(共12张PPT)
第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 认识证明的必要性
1. 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是
( D )
A. 只需观察得出
B. 只靠经验获得
C. 通过亲自实验得出
D. 必须进行有根据的推理
D
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1
2. 小芳和小明在手工制作课上各自用铁丝制作楼梯模型，他
们制作的模型如图①和图②所示，则他们所用铁丝的长度
( A )
A. 一样长
B. 小明的长
C. 小芳的长
D. 不能确定
A
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知识点2 推理论证
3. 下列结论，你能肯定的是( B )
A. 今天是阴天，明天必然还是阴天
B. 三个连续整数的积一定能被6整除
C. 小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必
然能获得一等奖
D. 两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一
张底片冲洗出来的
B
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4. [教材P164习题T1变式]当 n ＝1时，代数式
＝1；当 n ＝2时，( n2－5 n ＋5)2＝ ；当 n ＝3时，
＝ ；当 n ＝4时，
＝ .
因此，小明推断不论 n 取任何正整数， 的
值都是 ，这个推断是 (填“正确”或“错
误”)的.
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错误
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5. 下列说法正确的是( D )
A. 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确
与否
B. 推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C. 对于自然数 n ， n2＋ n ＋37一定是质数
D. 有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的
苹果不少于2个
D
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6. 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，
并且：
(1)红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；
(2)黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；
(3)蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”.
已知(1)(2)(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？
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解：若苹果在红箱子里 ①②正确，③错误；
若苹果在黄箱子里 ①②错误，③正确；
若苹果在蓝箱子里 ①错误，②③正确.
故苹果在黄箱子里.
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7. 【情境题 生活应用】一中新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程.其中，三个人有以下关系：①物理老师和政治老师是邻居；②蔡老师在三人中年龄最小；③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；④生物老师比数学老师年龄要大些；⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球.
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根据以上条件，可以推出朱老师可能教( C )
A. 历史和生物 B. 物理和数学
C. 英语和生物 D. 政治和数学
点拨：由②④可得蔡老师一定不教生物；由⑤可得蔡老师不教英语和数学，因此蔡老师可能教物理、政治、历史.又因为每个老师教两科，由①可知物理老师和政治老师不是同一个人，因此蔡老师一定教历史；
C
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由③可得孙老师一定不教生物和政治.因为蔡老师一定教
历史，因此孙老师可能教物理、英语、数学.又因为每个
老师教两科，由⑤可知英语和数学不是同一个人教，因此
孙老师一定教物理，从而可知蔡老师一定教历史和政治，
因此朱老师可能教生物、英语、数学.又因为每个老师教
两科，英语和数学不是同一个人教，因此朱老师一定教生
物，结合选项可得一定从A，C中选.又因为蔡老师一定教历史，因此A不合要求只能选C，即朱老师可能教英语和生物.
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第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. [2024北京石景山区期末]小明根据学习“数与式”积累的
经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究式子的运算规
律.下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律.
第1个： ×2＝2＋2；第2个： ×3＝ ＋3；
第3个： ×4＝ ＋4；第4个： ×5＝ ＋5；
第5个： .
……
1
×6＝ ＋6
(2)观察、归纳，发现规律，得出猜想：
第 n 个等式可以表示为
( n 为正整数).
×( n ＋1)＝ ＋( n ＋ 1)
1
1. 实验、观察、归纳得到的结论 正确.因此，要
判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳
是不够的，必须进行有根有据的 .
不一定
证明
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1
2. 下列问题用到推理的是( A )
A. 根据 x ＝1， y ＝1 得 x ＝ y
B. 观察得到四边形有四个内角
C. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D. 由公理知道过两点有且只有一条直线
A
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1
3. 骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度是每小
时40千米，则以下说法正确的是( C )
A. 从 A 地到 B 地，骑摩托车的人一定比骑自行车的人先
到达
B. 从 A 地到 B 地，骑自行车和骑摩托车的人不可能同时
到达
C. 从 A 地到 B 地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人
先到达
D. 以上说法都不对
C
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1
4. 张先生、张先生的妹妹、张先生的儿子，还有张先生的女
儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪
生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄
相同，则这四人中最佳选手是( D )
A. 张先生 B. 张先生的妹妹
C. 张先生的儿子 D. 张先生的女儿
D
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1
知识点1 认识证明的必要性
[教材P163随堂练习T1变式] 先观察，再验证.
(1)图①中的实线是直的还是弯曲的？
解：(1)直接观察图①可得出结
论：黑色的边是弯曲的，但实际
上，黑色的边是直的.
(2)图②中两条线段 a 与 b ，哪一条更长？
解：(2) 直接观察图②可得出结
论：线段 b 比线段 a 短，但实际
上，这两条线段同样长.
变式1在学习中，小明发现：当 n ＝1，2，3时， n2－6 n 的值
都是负数.于是小明猜想：当 n 为任意正整数时， n2－6 n 的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
解：小明的猜想不正确.理由如下：当 n ＝7时， n2－6 n ＝7
＞0.所以小明的猜想不正确.
知识点2 推理论证
一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对
折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将
绳子全部剪断，此时绳子被剪成 段.
笔记：
33
变式2[2024西安长安区一模]观察以下等式：
第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，
第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，
第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，
第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，
……
按照以上规律.解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其
正确性.
解：(2)猜想第 n 个等式为(2 n ＋1)2＝[( n ＋1)·2 n ＋1]2－
[( n ＋1)·2 n ]2.
验证如下：等式左边：(2 n ＋1)2＝4 n2＋4 n ＋1，
(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2
等式右边：[( n ＋1)·2 n ＋1]2－[( n ＋1)·2 n ]2＝[( n ＋1)·2 n ＋1＋( n ＋1)·2 n ]·[( n ＋1)·2 n ＋1－( n ＋1)·2 n ]＝[( n ＋1)×4 n ＋1]×1＝4 n2＋4 n ＋1，故等式(2 n ＋1)2＝[( n ＋1)·2 n ＋1]2－[( n ＋1)·2 n ]2成立.(共12张PPT)
第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第1课时 定义与命题
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
知识点1 定义与命题的概念
1. 下列语句中，属于定义的是( C )
A. 对顶角相等
B. 作一条直线和已知直线垂直
C. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D. 图形的平移不改变图形的形状和大小
C
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2. [教材P167习题T2变式]下列语句属于命题的是( D )
A. 作∠ ABC
B. 两直线相交有几个交点？
C. 画线段 AB ＝3 cm
D. 有一个角是直角的三角形是直角三角形
D
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知识点2 命题的结构
3. 命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是
，结论是 .
两个
数的绝对值相等
这两个数互为相反数
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4. [2024泰州月考]命题“全等三角形的对应角相等”改写成
“如果……那么……”的形式是
.
如果两个三角形全等，
那么这两个三角形的对应角相等
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知识点3 命题的分类
5. [2024西安高新一中期末]下列四个命题，是真命题的是
( C )
A. 面积相等的两个三角形全等
B. 负数没有立方根
C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D. 两直线平行，同位角互补
C
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6. 要证明命题“若∠ A ＝30°，∠ B 为锐角，则∠ A ＋∠ B
＜90°”是假命题，下列∠ B 的度数能作为反例的是
( A )
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 15°
A
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7. 判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例.
(1)若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ b ；
解：(1)假命题.反例：如｜2｜＝｜－2｜，但2≠－2.
(2)有理数与数轴上的点一一对应.
解：(2)真命题.
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8. [2024西安西工大附中期末]能说明命题“对于任何实数
a ， ＝ a ”是假命题的一个反例可以是( A )
A. a ＝－2 B. a ＝0
C. a ＝ D. a ＝2 021
A
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9. [教材P166随堂练习T2变式]指出下列命题的条件和结论，
并判断命题的真假.
(1)两个负数之差为负数；
解：(1)条件：两个数是负数；结论：它们的差是负数.
命题为假命题.
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(2)如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等；
解：(2)条件：一个四边形的两组对边分别平行；
结论：它的不相邻的两个内角相等.
命题为真命题.
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1(共22张PPT)
第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第1课时 定义与命题
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 求一个数的 的运算，叫做开立方.
立方根
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2. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形，叫做三角形.
2
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3. 在大于1的自然数中，除了1和它 以外不再有其
他 的自然数，叫做质数.
本身
因数
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1
1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是
给出它们的 .
定义
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2. 判断一件事情的句子，叫做 .
命题
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3. 一般地，每个命题都由 和 两部分组
成， 是已知的事项， 是由已知事项推断
出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形
式，其中“如果”引出的是 ，“那么”引出的
是 .
条件
结论
条件
结论
条件
结论
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4. 正确的命题称为 ，不正确的命题称为
.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例
子，使它具备命题的 ，而不具有命题的 ，这种例子称为 .
真命题
假命
题
条件
结论
反例
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5. 下列语句中，属于定义的是( D )
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 两点之间线段最短
D. 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的
距离
D
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6. 下列语句是命题的是( B )
A. 画一条直线 B. 正数都大于零
C. 同位角相等吗？ D. 明天是晴天吗？
B
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7. 下列命题中，正确的是( D )
A. 若 a · b ＞0，则 a ＞0， b ＞0
B. 若 a · b ＜0，则 a ＜0， b ＜0
C. 若 a · b ＝0，则 a ＝0且 b ＝0
D. 若 a · b ＝0，则 a ＝0或 b ＝0
D
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8. [教材P167习题T3变式] 指出下列命题的条件和结论.
(1)两直线平行，内错角相等；
解：(1)条件：两直线平行；结论：内错角相等.
(2)三角形内角和等于180°.
解：(2)条件：三个角是一个三角形的内角；结论：这三个角的和等于180°.
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知识点1 定义与命题的概念
[教材P167习题T1变式]下列语句中，是定义的是( B )
A. 对顶角相等
B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C. 三角形的角平分线是一条线段
D. 同角的余角相等
B
下列语句：①周长相等的两个三角形全等；②同位角相
等；③作∠ ABC 的平分线；④垂线段最短，其中命题有
( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
变式1下列属于定义的是( B )
A. 画一条线段
B. 线段是直线上的两点和两点间的部分
C. 同角或等角的补角相等
D. 内错角相等，两直线平行
B
变式2下列句子：①负数没有相反数；②两个单项式的和一
定是多项式；③过点 P 作直线 l 的平行线，其中命题有
( C )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
解：
C
知识点2 命题的结构
指出下列命题的条件和结论.
(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
解：(1)条件：两个角的和等于平角；结论：这两个角互为补角.
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
解：(2)条件：两条平行线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补.
笔记：
变式3将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.
(1)对顶角相等；
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
(2)等角的补角相等.
解：(2)如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
知识点3 命题的分类
下列命题是真命题的是( D )
A. 在平面直角坐标系中，点 P (－3，0)在 y 轴上
B. 同旁内角互补
C. 一次函数 y ＝2 x ＋3中， y 随着 x 的增大而减小
D. 的算术平方根是3
D
变式4【新视角 开放性试题】列举两个命题，要求其中一个
是真命题，另一个是假命题.你是用什么方法来判断它们的真假的？
解：(答案不唯一)真命题：若数 a 可被4整除，则数 a 可
被2整除.
证明：因为4是2的倍数，所以若数 a 可以被4整除，则一定能
被2整除.
假命题：相等的两个角是直角.
证明：举例，如∠ A ＝∠ B ＝60°，显然∠ A ，∠ B 不为直
角，故原说法错误，为假命题.(共6张PPT)
第七章 平行线的证明
3 平行线的判定
1. 如图，直线 a ∥ b 的条件是( D )
A. ∠2＝∠5 B. ∠1＝∠3
C. ∠3＝∠4 D. ∠1＋∠4＝180°
D
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2. 【教材P174习题T4变式】如图，木工用图中的直角尺画平
行线的依据是( C )
①同位角相等，两直线平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
C
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
④垂直于同一条直线的两条直线平行.
A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④
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3. 如图， AB ⊥ MN ， CD ⊥ MN ，垂足分别是 B ， D ，∠FDC ＝∠ EBA.
(1)判断 CD 与 AB 的位置关系；(不需要证明)
(1)解： CD ∥ AB .
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(2)求证： DF ∥ BE .
(2)证明：∵ AB ⊥ MN ， CD ⊥ MN ，垂足分别是 B ， D (已知)，
∴∠ CDM ＝∠ ABM ＝90°(垂直的定义).
∵∠ FDC ＝∠ EBA (已知)，∴∠ CDM －∠ FDC ＝∠ ABM －∠ EBA (等式的性质)，即∠ FDM ＝∠ EBM .
∴ DF ∥ BE (同位角相等，两直线平行).
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4. 如图，在△ ABC 和△ FED 中， AB ＝ FE ， BC ＝ ED ，
点 A ， C ， D ， F 在一条直线上， AD ＝ FC . 求证： AB
∥ EF .
证明： ∵ AD ＝ FC (已知)，
∴ AD － CD ＝ FC － CD (等式的性质)，即 AC ＝ DF .
又∵ AB ＝ FE ， BC ＝ ED (已知)，
∴△ ABC ≌△ FED (SSS).
∴∠ A ＝∠ F (全等三角形的对应角相等).
∴ AB ∥ EF (内错角相等，两直线平行).
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1(共17张PPT)
第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点1 平行线的性质
1. 如图，直线 l1， l2被直线 l 所截， l1∥ l2，∠1＝α，则∠2
的大小为( D )
A. α B. 2α
C. 90°＋α D. 180°－α
D
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2. 如图， AB ∥ CD ， AC ∥ BD ，∠1＝28°，则∠2的度数
为( C )
A. 26° B. 27°
C. 28° D. 29°
C
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3. 将下面的推理过程及依据补充完整.
已知：如图， CD 平分∠ ACB ， AC ∥ DE ， CD ∥ EF .
求证： EF 平分∠ DEB .
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1
证明：∵ CD 平分∠ ACB (已知)，
∴∠ ACD ＝ .
∵ AC ∥ DE (已知)，
∴∠ ACD ＝ ( ).
∴∠ DCE ＝∠ CDE (等量代换).
∵ CD ∥ EF (已知)，
∠ DCE
∠ CDE
两直线平行，内错角相等
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∴ ＝∠ CDE ( )，
∠ DCE ＝ ( ).
∴ ＝ (等量代换).
∴ EF 平分∠ DEB .
∠ DEF
两直线平行，内错角相等
∠ FEB
两直线平行，同位角相等
∠ DEF
∠ FEB
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知识点2 平行线性质和判定的综合应用
4. 如图， AB ⊥ AC ，点 D ， E 分别在线段 AC ， BF 上，
DF ， CE 分别与 AB 交于点 M ， N ，
若∠1＝∠2，∠ C ＝∠ F ，求证：
AB ⊥ BF . 请完善解答过程，并在
括号内填写相应的依据.
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1
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3(已知)，
∴∠1＝∠ (等量代换).
∴ DF ∥ CE ( ).
∴∠ ADM ＝∠ (两直线平行，同位角相等).
∵∠ C ＝∠ F (已知)，
∴∠ ADM ＝∠ (等量代换).
∴ AC ∥ BF ( ).
3
同位角相等，两直线平行
C
F
内错角相等，两直线平行
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1
∴∠ A ＝∠ B ( ).
∵ AB ⊥ AC (已知)，
∴∠ A ＝90°.
∴∠ B ＝90°.
∴ AB ⊥ BF ( ).
两直线平行，内错角相等
垂直的定义
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1
5. 如图，三角形 ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，点
F ， G 在 AC 上，连接 DG ， BG ， EF . 已知∠1＝∠2，
∠3＋∠ ABC ＝180°，求证： BG ∥ EF .
证明：因为∠3＋∠ ABC ＝180°，
所以 DG ∥ BC .
所以∠ CBG ＝∠1.
因为∠1＝∠2，
所以∠ CBG ＝∠2.
所以 BG ∥ EF .
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6. 【新趋势 跨学科】光在不同介质中的传播速度不同，因
此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气
中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行
的，若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝
( A )
A. 58° B. 68
C. 32° D. 122°
A
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7. [2024宁德月考]如图，已知 AD ⊥ BC ， EF ⊥ BC ，垂足
分别为 D ， F ，∠2＋∠3＝180°，求证：∠ GDC ＝∠ B .
证明：因为 AD ⊥ BC ， EF ⊥ BC ，
所以∠ ADB ＝∠ EFB ＝90°.
所以 AD ∥ EF .
所以∠1＋∠2＝180°.
又因为∠2＋∠3＝180°，
所以∠1＝∠3.
所以 DG ∥ AB . 所以∠ GDC ＝∠ B .
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8. ∠ ABC 的两边分别与∠ DEF 的两边平行，即 BA ∥ ED ，
BC ∥ EF .
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(1)在图①中，射线 BA 与 ED 同向， BC 与 EF 也同向，∠B 与∠ E 的数量关系是 ；
(2)在图②中，射线 BA 与 ED 异向， BC 与 EF 也异向，∠B 与∠ E 的数量关系是 ；
(3)在图③中，射线 BA 与 ED 同向， BC 与 EF 异向，∠ B
与∠ E 的数量关系是 ；
∠ B ＝∠ E
∠ B ＝∠ E
∠ B ＋∠ E ＝180°
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(4)通过上面(1)2)3)，你可得到的结论是：如果一个角的两
边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系
是 ；
相等或互补
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1
(5)应用(4)中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求这两个角的度数.
解：设另一个角是 x ，则这个角是3 x －60°.
根据(4)中的结论得 x ＝3 x －60°或 x ＋3 x －60°＝180°，
解得 x ＝30°或 x ＝60°.
所以这个角是30°×3－60°＝30°或60°×3－60°＝120°.
所以这两个角的度数分别是30°和30°或60°和120°.
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1(共13张PPT)
第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角 .简述
为：两直线平行，同位角 .
两条平行直线被第三条直线所截，内错角 .简述
为：两直线平行，内错角 .
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 .简
述为：两直线平行，同旁内角 .
相等
相等
相等
相等
互补
互补
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2. 平行于同一条直线的两条直线 .
平行
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1. 如图，若 AB ∥ CD ，则( C )
A. ∠ B ＝∠1 B. ∠ A ＝∠2
C. ∠ B ＝∠2 D. ∠1＝∠2
C
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1
2. 如图， AB ∥ CD ∥ EF ，∠ ABE ＝38°，∠ ECD ＝
110°，则∠ BEC 的度数为( B )
A. 42° B. 32°
C. 62° D. 38°
B
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3. [2024铜川期末]如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据有错误的是( D )
D
A. ∵∠1＝∠2，∴ AB ∥ CD (内错角相等，两直线平行)
B. ∵ AB ∥ CD ，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)
C. ∵ AD ∥ BC ，∴∠ BAD ＋∠ ABC ＝180°(两直线平
行，同旁内角互补)
D. ∵∠ DAM ＝∠ CBM ，∴ AB ∥ CD (同位角相等，两直线平行)
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1
4. 将一副三角板按如图所示放置，若 AB ∥ CD ，∠ AEG ＝
30°.求∠ HFD 的度数.
解：过点 G 向右作 AB 的平行线交 EF 于点 P ，则∠ EGP ＝∠ AEG ＝30°.
易知∠ EGF ＝90°，∴∠ PGF ＝60°.
∵ AB ∥ CD ， AB ∥ CD ，∴ GP ∥ CD .
∴∠ GFC ＝∠ PGF ＝60°.
易知∠ GFP ＝45°，∠ EFH ＝30°，
∴∠ HFD ＝180°－∠ GFC －∠ GFP －∠EFH ＝45°.
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知识点1 平行线的性质
[2023锦州]将一个含45°角的直角三角板按如图所示的
位置摆放在直尺上.若∠1＝28°，则∠2的度数为( C )
C
A. 152° B. 135°
C. 107° D. 73°
笔记：
变式1如图， AD ∥ BC ，∠1＝∠2＝48°.问∠ B ＝∠ C 吗？
说明理由.
解：∠ B ＝∠ C . 理由如下：
∵ AD ∥ BC ，
∴∠ B ＝∠1，∠ C ＝∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠ B ＝∠ C .
知识点2 平行线性质和判定的综合应用
如图，∠1＝∠3， AB ∥A'B'，求证： BC ∥B'C'.
证明：∵ AB ∥A'B'，
∴∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴ BC ∥B'C'.
变式2如图所示， A ， D ， F ， B 在同一直线上， AD ＝
BF ， AE ＝ BC ，且 AE ∥ BC .
求证：(1) EF ＝ CD ；
证明：(1)∵ AE ∥ BC ，∴∠ A ＝∠ B .
∵ AD ＝ BF ，∴ AF ＝ AD ＋ DF ＝ BF ＋ FD ＝ BD .
又∵ AE ＝ BC ，∴△ AEF ≌△ BCD (SAS).
∴ EF ＝ CD .
(2) EF ∥ CD .
证明：(2)∵△ AEF ≌△ BCD ，
∴∠ EFA ＝∠ CDB . ∴ EF ∥ CD .(共21张PPT)
第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
目 录
CONTENTS
01
1星题 夯实基础
02
2星题 提升能力
03
3星题 发展素养
知识点 三角形内角和定理
1. [2024西安长安区四模]某班学生对三角形内角和为180°
展开证明讨论，如图是四名学生的作法，其中不能证明△
ABC 的内角和为180°的是( C )
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A. 甲：过点 A 作 AD ∥ BC
B. 乙：延长 BC 到点 D ，过点 C 作 CE ∥ AB
C. 丙：过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D
D. 丁：过 BC 上一点 D 作 DE ∥ AC ， DF ∥ AB
【答案】C
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2. [教材P179随堂练习T3变式]如图，在△ ABC 中，点 D 在
AB 上，点 E 在 AC 上， DE ∥ BC . 若∠ A ＝62°，∠AED ＝54°，则∠ B 的大小为( C )
C
A. 54° B. 62°
C. 64° D. 74°
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3. 如图，点 B ， C ， D 在同一直线上， AB ∥ CE ，若∠ A
＝55°，∠ ACB ＝65°，则∠1的度数为( C )
A. 80° B. 65°
C. 60° D. 55°
C
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4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ A ＝60°，∠ C ＝90°，点 B
在直线 b 上，直线 a ∥ b ，若∠1＝105°，则∠2的度数为
( A )
A
A. 45° B. 40°
C. 35° D. 30°
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5. 一副直角三角板如图摆放， AB 与 DF 交于点 M . 若 BC ∥
EF ，则∠ BMF 的度数为( A )
A. 75° B. 65°
C. 85° D. 95°
A
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6. [2024西安西工大附中期末]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝
40°，∠ C ＝30°，点 D 为边 BC 上一点，将△ ADC 沿直
线 AD 折叠后，点 C 落到点 E 处，若 DE ∥ AB ，则∠ADB 的度数为( C )
C
A. 85° B. 80°
C. 70° D. 60°
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7. 如图，已知∠ A ＝40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数
为 .
280°
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8. 【新考法 方程思想】在△ ABC 中，∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠C ，则△ ABC 是( B )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
B
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9. 如图，在△ CEF 中，∠ E ＝80°，∠ F ＝55°， AB ∥
CF ， AD ∥ CE ，连接 BC ， CD ，则∠ A 的度数是
( A )
A
A. 45° B. 50°
C. 55° D. 80°
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10. 如图，在△ ABC 中，点 P 是△ ABC 的三条角平分线的交
点，则∠ PBC ＋∠ PCA ＋∠ PAB 等于( D )
A. 45° B. 120°
C. 180° D. 90°
D
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11. 将等边三角形 ABC 和等边三角形 DEF ( DE ＞ AB )如图
摆放，点 D 是 BC 上的一点(除 B ， C 点外)，把△ DEF
绕顶点 D 顺时针旋转一定的角度，使得边 DE ， DF 与△
ABC 的边(除 BC 边外)分别相交于点 M ， N .
(1)∠ BMD 和∠ CDN 相等吗？
解：(1)∠ BMD ＝∠ CDN .
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(2)画出使∠ BMD 和∠ CDN 相等的所有情况的图形.
解：(2)有四种情况，如下图所示.
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(3)在(2)题中任选一种图形说明∠ BMD 和∠ CDN 相等的理由.
解：(3)选图④证明：因为△ ABC 和△ DEF 均为等边三角形，所以∠ B ＝∠ EDF ＝60°.
因为∠ ADB ＋∠ BMD ＋∠ B ＝180°，
∠ EDF ＋∠ ADB ＋∠ CDN ＝180°，
所以∠ BMD ＝∠ CDN .
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12. 【新视角 项目探究题】请认真阅读下列材料，并完成相
应学习任务.
数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内
角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于
360°，那么任意一个四边形的内角和是否也等于360°
呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等
于360°吗？
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“勤奋小组”的思路：如图①，在四边形 ABCD 中，连
接对角线 AC ，则四边形 ABCD 被分为△ ABC 和△
ACD ，由此可得
∠ BAD ＋∠ B ＋∠ BCD ＋∠ D
＝∠1＋∠2＋∠ B ＋∠3＋∠4＋∠ D
＝(∠1＋∠4＋∠ D )＋(∠2＋∠ B ＋∠3)
＝360°，
即四边形 ABCD 的内角和为360°.
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“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形 ABCD 的一条边上取一点 E ，或在四边形 ABCD 内部取一点 E ，也可以将四
边形 ABCD 分为几个三角形
(如图②，图③)，进而可证
明四边形内角和等于360°.
“创新小组”的思路：如图
④，在四边形 ABCD 外部取
一点 E ，分别连接 AE ，
BE ， CE ， DE …
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任务一：“勤奋小组”在探索四边形内角和的过程中，
主要体现的数学思想是( B )
A. 从一般到特殊 B. 转化
C. 抽象
任务二：在图②、图③、图④中，选择一种证明四边形
ABCD 的内角和为360°.
B
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解：任务二：选择图②.证明：如题图②.
∵∠1＋∠7＋∠ D ＝180°，∠2＋∠3＋∠6＝180°，∠4＋∠5＋∠ C ＝180°，
∴∠ BAD ＋∠ ABC ＋∠ C ＋∠ D ＝(∠1＋∠7＋∠ D )＋(∠2＋∠3＋∠6)＋(∠4＋∠5＋∠ C )－(∠5＋∠6＋∠7)
＝3×180°－180°＝360°，即四边形 ABCD 的内角和为360°.
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1(共16张PPT)
第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 三角尺上三个内角的度数是 、 、
或 、 、 ，那么三角尺上的
三个内角的和是 度.
90度
60度
30
度
90度
45度
45度
180
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1
2. 在△ ABC 中，∠ A ＝45°，∠ B ＝63°，则∠ C ＝
( A )
A. 72° B. 92°
C. 108° D. 180°
A
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1
3. 在△ ABC 中，若∠ A ＋∠ B ＝4∠ C ，则∠ C 的度数为
( C )
A. 32° B. 34°
C. 36° D. 38°
C
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1
1. 通过平行线的性质与平角的定义证明“三角形的内角和等
于180°”这个结论.
已知：△ ABC ，求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°.
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1
证明：如图，过△ ABC 的顶点 A 作直线 l ，使 l ∥ BC ，
则∠2＝∠4( )，
∠3＝ .
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1＋∠4＋∠5＝180°( ).
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°( ).
两直线平行，内错角相等
∠5
平角的定义
等量代换
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2. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .
180°
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3. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝60°，∠ B ＝40°，则∠ C
等于( B )
A. 100° B. 80°
C. 60° D. 40°
B
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1
4. [教材P179例1变式] 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝67°，
∠ C ＝33°， AD 是△ ABC 的角平分线，则∠ CAD 的度
数为( A )
A. 40° B. 45°
C. 50° D. 55°
A
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1
5. 如图， AB ∥ CD ，若∠ DEC ＝100°，∠ C ＝40°，则
∠ B 的大小是( B )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
B
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1
知识点 三角形内角和定理
[2024宁波鄞州区期末]在△ ABC 中，∠ A ＝50°，∠ B
＝20°，则△ ABC 的形状为( A )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
笔记：
A
变式1【新考法 方程建模法】在△ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶ ∠C ＝1∶2∶3，则此三角形是( B )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解：
B
如图①，已知△ ABC . 求证：∠ ABC ＋∠ BCA ＋∠BAC ＝180°.小明是这样思考的：如图②，过点 A 作 AD ∥ BC . 请你参考小明的思路完成证明.
证明：∵ AD ∥ BC ，∴∠ DAC ＝∠ BCA ，
∠ DAB ＋∠ ABC ＝180°.
∴∠ DAC ＋∠ BAC ＋∠ ABC ＝180°.
∴∠ ABC ＋∠ BAC ＋∠ BCA ＝180°.
变式2[2024吕梁期中]下面是证明三角形内角和定理的一种添
加辅助线的方法，请完成证明.
已知：如图，△ ABC .
求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°.
证明：如图，在 BC 上任取一点 D ，过点 D 作 DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ，过点 D 作 DF ∥ AC ，交 AB 于点 F .
解：∵ DE ∥ AB ，∴∠ B ＝∠ EDC ，∠ A ＝∠ CED .
∵ DF ∥ AC ，∴∠ C ＝∠ BDF ，∠ EDF ＝∠ CED .
∴∠ A ＝∠ EDF .
∵∠ BDF ＋∠ EDF ＋∠ EDC ＝180°，
∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°.(共14张PPT)
第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
目 录
CONTENTS
01
复习回顾
02
预习效果检测
03
课堂导学
1. 三角形内 的两条边所组成的角叫做三角形的
内角.
相邻
2
1
2. 【新考法 方程建模法】如图，△ ABC 中， BD ⊥ AC ，
BE 平分∠ ABC ，若∠ A ＝2∠ C ，∠ DBE ＝20°，则∠
ABC ＝( B )
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
B
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1
1. 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，
叫做三角形的 .
外角
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1
2. 问题：请在图中找出△ ABC 的所有外角：
，一个
三角形有 个外角.
思考：以上问题中，三角形的一个外角与三角形的内角有
什么关系呢？
①三角形的一个外角等于和它不相
邻的 .
∠ ACP ，
∠ BCH ，∠ CAE ，∠ DAB ，∠ FBE ，∠ GBP
6
两个内角的和
②三角形的一个外角 任
何一个和它不相邻的内角.
大于
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1
3. 将一副直角三角板如图放置，则∠1的度数为( A )
A. 75° B. 65°
C. 45° D. 30°
A
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1
4. 下列各图中，∠1＞∠2的是( D )
A
B
C
D
D
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1
知识点1 三角形的外角
如图，∠1，∠2，∠3中是△ ABC 外角的是( C )
C
A. ∠1，∠2
B. ∠2，∠3
C. ∠1，∠3
D. ∠1，∠2，∠3
笔记：
变式1关于三角形的外角，下列说法中错误的是( A )
A. 一个三角形只有三个外角
B. 三角形的每个顶点处都有两个外角
C. 三角形的每个外角都是与它相邻内角的邻补角
D. 一个三角形共有六个外角
解：
A
知识点2 三角形内角和定理推论1
如图，∠1的度数为( B )
A. 60° B. 70°
C. 100° D. 110°
笔记：
B
变式2如图，在Rt△ ABC 中，∠ A ＝90°，且外角∠ ABD ＝
130°，则外角∠ ACE 的度数是( D )
A. 110° B. 120°
C. 130° D. 140°
解：
D
知识点3 三角形内角和定理推论2
如图，下列关系正确的是( B )
B
A. ∠ A ＞∠2＞∠1
B. ∠1＞∠2＞∠ A
C. ∠2＞∠1＞∠ A
D. ∠1＞∠ A ＞∠2
笔记：
变式3[2024洛阳月考]如图，△ ABC 中，在 BC 延长线上取点
D ， E ，连接 AD ， AE ，则下列结论正确的是( C )
C
A. ∠ ACB ＞∠ ACD
B. ∠ ACB ＞∠1＋∠2＋∠3
C. ∠ ACB ＞∠2＋∠3
D. 以上都正确
解：
