(共20张PPT)
第四章 一次函数
1 函数
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 函数的有关概念
1. 球的体积是 V ，半径是 R ，则 V ＝ π R3，其中变量和常
量分别是( A )
A
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A. 变量是 V ， R ；常量是 ，π
B. 变量是 R ，π；常量是
C. 变量是 V ， R ，π；常量是
D. 变量是 V ， R3；常量是π
2. [2024北京海淀区期中]下列曲线中，表示 y 是 x 的函数的
是( B )
A
B
C
D
B
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3. [2024延安月考]观察下列4个表格，能表示为 y 是 x 的函数
的是( B )
B
A.
B.
C.
D.
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4. 下列关系式中， y 不是 x 的函数的是( D )
A. y ＝ x B. y ＝ x2
C. y ＝3 x －1 D. y2＝ x
D
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5. [2024西安高新第一中学月考]下列变量之间的关系不是函
数关系的是( B )
A. 一天的气温和时间
B. ｜ y ｜＝ x 中的 y 与 x 的关系
C. 速度一定时，汽车行驶的路程与时间之间的关系
D. 正方形的周长与面积
B
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知识点2 函数的表示方法
6. 【新考法 表格信息法】一项实验的统计数据中变量 y 与 x
之间的关系如表所示：
x 30 40 100 120
y 15 20 50 60
则下面能表示这种关系的式子是( D )
D
A. y ＝ x2 B. y ＝2 x
C. y ＝ x ＋2 D. y ＝0.5 x
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7. 【情境题 生活应用】周末小斌在某公园里一条笔直的道
路上骑车游玩，先前进了 a km，休息了一段时间后，又
原路返回 b ( b ＜ a ) km，再前进 c ( c ＞ b )km，则他离起
点的距离 s 与时间 t 的关系的示意图是( D )
A
B
C
D
D
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知识点3 自变量的取值范围及函数值
8. [2024无锡江南中学月考]函数 y ＝－ 的自变量 x 的
取值范围是 .
x ≥1
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9. 当 x ＝2时，函数 y ＝2 x －3的值等于 .
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10. 如图所示，梯形的上底长是5 cm，下底长是13 cm.当梯
形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.设梯形
的高为 h cm，面积为 S cm2.
(1)求梯形的面积 S (cm2)与高 h (cm)之间的关系式.
解：由题意得 S ＝ ＝9 h ，所以梯形的面积 S (cm2)与高 h (cm)之间的关系式为 S ＝9 h .
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(2)当梯形的高由10 cm变化到4 cm时，梯形的面积如何
变化？
解：当 h ＝10时， S ＝90，当 h ＝4时， S ＝36，
所以当梯形的高由10 cm变化到4 cm时，梯形的面积由90 cm2变化到36 cm2.
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11. 【2024榆林第十中学期中教材P78习题T4(2)变式】已知
某等腰三角形的周长为36，腰长为 x ，底边长为 y ，那么
y 关于 x 的函数关系式及自变量的取值范围是( D )
A. x ＝ (9＜ y ＜18)
B. y ＝36－2 x (0＜ x ＜18)
C. x ＝ (0＜ y ＜18)
D. y ＝36－2 x (9＜ x ＜18)
D
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12. [2024石家庄阶段练习]下面四个问题中都有两个变量 y 与
x ，变量 y 与 x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表
示的是( C )
C
A. 汽车以一定的速度匀速行驶，汽车
行驶的路程 y 与行驶时间 x
B. 用长度一定的绳子围成一个矩形，
矩形的面积 y 与一边长 x
C. 三角形的面积一定，它的一边长 y
与该边上的高 x
D. 等腰三角形的周长一定，它的底边长 y 与腰长x
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13. 【新趋势 跨学科】某校学习小组在做试验中发现弹簧挂
上物体后会伸长，在弹簧弹性限度内测得这个弹簧的长
度 y (cm)与悬挂的物体的质量 x (kg)间有下面的关系：
物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度y/cm 10 12 14 16 18 20 …
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(1)上表变量之间的关系中自变量是 ，因变量是 ；
(2)弹簧不悬挂物体时的长度为 cm，物体的质量每增加1 kg，弹簧的长度增加 cm；
(3)当悬挂物体的质量是8 kg时，弹簧的长度是 cm；
(4) y 与 x 的关系式为 .
悬挂的物体的质量 x
弹簧的长度 y
10
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y ＝10＋2 x
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14. 【新视角 动点探究题】如图①是一个大长方形剪去一个
小长方形后形成的图形，已知动点 P 以2 cm/s的速度沿
图①中图形的边按 B → C → D → E → F → A 的路径移
动，相应的△ ABP 的面积 S (cm2)与时间 t (s)之间的关系
如图②中的图象所示.若 AB ＝6 cm，试回答下列问题.
(1)填空：图①中的 BC ＝ cm， DC ＝ cm；
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(2)求图②中 a 的值；
解：由(1)知， BC ＝8 cm，则 BC · AB ＝24 cm2，
所以图②中 a 的值是24.
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(3)求图②中 b 的值.
解：易得 DE ＝6 cm， EF ＝2 cm， AF ＝14 cm.根据题意，得动点 P 共运动了 BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FA ＝8＋4＋6＋2＋14＝34(cm).因为动点 P 运动的速
度是2 cm/s，所以34÷2＝17(s)，
则图②中 b 的值是17.
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1(共9张PPT)
第四章 一次函数
1 函数
1. 下列各曲线中，不能表示 y 是 x 的函数的是( C )
A
B
C
D
C
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2. 下列关系式中， y 不是 x 的函数的是( D )
A. y ＝ B. y ＝2 x2
C. y ＝ ( x ≥0) D. ｜ y ｜＝ x
D
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1
3. 已知函数 y ＝3 x 的图象经过点(1， m2)，则 m 的值为
.
±
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4. 若函数 y ＝则当 x ＝－1时，函数 y 的值
为 .
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5. [2024北京海淀区月考]一个水瓶中初始有水500 mL ，每小
时漏水10 mL ，则水瓶中剩余水量y(单位： mL )关于时间
x(单位： h )的函数表达式是 ，其中自变
量 x 的取值范围是 .
y ＝500－10 x
0≤ x ≤50
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6. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，这是中国航
天员首次在梦天实验舱内授课.本次太空授课活动采取天
地互动方式进行，引发了学生探究科学的新热潮.小颖把
一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最
大能够承受15 kg的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧
长度与所挂物体质量的对应值：
所挂物体的质量(kg) 0 2 4 6 8 10
弹簧的长度(cm) 15 18 21 24 27 30
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(1)在这个变化过程中， 是自变量，
是因变量；
所挂物体的质量
弹簧的长度
(2)从表中数据可知，不挂重物时，弹簧的长度为 cm，当所挂重物增加1 kg，弹簧长度伸长 cm；
(3)设所挂物体的质量为 x kg，弹簧的长度 y cm，则 y 与 x 之间的关系式为 ；
15
1.5
y ＝1.5 x ＋15
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(4)当弹簧的长度为36 cm时，求所挂物体的质量为多少千克.
解：在 y ＝1.5 x ＋15中，当 y ＝36时，即1.5 x ＋15＝36，解得 x ＝14，
所以当弹簧的长度为36 cm时，所挂物体的质量为14 kg.
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1(共10张PPT)
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
1. 下列 y 关于 x 的函数中，是正比例函数的为( C )
A. y ＝ x2 B. y ＝
C. y ＝ D. y ＝
C
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2. 【教材P79例1变式】下列变化过程中， y 是 x 的正比例函
数的是( D )
A. 某村共有105 m2耕地，该村人均占有耕地 y (单位：m2)
随该村人数 x (单位：人)的变化而变化
B. 一天内，温岭市气温 y (单位：℃)随时间 x (单位：时)
的变化而变化
C. 汽车油箱内的存油 y (单位：升)随行驶时间 x (单位：
时)的变化而变化
D. 某人一年总收入 y (单位：元)随年内平均月收入 x (单
位：元)的变化而变化
D
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3. 将一次函数 y ＝3( x －2)＋1写成 y ＝ kx ＋ b 的形式，则 k
与 b 的值分别为( C )
A. 3，1 B. －2，1
C. 3，－5 D. 3，－2
C
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4. [2024菏泽牡丹区期中]已知函数y＝(m－2) ＋1是一
次函数，则m的值为( D )
A. ± B.
C. ±2 D. －2
D
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5. 下列说法正确的是( B )
A. 一次函数也是正比例函数
B. 正比例函数也是一次函数
C. 一个函数不是一次函数就是正比例函数
D. 一个函数不是正比例函数就不是一次函数
B
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6. 【新趋势 跨学科】 一段导线，在0 ℃时的电阻为2 Ω，若
温度每增加1 ℃，电阻增加0.008 Ω，则电阻 R (Ω)与温度
t (℃)之间的关系式为( B )
A. R ＝－1.992 t ＋2 B. R ＝0.008 t ＋2
C. R ＝2.008 t ＋2 D. R ＝2 t ＋2
B
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7. 若函数 y ＝(2 m ＋4) x ＋ m2－4是关于 x 的正比例函数，则
m 的值为 .
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8. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一
边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40 m.设矩形
一边长为 x m，不相邻的另一边长为 y m，当 x 在一定范围
内变化时， y 随 x 的变化而变化，则 y 与 x 满足的函数关
系是 .(填“正比例函数”或“一次函数”)
一次函数
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9. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.若温度的变
化是均匀的，则18 min时的温度是 ℃.
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
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1(共20张PPT)
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变
化，如果这两种量相对应的两个数的比值(商)一定，那么
这两个量叫做 的量，它们的关系叫做
.
成正比例
正比
例关系
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1
2. 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变
化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两个
量叫做 的量，它们的关系叫做
.
成反比例
反比例关
系
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1
3. 圆的周长与直径成 比例.
正
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4. 八(1)班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率
( A )
A. 成正比例 B. 成反比例
C. 不成比例 D. 无法确定
A
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5. x 和 y 成正比例关系，当 x ＝2时， y ＝ ；当 x ＝5时， y
＝( D )
A. B. C. 2 D.
D
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1
1. 若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成
( 为常数， ≠0)的形式，则称
y 是 x 的一次函数.特别地，当 ＝0时，称 y 是 x
的正比例函数.
y ＝ kx
＋ b
k ， b
k
b
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1
2. 在下列函数中，① y ＝ x －6；② y ＝－ x ；③ y ＝ ；④ y
＝7－ x ；⑤ y ＝5 x2＋6；⑥ y ＝3(2－ x )；⑦ y ＝ x (2－
x )；⑧ y ＝ ；⑨ y ＝2 x ， y 是 x 的一次函数的是
， y 是 x 的正比例函数的是 .
①②
③④⑥⑨
②③⑨
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1
3. 已知关于 x 的函数 y ＝( m ＋1) x ＋ m －1，当 m
时，它是正比例函数；当 m 时，它是一
次函数.
＝
1
≠－1
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1
4. [教材P81随堂练习T2变式] 如图，甲、乙两地相距100
km，现有一列火车从乙地出发，以80 km/h的速度向丙地
行驶.设 x (h)表示火车行驶的时间， y (km)表示火车与甲
地的距离.
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1
(1)写出 y 与 x 之间的关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；
解： (1) y ＝80 x ＋100， y 是 x 的一次函数.
(2)当 x ＝0.5时，求 y 的值.
解： (2)当 x ＝0.5时， y ＝80×0.5＋100＝140.
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1
知识点1 一次函数与正比例函数的概念
下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是( C )
A. y ＝ x B. y ＝－
C. y ＝－ D. y ＝
笔记：
C
变式1已知关于 x 的函数 y ＝( m ＋1) x｜ m｜＋ n －3.
(1) m 和 n 取何值时，该函数是关于 x 的一次函数？
解： (1)由题意知｜ m ｜＝1，且 m ＋1≠0，所以 m ＝1. n 可为任意实数，即当 m ＝1， n 为任意实数时，该函数为一次函数.
(2) m 和 n 取何值时，该函数是关于 x 的正比例函数？
解： (2)由题意知｜ m ｜＝1，且 m ＋1≠0， n －3＝0，所以 n ＝1， n ＝3.即当 m ＝1， n ＝3时，该函数是正比例函数.
知识点2 根据条件列一次函数关系式
某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外
需要制作工具的租用费120元.设需要仪器 x 件，方案一的费用为 y1元，方案二的费用为 y2元.
(1)请直接写出 y1， y2关于 x 的关系式.(不用写自变量的取值范围)
解： (1) y1＝8 x ； y2＝120＋4 x .
(2)请直接写出添置多少件时，两种方案所需的费用相同.
解： (2)30件.
(3)若学校计划添置仪器50件，则采用哪种方案便宜？
解： (3)方案一所需费用为8×50＝400(元)；
方案二所需费用为120＋4×50＝320(元).
320＜400，故采用方案二便宜.
变式2【情境题 生活应用】2024年4月23日是第29个世界读书
日，某图书馆举办了全民阅读活动.馆内阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：
(1)写出总人数 y (人)与方桌数 x (张)之间的关系式(不要求写自变量的取值范围)，并判断 y 是不是 x 的一次函数.
解： (1)一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人.如果是 x 张方桌，则所坐人数是4＋2( x －1)＝2 x ＋2.则 y 与 x 之间的关系式为 y ＝2 x ＋2， y 是 x 的一次函数.
(2)若有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？
解： (2)把 y ＝42代入 y ＝2 x ＋2，得2 x ＋2＝42，解得 x ＝20，所以需要20张这样的方桌.(共26张PPT)
第四章 一次函数
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象与性质
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 正比例函数的图象
1. [2024西安交通大学附中二模]在平面直角坐标系中，函数
y ＝2 x 的图象经过( A )
A. 第一、三象限 B. 第二、三象限
C. 第三、四象限 D. 第二、四象限
A
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2. 当 k ＜0时，正比例函数 y ＝ kx 的图象大致是( C )
A
B
C
D
C
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3. 若正比例函数 y ＝ kx 的图象经过第二、四象限，则 k 的值
可以是( B )
A. 2 B. －2
C. 0 D. 0或－2
B
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4. 若正比例函数的图象经过点(4，－5)，则这个图象必经过
点( D )
A. (－5，－4) B. (4，5)
C. (5，－4) D. (－4，5)
D
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5. 已知正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点(1，－4)，则 k
＝ .
－4
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6. [教材P83例1变式]在同一直角坐标系内画出下列函数图象.
(1) y ＝4 x ；
(2) y ＝ x ；
(3) y ＝－ x ；
(4) y ＝ x .
解：如图所示.
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知识点2 正比例函数的性质
7. 关于函数 y ＝－3 x ，下列说法正确的是( D )
A. 该函数的图象经过点(－3，1)
B. 是一次函数，但不是正比例函数
C. 该函数的图象经过第一、三象限
D. 随着 x 的增大， y 反而减小
D
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8. [2024郑州第一三五中学期中]如果正比例函数 y ＝ kx ( k 是
常数， k ≠0)的图象经过点(4，－1)，那么 y 的值随 x 的增
大而 .(填“增大”或“减小”)
减小
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9. 已知点(－2， y1)，(－5， y2)都在直线 y ＝－ x 上，则
y1 y2(填“＞”“＜”“≥”或“≤”).
＜
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10. 如图①，当 k ＞0时，直线 y ＝ kx 经过第 象
限，从左向右呈 趋势，因此正比例函数 y ＝
kx ，当 k ＞0时， y 随 x 的增大而 ；如图②，当
k ＜0时，直线 y ＝ kx 经过第 象限，从左向右
呈 趋势，因此正比例函数 y ＝ kx ，当 k ＜0时，
y 随 x 的增大反而 .
一、三
上升
增大
二、四
下降
减小
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11. [教材P85习题T1变式]已知正比例函数 y ＝ kx 的图象过点
(1，－1)，下面也在这条直线上的点是( B )
A. (－1，－1) B. (－2，2)
C. (2，2) D. (2，3)
B
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1
12. 正比例函数 y ＝－4 x ， y ＝4 x ， y ＝ x 的图象的共同点
是( B )
A. 经过同样的象限
B. 都是经过原点的直线
C. 图象从左向右都呈上升趋势
D. 图象从左向右都呈下降趋势
B
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13. [2023西安西工大附中期中]若点 P ( x1， y1)， Q ( x2， y2)
在正比例函数 y ＝ mx 的图象上，且当 x1＜ x2时， y1＞
y2，则 m 的值可以是( D )
A. 2 B. 0
C. D. －2
D
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14. 如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：① y ＝
ax ，② y ＝ bx ，③ y ＝ cx .将 a ， b ， c 按从小到大排列
并用“＜”连接，正确的是( D )
A. a ＜ b ＜ c
B. c ＜ b ＜ a
C. b ＜ c ＜ a
D. a ＜ c ＜ b
D
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15. 正比例函数 y ＝ kx ，当 x 每增加3时， y 就减小2，则 k 的
值为 .
－
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16. 【2024深圳龙岗区期中新考法·图象信息法】甲、乙两人
在一次赛跑中，路程 y (m)与时间 x (s)的关系如图所示，
看图回答下列问题：
(1)这是一次 m的赛跑.
(2) 先到达终点.
100
甲
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(3)乙在这次赛跑中的速度是多少？
解：100÷12.5＝8(m/s)，
所以乙在这次赛跑中的速度是8 m/s.
由100÷12＝ (m/s)和(3)可得，甲的路程与时间的函数关系式为 y ＝ x ，乙的路程与时间的函数关系式为 y ＝8 x .
(4)分别求出甲、乙两人路程与时间的函数关系式.
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17. 【新视角 存在性探究题】如图，已知正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点 A ，点 A 在第四象限，过点 A 作 AH ⊥ x 轴，垂足为 H ，点 A 的横坐标为4，且△ AOH 的面积为8.
(1)求正比例函数的表达式.
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解：因为点 A 的横坐标为4， S△ AOH ＝8， AH ⊥ x 轴，
所以 OH ＝4， OH × AH ＝8.所以 AH ＝4.所以点 A 的纵坐标为－4.所以点 A 的坐标为(4，－4).
因为正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点 A ，
所以－4＝4 k ，解得 k ＝－1.
所以正比例函数的表达式为 y ＝－ x .
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(2)若点 P 是该正比例函数 y ＝ kx 图象上一点，且使得△ AHP 的面积是△ AOH 面积的两倍，求点 P 的坐标.
解：由题意设点 P 的坐标为( m ，－m ).
因为△ AHP 的面积是△ AOH 面积的两倍，所以 S△ AHP ＝2×8＝16.因为 AH ＝4， A (4，－4)，所以 S△ AHP ＝ ×4×｜4－ m ｜＝16，解得 m ＝12或 m ＝－4.
所以点 P 的坐标为(12，－12)或(－4，4).
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(3)已知 OA ＝4 ，在直线 OA 上(除点 O 外)是否存在点M ，使得△ AHM 为等腰三角形？若存在，直接写出 OM 的长；若不存在，请说明理由.
解：存在， OM 的长为4 －4或4 ＋4或2 .
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点拨：在直线 OA 上(除点 O 外)存在点 M ，使得△ AHM 为等腰三角形.
当 AM ＝ AH ＝4，点 M 在点 A 的上方时，如图①， OM ＝ OA － AM ＝4 －4；
当 AM ＝ AH ＝4，点 M 在点 A 的下方时，如图②， OM ＝ OA ＋ AM ＝4 ＋4；
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当 MH ＝ AH ＝4时，如图③.
因为 OH ＝4，所以点 M 与点 O 重合.
所以此时点 M 不符合题意；
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1
当 AM ＝ MH 时，如图④.
因为 AH ＝ OH ＝4，∠ AHO ＝90°，
所以∠ OAH ＝∠ AOH ＝45°.
所以∠ AHM ＝∠ MAH ＝45°.
所以∠ OHM ＝∠ AHM ＝45°.
又因为 HM ＝ HM ，
所以△ OHM ≌△ AHM .
所以 AM ＝ OM ＝ OA ＝2 .
综上可知， OM 的长为4 －4或4 ＋4或2 .
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1(共20张PPT)
第四章 一次函数
3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象与性质
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？
解：一般地，形如 y ＝ kx ( k 是常数， k ≠0)的函数，叫做正比例函数；
一般地，形如 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 是常数， k ≠0)的函数，叫做一次函数.
当 b ＝0时， y ＝ kx ＋ b 就变成了 y ＝ kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
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1
2. 正比例函数的图象是什么形状？
解：正比例函数的图象是经过原点的一条直线.
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1
3. 正比例函数 y ＝( k －2) x 中， y 随 x 的增大而减小，则 k 的
取值范围是( B )
A. k ＞2 B. k ＜2
C. k ≥2 D. k ≤2
B
2
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4
1
4. 已知正比例函数 y ＝ ，下列结论正确的是( C )
A. 图象是一条射线
B. 图象必经过点(－1，2)
C. 图象经过第一、三象限
D. y 随 x 的增大而减小
C
2
3
4
1
1. 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象是一条 ，因此画一次
函数图象时，只要确定 个点，再过 画直
线就可以了.一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象也称为直线 y ＝
kx ＋ b .
直线
两
这两点
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1
2. 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点(0， ).当 k ＞0
时， y 的值随着 x 值的增大而 ；当 k ＜0时， y 的
值随着 x 值的增大而 .
b
增大
减小
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1
3. 一次函数 y ＝－2 x －1的图象大致是( D )
A
B
C
D
D
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1
4. [2023兰州]一次函数 y ＝ kx －1的函数值 y 随 x 的增大而减
小，当 x ＝2时， y 的值可以是( D )
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
D
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7
1
5. 一次函数 y ＝－3 x －9的图象与 x 轴的交点坐标是
，与 y 轴的交点坐标是 .
(－
3，0)
(0，－9)
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1
6. 函数 y ＝－4 x ＋1的图象上存在两点 A ( x1， y1)， B ( x2，
y2)，若 x1＞ x2，则 y1 y2.
＜
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1
7. 将直线 y ＝－ x －1向上平移1个单位长度，所得直线的
函数表达式为 .
y ＝－ x
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1
知识点1 一次函数的图象
在如图所示的直角坐标系中分别画出下列函数的图象：
(1) y ＝2 x ＋2；
(2) y ＝－2 x ＋2；
(3) y ＝2 x －2；
(4) y ＝－2 x －2.
解：如图所示.
变式1[2024保定竞秀区期中]一次函数 y ＝－ x ＋3的图象与
x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B .
(1)点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 .
(6，0)
(0，3)
(2)求 AB 的长.
解：(2)易知 OA ＝6， OB ＝3.所以在Rt△ AOB 中， AB ＝
＝3 . 故 AB 的长为3 .
(3)已知横、纵坐标均为整数的点称为整点，直接写出△ AOB 内(不含边界)的所有整点的坐标.
解：(3)(1，1)，(1，2)，(2，1)，(3，1).
知识点2 一次函数的性质
[2024咸阳一模]已知点(－2， y1)，(0， y2)，(3， y3)均在
直线 y ＝－ x －3上，则 y1， y2， y3的大小关系是( C )
A. y3＞ y2＞ y1 B. y2＞ y1＞ y3
C. y1＞ y2＞ y3 D. y3＞ y1＞ y2
笔记：
C
变式2[2024西安爱知中学七模]一次函数 y ＝(－2 a ＋3) x －1
的图象经过(－1， y1)，(1， y2)两点，且 y1＞ y2，则 a 的值可
以是( A )
A. 2 B. C. 1 D. －
解：
A
知识点3 一次函数图象将的平移
[教材P88习题T4变式] 将直线 y ＝－2 x ＋5向下平移2个
单位长度后所得直线的表达式是 .
y ＝－2 x ＋3
变式3如图，该图象是一个正比例函数的图象，把该图象向
右平移2个单位长度，得到的函数图象的表达式为
.
y ＝－
2 x ＋4 (共20张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第1课时 借助一次函数表达式解决简单问题
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 确定正比例函数表达式
1. [教材P89素材变式]匀速直线运动的路程－时间( s － t )图
象是一条倾斜的射线，如图所示，是某物体做匀速直线运
动时的路程－时间变化图象，则 s 与
t 的函数表达式为 .
s ＝5 t
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1
2. [2024常州河海实验学校月考]若 y 与 x 成正比例，且当 x ＝
3时， y ＝6，则 y 与 x 之间的函数表达式为 .
y ＝2 x
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1
3. [教材P89随堂练习T1变式]已知正比例函数 y ＝ kx 的图象
经过点(3，－6).
(1)求这个函数的表达式；
解：将点(3，－6)的坐标代入 y ＝ kx ，得－6＝3 k ，
解得 k ＝－2，所以这个函数的表达式为 y ＝－2 x .
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1
(2)判断点 A (4，－2)是否在这个函数图象上.
解：当 x ＝4时， y ＝－2×4＝－8≠－2，
所以点 A (4，－2)不在这个函数的图象上.
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1
知识点2 确定一次函数表达式
4. 已知直线 l ： y ＝2 x ＋ b 过点(0，－5)，确定该直线 l 的函
数表达式是( D )
A. y ＝ x －5 B. y ＝ x ＋5
C. y ＝2 x ＋5 D. y ＝2 x －5
D
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1
5. 在平面直角坐标系内，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过三
点 A (2，0)， B (0，2)， C ( m ，3).求这个一次函数的表达
式及 m 的值.
解：由已知条件得，解得
所以这个一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋2.
因为一次函数 y ＝－ x ＋2过点 C ( m ，3)，
所以3＝－ m ＋2.所以 m ＝－1.
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1
6. 【新趋势 跨学科】小明同学通过阅读资料发现，声音在
空气中传播的速度 y (m/s)是气温 x (℃)的一次函数，下表
列出了一组不同气温下的声速：
气温x/℃ … 0 5 10 15 …
声速y/m/s … 331 334 337 340 …
求零下40 ℃时的声速.
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解：设函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0).
根据题意，得解得
所以 y ＝0.6 x ＋331.当 x ＝－40时， y ＝307.
所以零下40 ℃时的声速为307 m/s.
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1
7. 【新考法 表格信息法】对于一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b
为常数， k ≠0)，下表中给出5组自变量及其对应的函数
值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数
值是( D )
x －1 0 1 2 3
y 2 5 8 12 14
D
A. 2 B. 5
C. 8 D. 12
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8. [2024西安汇知中学月考]根据下列条件，求函数表达式：
(1)已知 y 与 x －3成正比例，且当 x ＝4时， y ＝3，求 y 与
x 的函数表达式；
解：由题意设 y ＝ k ( x －3)，
把 x ＝4， y ＝3代入得 k ＝3，
所以 y 与 x 的函数表达式为 y ＝3( x －3)，即 y ＝3 x －9.
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1
(2)已知 y －1与 x 成正比例，且当 x ＝2时， y ＝－4，求 y
与 x 的函数表达式.
解：由题意设 y －1＝ kx ，把 x ＝2， y ＝－4代入得
－4－1＝2 k ，解得 k ＝－ ，所以 y －1＝－ x .
所以 y 与 x 的函数表达式为 y ＝－ x ＋1.
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1
9. 【新趋势 学科内综合】如图，在平面直角坐标系中，已
知点 A (0，12)， B (－5，0)，连接 AB ，将△ AOB 沿过点
B 的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点A'处，折痕所在的
直线交 y 轴正半轴于点 C ，
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1
解：因为点 A (0，12)， B (－ 5，0)，
所以 OA ＝12， OB ＝5.
又因为∠ BOA ＝90°，
所以 AB ＝ ＝ ＝13.
由折叠的性质得， A'C＝ AC ， A'B＝ AB ＝13.
(1)求点 C 的坐标；
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1
设点 C 的坐标为(0， m ).
所以 OC ＝ m ，OA'＝A'B－ OB ＝13－5＝8.
所以 A'C＝ AC ＝ OA － OC ＝12－ m .
因为∠COA'＝90°，所以 OC2＋OA'2＝ A'C2，
所以 m2＋82＝(12－ m )2，解得 m ＝ .
所以点 C 的坐标为 .
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1
(2)求直线 BC 的表达式.
解：设直线 BC 的表达式为 y ＝ kx ＋b ，将点 B (－5，0)， C 的坐标代入，得
解得
所以直线 BC 的表达式为 y ＝ x ＋ .
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1
10. [2024西安滨河学校开学考试]杆秤是我国传统的计重工
具，如图，秤钩上所挂不同重量的物体使得秤砣到秤纽
的水平距离不同，称重时，秤钩所挂物重为 x 斤时，秤
杆上秤砣到秤纽的水平距离为 y 厘米，如表中为若干次
称重时所记录的一些数据，且 y 是 x 的一次函数.
x/斤 0 0.75 1.00 a 2.25 3.25
y/厘米 －2 1 2 4 7 b
注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离 y (厘米)为正，在右侧时为负.
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1
(1)根据题意，可得 a ＝ ， b ＝ .
1.50
11
(2)求出 y 与 x 的表达式.
解：设 y 与 x 的表达式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0).
因为点(0，－2)，(0.75，1)在该函数图象上，
所以解得
所以 y 与 x 的表达式为 y ＝4 x －2.
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10
1
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离(左侧)为14厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
解：当 y ＝14时，14＝4 x －2，解得 x ＝4，
即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离(左侧)为14厘米时，秤钩所挂物重是4斤.
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1(共19张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第2课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 单个一次函数图象的应用
1. [教材P 98复习题T 3变式]如图，一个弹簧不挂重物时长6
cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重
物的质量成正比.弹簧总长 y (单位：cm)关于所挂物体质量
x (单位：kg)的函数图象如图所示，则图中 a 的值是( A )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
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6
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8
1
2. [2024西安铁一中学模拟母题教材P91例2变式]李师傅将容量为60 L的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程 s (km)与行驶时间 t (h)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当
油箱中剩余油量为10 L时，货车会自
动显示加油提醒，设货车平均耗油量
为0.1 L/km，请根据图象解答下列问题：
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1
(1)直接写出工厂离目的地的路程.
解：工厂离目的地的路程为880 km.
(2)求 s 关于 t 的函数表达式.
设 s ＝ kt ＋ b ( k ≠0)，
将(0，880)和(4，560)代入 s ＝ kt ＋ b ，得
解得
所以 s 关于 t 的函数表达式为 s ＝－80 t ＋880(0≤ t ≤11).
2
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8
1
(3)货车行驶多长时间后会显示加油提醒？
解：当油箱中剩余油量为10 L时，
s ＝880－(60－10)÷0.1＝380(km).
当 s ＝380时，380＝－80 t ＋880，解得 t ＝ .
所以货车行驶 h后会显示加油提醒.
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8
1
知识点2 一次函数与一元一次方程
3. 若方程3 x －12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5
时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是( A )
A. y ＝3 x －7 B. y ＝－3 x ＋12
C. y ＝3 x －12 D. y ＝－3 x ＋7
A
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8
1
4. 已知一次函数 y ＝2 x ＋ n 的图象如图所示，则方程2 x ＋ n
＝0的解可能是( B )
A. x ＝1 B. x ＝－
C. x ＝ D. x ＝－1
B
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3
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6
7
8
1
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2 x ＋4的图象与
x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，请根据函数图象回答下列
问题：
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3
4
5
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1
(1)与 x 轴的交点 A 的坐标是 ，与 y 轴的交点 B
的坐标是 ；
(2)由函数图象可知，当－2 x ＋4＝0时， x 的值是 ；
(3)当 y ＝－1时，求 x 的值.
解：当 y ＝－1时，即－2 x ＋4＝－1，
解得 x ＝ .
(2，0)
(0，4)
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6. [2024长春南关区月考]一个有进水管和出水管的容器，从
某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进
水又出水，而后只出水不进水，直到水全部排出.假设每
分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y (L)
与时间 x (min)之间的关系如图所示，则下列说法中错误
的是( D )
D
A. 每分钟的进水量为5 L
B. 每分钟的出水量为3.75 L
C. OB 的表达式为 y ＝5 x (0≤ x ≤4)
D. 当 x ＝16时水全部排出
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7. 【新考法 图象分析法】甲骑摩托车从 A 地去 B 地，乙开
汽车从 B 地去 A 地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达
终点后停止，甲、乙两人间的距离 s (km)与甲行驶的时间
t (h)之间的关系如图所示.
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(1)以下是点 M ， N ， P 所代表的实际意义，请将点 M ，
N ， P 填入对应的横线上.
①甲到达终点： ；
②甲乙两人相遇： ；
③乙到达终点： .
点 P
点 M
点 N
(2) AB 两地之间的距离为 km.
240
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(4)如果乙到达 A 地后立刻原路原速返回到 B 地，则在甲到达 B 地的过程中，甲出发 h，甲乙相距100 km.
解：甲的速度是240÷6＝40(km/h)，乙的速度是240÷3＝80(km/h).
或 或
(3)求甲、乙各自的速度.
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1
点拨：相遇前：(240－100)÷(40＋80)＝ (h)；
第一次相遇后：100÷(40＋80)＝ (h)， ＋2＝ (h)；
乙开始向 B 地返回时，甲、乙相距3×40＝120(km)，
则(120－100)÷(80－40)＝0.5(h)，3＋0.5＝ (h).
综上，甲出发 h或 h或 h，甲乙相距100 km.
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8. 【新考法 材料阅读法】阅读与理解：小亮在学习一次函
数后，结合前面所学知识针对“求一元一次方程的解”整
理出以下方法，请仔细阅读并完成任务：
数学复习笔记 专题：求一元一次方程的解 时间：×年×月×日
引例：求一元一次方程2 x ＋1＝4－ x 的解 方法一：按照七年级解一元一次方程的步骤求解 移项，合并同类项，未知数系数化为1
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方法二：将方程移项，合并同类项得3 x
－3＝0，如图，把此方程的解看成一个
一次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，由图①可知该方程的解为 x ＝1
方法三：方程2 x ＋1＝4－ x 的解可以看
成两个一次函数 y ＝2 x ＋1和 y ＝4－ x 的交点的横坐标，由图②可知该方程的解为 x ＝1
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1
任务：
(1)方法二和方法三共同体现的一个数学思想是 ；(只
填序号)
①数形结合思想；②公理化思想；③分类讨论思想；④整
体思想
(2)依据“方法二”的思路，直接写出图①中对应的一次函数
表达式为 ；
①
y ＝3 x －3
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(3)参照“方法三”的思路，求一元一次方程 x ＋1＝ x －1的解.请在图③的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解.
解：如图所示.
由图可知该方程的解为 x ＝4.
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1(共7张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第2课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
1. 如图表示的是某植物生长 t 天后的高度 y (单位： cm)与 t
(单位：天)之间的关系，根据图象，下列结论不正确的是
( D )
A. 该植物初始的高度是3 cm
B. 该植物10天后的高度约是10 cm
C. 该植物平均每天生长约0.7 cm
D. y 与 t 之间的函数关系式是 y ＝ t ＋3( t ≥0)
D
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2. 【新趋势 学科内综合】下列图象中，能反映等腰三角形
的顶角 y (度)与底角 x (度)之间的函数关系的是( C )
A
B
C
D
C
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1
3. 已知方程 kx ＋ b ＝0的解是 x ＝3，则函数 y ＝ kx ＋ b 的图
象可能是( C )
A
B
C
D
C
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4. [2024郑州枫杨外国语学校月考]若直线 y ＝ ax ＋ b ( a ≠0)
过点 A (0，1)， B (2，0)，则关于 x 的方程 ax ＋ b ＝0的解
为( C )
A . x ＝0 B . x ＝1
C . x ＝2 D . x ＝3
C
2
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1
5. 如图，一辆轿车离某城市的距离 y (km)与行驶时间 t (h)之
间的关系式为 y ＝ kt ＋30，在1 h到3 h之间，轿车行驶的
路程是 km.
120
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1
6. 一根粗细均匀的蜡烛开始燃烧后剩下的长度 y (cm)与燃烧
的时间 x (min)的关系如图所示.
(1)这根蜡烛的总长度为 cm；
15
(2)燃烧10 min后，这根蜡烛剩下的长度为 cm；
(3)这根蜡烛每分钟燃烧 cm；
(4) y 与 x 之间的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范围为 .
10
0.5
y ＝－0.5 x ＋15
0≤ x ≤30
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1(共15张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第3课时 借助两个一次函数图象解决有关问题
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 【2024绍兴模拟教材P91例2变式】一辆汽车油箱中剩余
的油量 y (L)与已行驶的路程 x (km)的对应关系如图所示，
如果这辆汽车每千米耗油量相同，当油箱中剩余的油量为
35 L时，该汽车已行驶的路程为( A )
A. 150 km B. 165 km
C. 125 km D. 350 km
A
2
1
2. 如图，已知直线 y ＝ ax － b ，则关于 x 的方程 ax －1＝ b
的解为 x ＝ .
4
2
1
1. 如图，直线 y ＝2 x 与 y ＝ kx ＋ b 相交于点 P ( m ，2)，则
关于 x 的方程 kx ＋ b ＝2的解是( B )
A. x ＝ B. x ＝1
C. x ＝2 D. x ＝4
B
2
3
1
2. [2023天津西青区期末]如图， l1反映了某公司的销售收入
与销售量的关系， l2反映了该公司产品的销售成本与销售
量的关系，当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量
( D )
D
A. 小于3 t B. 大于3 t
C. 小于4 t D. 大于4 t
2
3
1
3. 小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前
往甲地，同时出发.两人离甲地的距离 y (m)与出发时间 x
(min)之间的函数关系如图所示.
(1)小丽步行的速度为 m/min；
80
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1
(2)当两人相遇时，求他们到甲地的距离.
解：(2)由题图可得出小丽步行的函数关系式为 y1＝80 x ；小华骑自行车的函数关系式为 y2＝－120 x ＋2 400.
令 y1＝ y2，得 x ＝12，此时 y1＝ y2＝960，故当两人相遇时，他们到甲地的距离为960 m.
2
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知识点 两个一次函数图象的应用
[教材P96习题T3变式] 某单位要印刷“市民文明出行，
遵守交通安全”的宣传材料.甲印刷厂提出：每份材料收2元印刷费，另收1 000元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收3元印刷费，不收制版费.
(1)分别写出两个印刷厂的收费 y甲(元)， y乙(元)与印刷数量 x
(份)之间的关系式(不用写出自变量的取值范围).
解：(1) y甲＝2 x ＋1 000， y乙＝3 x .
(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出它们的图象，并求出
当印刷多少份宣传材料时，两个印刷厂的印刷费用相同？
此时费用为多少？
解：(2)图象如图所示.当 y甲＝ y乙时，可得2 x ＋1 000＝3
x ，所以 x ＝1 000.当 x ＝1 000时， y甲＝ y乙＝3 000，所以
印刷1 000份宣传材料时，费用相等，为3 000元.
(3)结合图象回答：在印刷数量相同的情况下选哪个印刷厂印
刷更省钱？
解：(3)由图象可知：当印刷宣传材料不足1 000份时选择乙印刷厂省钱；当印刷宣传材料为1 000份时，甲、乙印刷厂费用一样；当印刷宣传材料超过1 000份时，选择甲印刷厂省钱.
变式[2024青岛崂山区期中]小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900 m.小明因有事比小亮晚一些出发，图中的射线 y1＝ k1 t ， y2＝ k2 t ＋ b 分
别是小明、小亮行驶的路程 y (m)与小明追赶
的时间 t (s)之间的函数关系的图象.
(1)观察图象可知，小亮比小明先走了 m；
100
(2)求 k1， k2的值，并解释 k2的实际意义；
解：(2)小明的速度为60÷20＝3(m/s)，故k1＝3；小亮的速度为(140－100)÷20＝2(m/s)，故 k2＝2， k2的实际意义为小亮每秒走2 m.
(3)通过计算说明谁先到博物馆.
解：(3)根据题意，得 y1＝3 t ， y2＝2 t ＋100，当3 t ＝2 t ＋100时，解得 t ＝100.当 t ＝100时，小亮所走的路程为100×2＋100＝300(m)，
所以小明在离学校300 m的地方追上了小亮，所以小明先到博物馆.
