下列各数的点
中，距离原点最近的是( C )
A. －1 B. －
C. D.
C
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4. 实数2－ 0(填“＞”“＜”或“＝”)；2－
的相反数是 －2 ，绝对值是 －2 .
＜
－2
－2
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5. [教材P39随堂练习T2变式]填表：
2.5 －
相反数 －2.5 － － －
绝对值 2.5
倒数 －
－2.5
－
－
－
2.5
－
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知识点3 实数的运算
6. 计算：
(1)[2023苏州]｜－2｜－ ＋32；
解： 原式＝9.
(2)[2023广东] ＋｜－5｜＋(－1)2 023.
原式＝6.
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知识点4 实数与数轴上的点的关系
7. [教材P40复习题T3变式]如图，数轴上表示实数 的点可
能是( B )
A. 点 P B. 点 Q
C. 点 R D. 点 S
B
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8. [2023陕西]如图，在数轴上，点 A 表示 ，点 B 与点 A
位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点 B 表示的数
是 .
－
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9. 【2024西安雁塔区月考新考法·数形结合法】同学甲用如图
①所示的方法作数轴上的点 C ：在△ OAB 中，∠ OAB ＝
90°， OA ＝2， AB ＝3，且点 O ， A ， C 在同一数轴上， OB ＝ OC .
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(1)数轴上的点 C 表示的数是 ，说明数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，即数轴上的点可以和 数建立一一对应的关系.
实
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(2)仿照同学甲的作法，在图②的数轴上作出表示－ 的点 D .
解： 点 D 如图所示.
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10. 【2024西安未央区月考新考法·分类讨论法】若点 A 在数轴上和原点相距2个单位长度，点 B 在数轴上和原点相距 个单位长度，则 A ， B 两点之间的距离为( D )
A. －2 B. 2－
C. －2或－ ＋2 D. －2或2＋
D
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11. 【2024咸阳二模新考向·数学文化】程序框图的算法思路
源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的 x 值为64时，输出的 y 值是 .
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12. 【情境题 生活应用】如图，将一枚直径为19 mm的硬币
放在数轴上，硬币上的一点 A 与数轴原点重合，将硬币
沿数轴向右滚动一圈后，点 A 落在数轴上的A'处，已知
数轴的单位长度为1 cm，则点A'表示的数为 .
1.9π
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13. 如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，位置在整数
点1到整数点2之间，以整数点1为圆心，以正方形的对角
线为半径画半圆，交数轴于 A ， B 两点.
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(1)求点 A 和点 B 表示的数；
解： 如图，连接DE .
因为 DE2＝12＋12＝2，所以 DE ＝ .
因为点 A 在整数点1的左边，点 B 在整数点1的右边，
所以点 A 表示的数是1－ ，点 B 表示的数是1＋ .
(2)求线段 AB 的长.
AB ＝(1＋ )－(1－ )＝2 .
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14. [2024唐山期中]如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使这两个正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，另一个顶点分别为数轴上的点 A 和点 B .
(1)点 A 表示的数为 ，点 B 表示的数为 ，线段 AB 的长度为 ＋ .
－
＋
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(2)一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C ，设点 C 表示的数为 c ，
①实数 c 的值为 ；
②求｜ c ＋1｜＋｜ c －1｜的值.
2－
解：｜ c ＋1｜＋｜ c －1｜
＝｜2－ ＋1｜＋｜2－ －1｜
＝｜3－ ｜＋｜1－ ｜
＝3－ ＋ －1
＝2.
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(3)在数轴上，还有 D ， E 两点分别表示数 m ， n ，且有｜2 m ＋ n ｜与 互为相反数，求2 m －3 n 的平方根.
解： 因为｜2 m ＋ n ｜与 互为相反数，
所以｜2 m ＋ n ｜＋ ＝0，因为｜2 m ＋ n ｜≥0， ≥0，所以2 m ＋ n ＝0， n2－16＝0，
所以2 m －3 n ＝－4 n ， n ＝±4，
当 n ＝4时，2 m －3 n ＝－16，没有平方根，
当 n ＝－4时，2 m －3 n ＝16，16的平方根为±4.
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