(共26张PPT)
第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 二元一次方程(组)的概念
1. [2024西安爱知初级中学月考]下列式子中，是二元一次方
程的是( C )
A. x ＋2 y2＝－3 B. xy ＝－2
C. 3 x － y ＝1 D. x ＋ y
C
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2. [2024成都石室天府中学期末]下列方程组中，是二元一次
方程组的是( B )
A. B.
C. D.
B
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3. 已知方程2 xm－1－3 y ＝5是关于 x ， y 的二元一次方程，则
m ＝ .
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知识点2 二元一次方程(组)的解
4. [2023衢州]下列各组数满足方程2 x ＋3 y ＝8的是( A )
A. B.
C. D.
A
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5. 在①②③三组数值中，
是方程 x ＋ y ＝3的解， 是方程3 x ＋2 y ＝5
的解， 是方程组的解.(填序号)
①
③
②③
③
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6. 【新视角 开放性试题】请你写出一个解为的二
元一次方程组： .
(答案不唯一)
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7. 已知是方程2 x － ay ＝3的一个解，那么 a 的值
是 .
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知识点3 根据实际问题列方程(组)
8. 【情境题·体育赛事】2023年第19届国际篮联篮球世界杯小组赛在印度尼西亚、日本及菲律宾同时进行.球迷小李在网上购买了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，总价为21 200元，其中小组赛门票每张2 800元，决赛门票每张6 400元，若设小李购买了小组赛门票 x 张，决赛门票 y 张，根据题意可列方程组为 .
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9. [教材P106习题T3变式]根据下列语句，分别设适当的未知
数，列出二元一次方程(组).
(1)甲数的 比乙数的2倍少7；
解：设甲数为 x ，乙数为 y ，则 x －2 y ＝－7.
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(2)摩托车的速度是货车的 倍，它们的速度之和是200 km/h；
解：设摩托车的速度为 x km/h，货车的速度为 y km/h，则
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(3)某件上衣的单价是某件裤子单价的1.4倍，5件裤子比3
件上衣贵700元.
解：设上衣的单价为 x 元，裤子的单价为 y 元，则
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10. 小亮解方程组的解为由于不小心
滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个
数●与★的值分别为( A )
A. 8，－2 B. 8，2
C. －8，2 D. －8，－2
A
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11. 若等式2 x｜ m｜＋( m －1) y ＝3，是关于 x ， y 的二元一次
方程，则 m 的值是( C )
A. ±1 B. 1
C. －1 D. ±2
C
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12. 二元一次方程 x ＋ y ＝4有 个解，有 个正整
数解，分别为 .
无数
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13. [教材P106习题T3(2)变式]《九章算术》是中国传统数学
的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共
买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价
各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3
钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？
设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，根据题意可列方程组
为 .
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14. [2024南京秦淮外国语学校模拟]已知是方程 ax
＋ by ＝3的解，则代数式2 a ＋4 b －5的值为 .
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15. 正数 a 的两个平方根是方程2 x ＋3 y ＝2的一组解，则 a
的值为 .
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16. 【新考法 定义法】已知关于 x ， y 的方程( m2－4) x2＋( m ＋2) x ＋( m ＋1) y ＝ m ＋5.
(1)当 m 为何值时，它是一元一次方程？
解：依题意得 m2－4＝0且 m ＋2＝0， m ＋1≠0，
或 m2－4＝0且 m ＋1＝0， m ＋2≠0(此时无解)，所以m ＝－2.
即当 m ＝－2时，它是一元一次方程.
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(2)当 m 为何值时，它是二元一次方程？
解：依题意得 m2－4＝0且 m ＋2≠0， m ＋1≠0，
解得 m ＝2.即当 m ＝2时，它是二元一次方程.
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17. 【新考向 传统文化】随着中国传统节日“端午节”的临
近，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销
活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子
打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买6盒甲品
牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品
牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元.若设打折前甲、
乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为 a 元、 b 元.
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(1)请根据题意列出方程组；
解：根据题意，得
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解：将代入中，可得它使每个方程都成立，
所以是(1)中所列方程组的解.
(2)请判断是不是(1)中所列方程组的解.
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18. 【新考法 转化法】已知关于 x ， y 的方程组
的解是求关于 x ， y 的方程组
的解.
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解：将代入方程组，得
将方程组变形，得
所以 ＝1， y ＝2，
解得 x ＝3， y ＝3.故所求方程组的解为
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1(共21张PPT)
第五章 二元一次方程组
2 求解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 直接用代入消元法解二元一次方程组
1. [2024西安理工大附中月考]用“代入消元法”解方程组
时，下列说法中，正确的是( B )
B
A. 直接把①代入②，消去 y
B. 直接把①代入②，消去 x
C. 直接把②代入①，消去 y
D. 直接把②代入①，消去 x
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2. 用“代入消元法”解方程组 时，把②代
入①后，可得( A )
A. 3 x －2＝1－ x B. 3 x －2＝ x －1
C. 3 x ＋2＝1－ x D. 3 x ＋2＝ x －1
A
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3. 二元一次方程组的解是 .
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4. [教材P108例1变式]解方程组：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
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知识点2 变形后用代入消元法解二元一次方程组
5. 用含有 x 或 y 的式子表示 y 或 x ：
(1)已知 x ＋ y ＝5，则 y ＝ ；
(2)已知 x －2 y ＝1，则 y ＝ ；
(3)已知 x ＋2( y －3)＝5，则 x ＝ .
5－ x
11－2 y
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6. 【新考法 过程分析法】下面是小红同学解二元一次方程
组的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：
由①，得 x ＝ ，③(第一步)
将③代入②，解得 y ＝ .(第二步)
1＋2 y
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将 y 的值代入③，解得 x ＝ .(第三步)
所以原方程组的解为 .(第四步)
(1)请将上面的空格补充完整；
(2)第一步变形的依据为
；
(3)该方程组的解法为 消元法.
5
等式两边同时加(或减)同一个代
数式，所得结果仍是等式
代入
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7. [母题教材P109例2变式][2024西安铁一中月考] 解方
程组：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
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8. 由关于 x ， y 的二元一次方程组可得出 x 与
y 之间的关系是( D )
A. 2 x － y ＝－4 B. 2 x － y ＝4
C. 2 x ＋ y ＝－4 D. 2 x ＋ y ＝4
D
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9. 如果｜ x －2 y ＋1｜与( x ＋ y －5)2互为相反数，那么 x
＝ ， y ＝ .
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10. [2024温州开学考试]小慧用列表法研究关于 x ， y 的二元
一次方程 ax ＋ y ＝ b 整数解的规律，下表是小慧列表的
部分内容：
x －1 0 1 2 5
y －7 －3 1 m n
根据上表完成下列问题：
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(1)求 a ， b 的值；
解：将代入 ax ＋ y ＝ b ，得 b ＝－3.
将代入 ax ＋ y ＝ b ，得 a ＋1＝ b ，
把 b ＝－3代入 a ＋1＝ b ，得 a ＝－4.
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(2)求 m ， n 的值.
解：由(1)得 a ＝－4， b ＝－3，
所以－4 x ＋ y ＝－3.
所以当 x ＝2时，－4×2＋ m ＝－3，解得 m ＝5；
当 x ＝5时，－4×5＋ n ＝－3，解得 n ＝17.
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11. 【2024武汉月考新考法·学科内综合】一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3 x －2 y ， x ＋2 y ，若这两个三角形全等，则 x ＋ y 的值是多少？
解：由题意得或
解得或所以 x ＋ y ＝5或 x ＋ y ＝4.
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12. 【新考法 阅读材料法】阅读材料：善于思考的小军在解
方程组时，采用了一种“整体代入”的
解法：
解：将第二个方程变形为4 x ＋10 y ＋ y ＝5，
即2(2 x ＋5 y )＋ y ＝5.
然后把第一个方程，代入得2×3＋ y ＝5，
解得 y ＝－1.
把 y ＝－1代入第一个方程，得
2 x ＋5×(－1)＝3，解得 x ＝4.
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所以原方程组的解为
请你解决下列两个问题：
(1)模仿小军的“整体代入”法解方程组
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解：
把②变形为9 x －6 y ＋2 y ＝19，即3(3 x －2 y )＋2 y ＝19.③
把①代入③，得3×5＋2 y ＝19，解得 y ＝2.
把 y ＝2代入①，得3 x －2×2＝5，解得 x ＝3.
所以原方程组的解为
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(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组：
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解：
由①得2 x －3 y ＝2，③
将③代入②，得 ＋2 y ＝9，解得 y ＝4.
将 y ＝4代入①，得2 x －3×4－2＝0，解得 x ＝7.
所以原方程组的解为
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1(共22张PPT)
第五章 二元一次方程组
3 应用二次一次方程组——鸡兔同笼
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 用二元一次方程组解决古代数学问题
1. [2024北京东城区期末]我国古代《算法统宗》里有这样一
首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多
七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果
一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9
人，那么就空出一间客房，若设该店有客房 x 间，房客 y
人，则列出关于 x ， y 的二元一次方程组正确的是( B )
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A. B.
C. D.
则列出关于 x ， y 的二元一次方程组正确的是( B )
B
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2. [2024扬州模拟]我国古代数学名著《孙子算经》中记载了
一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大
马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦.问有多少匹大马、多少
匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组
为 .
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3. 【新考向 数学文化】我国古代数学名著《九章算术》中
有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一
斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几
何？”其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行
酒(劣质酒)1斗，价值10钱.现用30钱，买得2斗酒.问醇
酒、行酒各能买多少？
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解：设醇酒能买 x 斗，行酒能买 y 斗，
依题意得解得
所以醇酒能买 斗，行酒能买 斗.
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知识点2 用二元一次方程组解决和差倍分问题
4. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力
和团队精神，某市举办了青少年机器人竞赛.组委会为每
个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12件，
若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几
张桌子和几条凳子？设有 x 张桌子，有 y 条凳子，根据题
意所列方程组正确的是( B )
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A. B.
C. D.
根据题意所列方程组正确的是( B )
B
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5. 某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男
同学挑土，每一人挑两筐.已知全班共用箩筐56只，扁担
36根.设男生 x 人，女生 y 人，则可得方程组
为 .
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6. 一家超市中，杏的售价为11元/千克，桃的售价为10元/千
克，小菲在这家超市买了杏和桃共5千克，共花费52元，
求小菲这次买的杏、桃各多少千克.
解：设小菲这次买的杏、桃分别为 x 千克、 y 千克，
由题意得解得
所以小菲这次买杏2千克、买桃3千克.
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7. [教材P115例变式]《孙子算经》中有一道题：“今有木，
不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸；屈绳量之，不足一
尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木
条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1
尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子长 y
尺，可列方程组为( C )
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A. B.
C. D.
【答案】C
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8. [2024宝鸡一模情境题·生活应用]2024年乒乓球世界杯举世
瞩目，某大型企业为奖励年度优秀员工，预定了小组赛和
决赛两个阶段的门票共20张作为奖品，总价为12 010元.
已知小组赛门票每张438元，决赛门票每张1 088元，设该
企业预定了小组赛门票 x 张，决赛门票 y 张，根据题意可
列方程组为( A )
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1
A.
B.
C.
D.
【答案】A
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1
9. [教材P134复习题T19变式]长方形 ABCD 中放置了6个形
状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中
阴影部分的面积是 cm2.
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1
10. 运动会结束后八(1)班班主任准备购买一批明信片奖励积
极参与运动会各个比赛项目的学生，计划用班费180元购
买 A ， B 两种明信片共20盒，已知 A 种明信片每盒12
元， B 种明信片每盒8元.
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1
(1)根据题意，甲同学列出了尚不完整的方程组如下：
请在括号内填上具体的数并写出 a ， b
分别表示的含义， a 表示 ， b
表示 ；
A 种明信片的总价
B 种明信片的总价
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1
(2)乙同学设了未知数但不会列方程组，请你帮他列出方程组并求出它的解.
乙： x 表示购买 A 种明信片的盒数， y 表示购买 B 种明信片的盒数.
解：根据题意，得解得
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1
11. 某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了 n 块相同的金属板
材，已知每块金属板材可以有 A ， B ， C 三种裁剪方
式，如图， A 方式：裁剪成9个圆形底面和1个侧面； B
方式：裁剪成4个侧面； C 方式：裁剪成12个圆形底面.
已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且
要求圆形底面与侧面恰好配套.现已有4块金属板材按 C
方式裁剪.设有 x 块金
属板材按 A 方式裁剪，
y 块金属板材按 B 方
式裁剪.
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1
(1)可以裁剪出圆形底面共 个(用含 x 的代数式表示)，侧面共 个(用含 x ， y 的代数式表示).
(9 x ＋48)
( x ＋4 y )
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1
解：依题意得解得
所以 x ＋4 y ＝8＋4×13＝60.
所以最多能加工圆柱形茶叶盒60个.
(2)当 n ＝25时，最多能加工圆柱形茶叶盒几个？
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1(共8张PPT)
第五章 二元一次方程组
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1. 【立德树人 绿色行动】为了响应建设美丽家园的号召，现计划给甲、乙两校各若干株树苗.若甲校得到乙校所有树苗的 ，则甲校的树苗总数变为50株.若乙校得到甲校所有树苗的 ，那么乙校的树苗总数也变为50株.设计划分给甲校 x 株树苗，乙校 y 株树苗，则可列二元一次方程组为( A )
2
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1
A. B.
C. D.
【答案】A
2
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5
1
2. 《孙子算经》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，
二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”若设人
数为 x ，车数为 y ，则可列方程组为 .
2
3
4
5
1
3. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：
“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，
却比竿子短一托.”若1托为5尺，则竿子、索长分别
为 .
15尺，20尺
2
3
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5
1
4. [2024西安临潼区一模]陕西是联合国粮农组织认定的世界
苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果的最大区域.
某苹果园现有一批苹果，计划租用 A ， B 两种型号的货车
将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆 A 型车和2辆 B
型车一次可运苹果13吨；用4辆 A 型车和3辆 B 型车一次可
运苹果18吨.则1辆 A 型车和1辆 B 型车满载时一次分别运
苹果 吨， 吨.
3
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3
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5
1
5. [2024咸阳期末]为了全面提高学生的综合素养，启迪学生
的数学思维，某校初二年级开展了“数学思维导图”评比
活动，学校计划购买 A ， B 两种奖品用于奖励此次活动表
现优异的学生.已知2件 A 种奖品的总价格等于3件 B 种奖
品的总价格，4件 A 种奖品的总价格比5件 B 种奖品的总价
格高10元，求每件 A 种奖品和每件 B 种奖品的价格分别为
多少元？
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3
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5
1
解： 设每件 A 种奖品的价格为 x 元，每件 B 种奖品的价格为 y 元.
由题意得解得
所以每件 A 种奖品的价格为15元，每件 B 种奖品的价格为10元.
2
3
4
5
1(共6张PPT)
第五章 二元一次方程组
4 应用二元一次方程组——增收节支
1. [2024成都阶段练习]某学校现有学生500人，计划一年后男生增加3％，女生增加4％，这样总人数将增加3.4％.求该校现有男生和女生各多少人.
设该校现有男生 x人，女生 y 人.填写下表并求出 x ，y的值.
2
1
男生人数 女生人数 总人数
现在 x y 500
一年后 (1＋3％) x (1＋4％) y 500(1＋3.4％)
x
y
500
(1＋3％) x
(1＋4％) y
500(1＋3.4％)
解： 根据上表，可以列出方程组
解得
因此，该校现有男生300人，女生200人.
2
1
2. 【情境题 食品安全】食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输.研究表明某饮料加工厂生产甲、乙两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂260克，其中甲种饮料每瓶需加添加剂2克，乙种饮料每瓶需加添加剂3克，则该饮料加工厂生产甲、乙两种饮料各多少瓶？
2
1
设饮料加工厂生产甲种饮料 x 瓶，乙种饮料 y 瓶.填写下表并求出 x ， y 的值.
甲种饮料 乙种饮料 甲、乙两种饮料总和
饮料瓶数 x y 100
添加剂克数 2 x 3 y 260
x
y
100
2 x
3 y
260
2
1
解： 根据上表，可以列出方程组
解得
因此，饮料加工厂生产甲种饮料40瓶，乙种饮料60瓶.
2
1(共14张PPT)
第五章 二元一次方程组
4 应用二元一次方程组——增收节支
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
增收节支问题(分析问题中所蕴含的数量关系)：
1. 增长(下降)率公式：
原来的量×(1 增长率)＝后来的量；原来的量
×(1 下降率)＝后来的量.
＋
－
2
3
1
2. 利润公式：
＝总收入－总支出；利润＝售价－成本(或进价)
＝成本×利润率；
利润率＝ ×100％；售价＝成本(或进价)×(1＋
).
利润
利
润率
2
3
1
3. 利率公式：
利息＝本金× ×期数；
本息和(本利和)＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数
＝本金×(1＋利率×期数).
利率
2
3
1
1. 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙
种水每桶6元，乙种水桶数是甲种水桶数的75％，设买甲
种水 x 桶，乙种水 y 桶，则所列方程组中正确的是( A )
A. B.
C. D.
A
2
1
2. [教材P117素材变式] 某工厂前年的总产值比总支出多
500万元.由于去年总产值比前年增加了15％，总支出比前
年节约了10％，因此，去年总产值比总支出多950万元.去
年的总产值和总支出各为多少万元？(设前年的总产值为 x
万元，总支出为 y 万元，完成下表再解答)
总产值/万元 总支出/万元 (总产值－总支出)/万元
前年 x y 500
去年 (1＋15％) x (1－10％) y 950
(1＋15％) x
(1－10％) y
2
1
解：根据上表列方程组，得
解得
则(1＋15％) x ＝2 300，(1－10％) y ＝1 350.
所以去年的总产值为2 300万元，总支出为1 350万元.
2
1
知识点 用二元一次方程组解决表格问题
【2024西安铁一中期末教材P119习题 T 4变式】李师傅每
天从批发市场批发黄瓜和茄子共100千克去菜市场卖，这两
种蔬菜的批发价和零售价在一周内保持不变.他周一用260元批发了60千克黄瓜和40千克茄子，周二用240元批发了40千克黄瓜和60千克茄子.本周黄瓜和茄子的批发价和零售价如下表所示：
名称 黄瓜 茄子
批发价/(元/千克) m n
零售价/(元/千克) 6.6 5.4
(1)求 m ， n 的值；
解：(1)根据题意，得解得
(2)请你帮李师傅计算一下，如果他周三批发60千克茄子，当
天卖完所有批发的黄瓜和茄子后，能获利多少元？
解：(2)100－60＝40(千克)，所以当天卖出所有批发的黄瓜和茄子后，能获利40×(6.6－3)＋60×(5.4－2)＝348(元).
变式【陕西人文信息 旅游】西安的大唐不夜城已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着琳琅满目的具有
古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用1 580元购进了折扇和团扇共100把，这两种扇子的进价、标价如下表所示：
折扇 团扇
进价/(元/把) 13 20
标价/(元/把) 30 40
(1)折扇和团扇各购进了多少把？
解：(1)设折扇购进了 x 把，团扇购进了 y 把，依题意，得
解得
所以折扇购进了60把，团扇购进了40把.
(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共
获利1 240元，已知折扇按标价的九折出售，则团扇打多
少折？
解：(2)设团扇打 m 折，依题意，得(30×0.9－13)×60＋
×40＝1 240，解得 m ＝7.5.
所以团扇打七五折.(共7张PPT)
第五章 二元一次方程组
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1. 【教材 P 121随堂练习变式】已知两数x，y之和是10，x比y
的3倍大2，则下面所列方程组，正确的是( C )
A. B.
C. D.
C
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1
2. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个
两位数加上45，恰好成为把个位数字和十位数字对调后组
成的数，那么这个两位数是( A )
A. 16 B. 25
C. 52 D. 61
A
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1
3. [2024衡水期中]糖葫芦是中国传统小吃，一般是将山楂用
竹签串成串，然后蘸上麦芽糖稀制作而成，现将一些山楂
和竹签制成糖葫芦，如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个
山楂；如果每根竹签穿8个山楂，还剩余7根竹签.设竹签
有x根，山楂有y个，则下列说法错误的是( C )
C
A. 用含 y 的代数式表示 x 可以是
B. 依据题意可得方程组
C. 竹签有22根
D. 山楂有104个
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1
4. 弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁.”哥
哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁.”求弟弟和
哥哥的年龄.设这一年弟弟 x 岁，哥哥 y 岁，根据题意可列
出二元一次方程组是 .
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1
5. 甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时追上甲；
若相向而行，2小时两人相遇.则甲每小时走 千米，
乙每小时走 千米.
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1
6. [2024长春月考]某地为了打造风光带，将一段长为360 m
的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成，共
用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整
治16 m.则甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道？
解： 设甲工程队整治了 x m河道，乙工程队整治了 y m河道.
依题意，得解得
所以甲工程队整治了120 m河道，乙工程队整治了240 m河道.
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1(共20张PPT)
第五章 二元一次方程组
6 二元一次方程与一次函数
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
1. 已知2 x ＋3 y ＝6.
(1)若把2 x ＋3 y ＝6转化为用含 x 的代数式表示 y ，则 y
＝ .如果将 x 看成是自变量，那么 y 是 x
的 .这样一个二元一次方程2 x ＋3 y ＝6就
对应一个 .
－ x ＋2
一次函数
一次函数
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1
(2)直线 y ＝－ x ＋2上每个点的坐标( x ， y )满足一次函
数 ，并且这个有序实数对( x ， y )也满
足方程2 x ＋3 y ＝6，都是方程2 x ＋3 y ＝6的 ；
反过来，方程2 x ＋3 y ＝6的每一个解组成的有序实数
对( x ， y )也都满足一次函数 ，并且以
( x ， y )为坐标的点都在直线 上.
y ＝－ x ＋2
解
y ＝－ x ＋2
y ＝－ x ＋2
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1
2. 【新考法 特殊值代入法】下列直线，其中直线上每个点
的坐标都是二元一次方程2 x － y ＝2的解的是( C )
A
B
C
D
C
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1
3. 如图是一次函数 y ＝ ax － b 的图象，则关于 x 的方程 ax －
b ＝1的解为 x ＝ .
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1
4. [2023西安月考]已知一次函数 y ＝ ax ＋ b 中 x 和 y 的部分
对应值如表所示：那么方程 ax ＋ b ＝0的解是( B )
x －2 －1 0 2 2.5
y 6 4 2 －2 －3
A. x ＝0 B. x ＝1
C. x ＝2 D. x ＝3
B
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知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系
5. [教材P123做一做变式]如图，在平面直角坐标系中，直线
y ＝2 x ＋ b 与直线 y ＝－3 x ＋6相交于点 A ，则关于 x ， y
的二元一次方程组的解是( B )
B
A. B.
C. D.
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6. 小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一
坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是
( D )
D
A. B.
C. D.
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1
7. [教材P124想一想变式]若关于 x ， y 的二元一次方程组
无解，则直线 y ＝3 x －2与 y ＝ kx －3的位
置关系是( A )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交 D. 重合
A
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1
8. 直线 y ＝ ax ＋ b 和直线 y ＝ bx ＋3 a 的交点坐标是(2，－1)，则 a ＝ ， b ＝ .
－1
1
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1
9. [2024西安莲湖区模拟]在同一平面直角坐标系中，直线 y
＝－ x ＋3与 y ＝2 x ＋ m 相交于点 P (4， n )，则关于 x ， y
的方程组的解为( C )
A. B.
C. D.
C
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1
10. [2024渭南一模]如图，两条直线的交点坐标(－2，3)可以
看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是 x ＋ y
＝1，则另一个方程是( B )
A. 2 x － y ＝1
B. 2 x ＋ y ＝－1
C. 2 x ＋ y ＝1
D. 3 x － y ＝1
B
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1
11. [2024西安高新第一中学期中]如果关于 x ， y 的方程组
无解，那么直线 y ＝－( k ＋3) x － k
不经过第 象限.
三
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12. 如图，直线 l1： y ＝2 x ＋1与直线 l2： y ＝ mx ＋4相交于
点 P (1， b )，两直线与 x 轴分别交于 A ， B 两点.
(1)求 b ， m 的值，结合图象写出关于 x ， y 的方程组的解；
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1
解：把点 P (1， b )的坐标代入 y ＝2x ＋1，得 b ＝3.
把点 P (1，3)的坐标代入 y ＝ mx ＋4，得 m ＋4＝3，
所以 m ＝－1.
因为直线 l1： y ＝2 x ＋1与直线 l2： y ＝ mx ＋4相交于点 P (1，3)，
所以方程组的解为
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1
(2)求△ ABP 的面积；
解：由 l1： y ＝2 x ＋1， l2： y ＝－ x ＋4，
易知 A ， B (4，0)，所以 AB ＝ ，
所以 S△ ABP ＝ × ×3＝ .
(3)垂直于 x 轴的直线 x ＝ a 与直线 l1， l2分别交于点 C ，D ，若线段 CD 的长为3，直接写出 a 的值.
a ＝2或 a ＝0.
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13. 【2024西安铁一中期末新考法·分类讨论法】如图，直线
l1： y ＝ x ＋1与直线 l2： y ＝－2 x ＋6交于点 A ， l1， l2
分别与 x 轴交于点 B ， C .
(1)请直接写出点 A ， B ， C 的坐标；
解：A (2，2)， B (－2，0)， C (3，0).
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1
(2) D 点为直线 l2上一点，当 S△ ABD ＝2 S△ ABC 时，求 D 点的坐标.
解：因为 A (2，2)， B (－2，0)， C (3，0)，
所以 BC ＝5， BC 边上的高为2，
所以 S△ ABC ＝ ×5×2＝5.
因为 S△ ABD ＝2 S△ ABC ，所以 S△ ABD ＝10.
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1
因为 D 点为直线 l2上一点，所以设 D ( d ，－2 d ＋6).
当点 D 在 AB 上方时， S△ ABD ＝ S△ DBC － S△ ABC ，
所以 S△ DBC ＝ S△ ABD ＋ S△ ABC ＝15，即 ×5×(－2 d ＋6)＝15，解得 d ＝0，所以 D (0，6)；
当点 D 在 AB 下方时， S△ ABD ＝ S△ ABC ＋ S△ BCD ，所以 S△ BCD ＝ S△ ABD － S△ ABC ＝5，即 ×5×[－(－2 d ＋6)]＝5，解得 d ＝4，所以 D (4，－2).
综上所述， D 点的坐标为(0，6)或(4，－2).
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1(共22张PPT)
第五章 二元一次方程组
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式
1. [教材P127做一做变式]若一条直线经过点 A (－1，1)和 B
(1，5)，则这条直线的函数表达式为 .
y ＝2 x ＋3
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1
2. 小红练习仰卧起坐，5月1日至4日的成绩记录如下表.已知
小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间为一次函数关系，以
上记录的数据中 a 的值是 .
日期x/日 1 2 3 4
成绩y/个 40 43 a 49
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1
3. 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)的图象经过点 A (－3，
2)，与 x 轴的交点为 B ，若 OB ＝4，则这个一次函数的表
达式为 .
y ＝2 x ＋8或 y ＝－ x ＋
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1
知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题
4. 某品牌鞋子的长度 y (cm)与鞋子的“码”数 x 之间满足一
次函数关系，若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长
度为27 cm，则42码鞋子的长度为 cm.
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5. 【情境题 生活应用】某地出租车计费方法如图所示， x
(km)表示行驶里程， y (元)表示车费，请根据图象回答下
面的问题：
(1)该地出租车的起步价是 元；
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(2)当 x ＞3时，求 y 关于 x 的函数关系式；
解：由图象知，当 x ＞3时， y 与 x 的图象为一次函数图象，并且经过点(3，10)，(5，14)，所以设 y 关于 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)，
则有解得
所以 y ＝2 x ＋4( x ＞3).
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(3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘
车的里程.
解：由题意可知，该乘客乘车里程超过了3 km，
则2 x ＋4＝40，解得 x ＝18.
故这位乘客乘车的里程为18 km.
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6. 在直角坐标系中，点 A (2，－3)， B (4，3)， C (5， a )在
同一条直线上，则 a 的值是( B )
A. －6 B. 6
C. 6或3 D. 6或－6
B
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7. 如果一次函数 y ＝ kx ＋ b ，当－3≤ x ≤1时，－1≤ y
≤7，则 kb 的值为( D )
A. 10 B. 21
C. －10或2 D. －2或10
D
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8. [2024西安唐南中学月考]已知一条直线经过点(0，－2)且
与两坐标轴围成的三角形面积为3，则这条直线的表达式
为( D )
D
A. y ＝ x ＋2或 y ＝－ x ＋2
B. y ＝ x －2或 y ＝－ x －2
C. y ＝－3 x －2或 y ＝－2 x －2
D. y ＝ x －2或 y ＝－ x －2
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9. [2023西安爱知中学月考]若直线 l1经过(－1，0)，直线 l2经
过(2，2)，且 l1， l2的图象关于 y 轴对称，则 l1与 l2的交点
坐标为( D )
A. B. (0，2)
C. (－2，0) D. (0，－2)
D
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10. [2024深圳盐田区月考]已知 A 地在 B 地正南方3 km处，
甲、乙两人同时分别从 A ， B 两地向正北方向匀速直
行，他们与 A 地的距离 s (km)与所行时间 t (h)之间的函数
关系的图象如图中的 OC 和 FD 所示.当他们行走3 h后，
他们之间的距离为( C )
C
A. 0.5 km
B. 1 km
C. 1.5 km
D. 2.5 km
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11. 【新考向 传统文化】杆秤是人类发明的各种衡器中历史
最悠久的一种，它制作轻巧、经典，使用便利，作为商
品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图
所示.当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣
到秤纽的水平距离为4 cm，当秤杆处于水平位置时，秤
钩所挂重物每增加1 kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8
cm.
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(1)当秤杆处于水平位置时，写出秤砣到秤纽的水平距离y (cm)与秤钩所挂重物 x (kg)之间的函数关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；
解：由题意可得，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离 y (cm)与秤钩所挂重物 x (kg)之间的函数关系式是 y ＝8 x ＋4， y 是 x 的一次函数.
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(2)当秤钩所挂重物为3 kg时，求秤砣到秤纽的水平距离；
解：当 x ＝3时， y ＝8×3＋4＝28，
即当秤钩所挂重物为3 kg时，秤砣到秤纽的水平距离是28 cm.
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(3)当秤砣到秤纽的水平距离为20 cm时，求秤钩所挂重物的质量.
解：当 y ＝20时，20＝8 x ＋4，解得 x ＝2.
即当秤砣到秤纽的水平距离为20 cm时，秤钩所挂重物的质量是2 kg.
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12. 【立德树人 弘扬传统文化】赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比
赛，从起点 A 驶向终点 B ，在整个行程中，龙舟离开起
点的距离 y (m)与时间 x (min)的对应关
系如图所示，请结合图象解答下列问题.
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(1)起点 A 与终点 B 之间相距 m.
(2)哪支龙舟队先到达终点？ (填“甲”或“乙”)
3 000
乙
(3)分别求甲、乙两支龙舟队离开起点的距离 y 关于 x 的函数关系式.
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解：设甲龙舟队的 y 关于 x 的函数关系式为 y ＝ kx ，
把(25，3 000)的坐标代入，可得3 000＝25 k ，解得 k ＝120，
则甲龙舟队的 y 关于 x 的函数关系式为 y ＝120 x (0≤ x ≤25).
设乙龙舟队的 y 关于 x 的函数关系式为 y ＝ ax ＋ b ，
把(5，0)，(20，3 000)的坐标分别代入，
可得解得
所以乙龙舟队的 y 关于 x 的函数关系式为 y ＝200 x －1 000 (5≤ x ≤20).
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(4)求出甲龙舟队出发多长时间时，两支龙舟队相距200 m？
解：令120 x ＝200 x －1 000，可得 x ＝12.5，即当 x ＝12.5时，两龙舟队相遇.当 x ＜5时，令120 x ＝200，则 x ＝ (符合题意)；当5≤ x ＜12.5时，令120 x －(200 x －1 000)＝200，则 x ＝10(符合题意)；当12.5＜ x ≤20时，令200 x －1 000－120 x ＝200，则 x ＝15(符合题意)；当20＜ x ≤25时，令3 000－120 x ＝200，则 x ＝ (符合题意).
综上所述，甲龙舟队出发 min或10 min或15 min或 min时，两支龙舟队相距200 m.
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1(共19张PPT)
第五章 二元一次方程组
*8 三元一次方程组
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 三元一次方程(组)的有关概念
1. 下列方程中，三元一次方程共有( B )
(1) x ＋ y ＋ z ＝3； (2) x · y · z ＝3；
(3) ＝1；(4) ＝1.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
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2. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
A. B.
C. D.
D
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3. 在①②③这三组数值
中， 是方程 x ＋2 y ＋ z ＝3的解， 是方
程2 x － y － z ＝1的解， 是方程3 x － y － z ＝2的
解，因此 是方程组的解.
①②
②③
②
②
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知识点2 三元一次方程组的解法
4. 运用加减法解方程组较简单的方法
是( C )
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A. 先消去 x ，再解
B. 先消去 z ，再解
C. 先消去 y ，再解
D. 将三个方程相加，再解8 x －2 y ＋4 z ＝11
【答案】C
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5. [教材P130例变式]解方程组：
解：
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知识点3 三元一次方程组的简单应用
6. 若 a ， b ， c 为三角形的三边长，此三角形的周长为18，
且 a ＋ b ＝2 c ， b ＝2 a ，则 a ＝ ， b ＝ ， c
＝ .
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7. [教材P122习题T3变式]小明从家到学校的路程为2 500 m，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上坡路每分钟行60 m，平路每分钟行80 m，下坡路每分钟行 100 m，那么小明从家到学校要用33 min，从学校到家要用31 min，求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少米.
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解：设小明家到学校的上坡路是 x m，平路是 y m，下坡路是 z m.
依题意，得解得
因此，小明家到学校的上坡路是600 m，平路是1 600 m，下坡路是300 m.
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8. [2024宁波镇海区期末]甲、乙、丙三人共解出100道题，
每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做
难题，2人解出的题叫做中等题，3人都解出的题叫做容易
题，试问：难题和容易题谁多，多几题？( B )
B
A. 容易题比难题多，多20道
B. 难题比容易题多，多20道
C. 一样多
D. 无法确定
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9. [2024惠州惠阳区期末]某社团组织了一次智力竞赛，共
a ， b ， c 三题，每题或者得满分或者得0分，其中题 a 满
分为10分，题 b 、题 c 满分均为15分.竞赛结果显示，每个
学生至少答对了一题，三题全答对的有2人，答对其中两
题的有14人，答对题 a 的人数与答对题 b 的人数之和为
29，答对题 a 的人数与答对题 c 的人数之和为27，答对题
b 的人数与答对题 c 的人数之和为20，则这个社团的平均
成绩是多少分？
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解：设答对题 a 的有 x 人，答对题 b 的有 y 人，答对题 c 的
有 z 人，
根据题意，得解得
社团总得分为18×10＋(11＋9)×15＝480(分)，
社团总人数为18＋11＋9－1×14－2×2＝20(人)，
所以这个社团的平均成绩是480÷20＝24(分).
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10. 【新考法 阅读类比法】先阅读下面的材料，再解决
问题：
有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一
个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下
问题：
已知实数 x ， y 满足①3 x － y ＝5，②2 x ＋3 y ＝7，求 x
－4 y 和7 x ＋5 y 的值.
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本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x ， y
的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量
比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关
系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如
由①－②可得 x －4 y ＝－2，由①＋②×2可得7 x ＋5 y
＝19，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
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解决问题：
(1)已知二元一次方程组则 x － y ＝ ， x ＋ y ＝ .
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(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
解：设购买1支铅笔 x 元，1块橡皮 y 元，1本日记本 z 元，
由题意，得
①×2－②，得 x ＋ y ＋ z ＝6，所以5( x ＋ y ＋ z )＝30.
所以购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
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(3)对于实数 x ， y ，定义新运算：x*y＝ ax ＋ by ＋ c ，其中 a ， b ， c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ .
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