2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合中的元素是的三边长，则一定不是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2.下列结论成立的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若正实数、、满足，则当最大时，的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.用适当符号填空： ______．
6.已知集合，则如图阴影部分表示的集合是______．
7.已知，为正数，化简 ______．
8.已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是______．
9.已知集合有且仅有两个子集，则实数 ．
10.若，则 ______．
11.若关于的不等式的解集为，则实数 ______．
12.不等式的解为______．
13.关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是______．
14.已知集合，若，且，则实数的取值范围是______．
15.若关于的不等式的解集为若，，试探究的值，则的最小值为______．
16.设集合，现对的任一非空子集，令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知不等式的解集为或．
求实数，的值；
解不等式．
18.本小题分
已知集合，，若，求实数的取值范围；
已知集合对任意恒成立，，求．
19.本小题分
某企业在现有设备下每日生产原先成本单位：万元与日产量单位：吨之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本总成本为原先成本和除尘费用之和为万元．
求的值；
求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值．
20.本小题分
已知关于不等式的解集为，其中．
当时，求集合；
当时，求集合；
是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知集合，其中定义：若对任意的，必有，则称集合其有性质由中元素可构成两个点集和：，，，，，，其中有个元素，中有个元素．
已知集合，判断是否具有性质；由题意可知对应的集合为，，写出对应的集合；
若集合，求对应集合的元素个数，若集合有个元素，猜测对应的集合的元素最大个数，并说明理由；
若集合具有性质，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.或
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为不等式的解集为或，
所以，为方程的两根，且，
故，解得，；
由得，，
所以，
即，解得，
所以不等式解集为．
18.解：根据题意，，，
又因为，所以，
则，解得，
所以实数的取值范围为．
因为对任意恒成立，所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以，即，
因为，
所以，即，即，即，
所以或，即，
所以．
19.解：某企业在现有设备下每日生产原先成本单位：万元与日产量单位：吨之间的函数关系式：，
该企业引进了除尘设备，每日生产总成本单位：万元与日产量单位：吨之间的关系为：
，
当日产量时，总成本为万元，代入得；
由知，，
所以每吨产品的成本为，
当且仅当，即时，取等号，
所以引进除尘设备后日产量为吨时，每吨产品的成本最小，且最小值为万元．
20.解：由题设，可得或，则或；
当，则，可得，此时；
当，则，而，当且仅当时取等，
若，即时，原不等式解集为或；
若，即时，原不等式解集为；
综上，时，且时或，时．
由，当时，，不等式的解集中只有有限个整数，
此时，当且仅当时取等号，
所以，故，
要使中整数解最少，只需即可，
时中整数解均为无数个，
所以，存在使解集中有有限个整数且最少．
21.解：因为，，，都不属于集合，
所以集合具有性质，对应集合，；
解：，则对应集合中的元素为：
，
，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
共有个元素，即对应集合的元素个数；
集合有个元素，猜测对应的集合的最大个数为．
理由如下：
由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个，
因为，所以，
又因为时，，所以时，，
所以集合的元素个数为个．
证明：当集合具有性质时，
对于，根据定义可知：，，，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故和也是中不同的元素，
可见的元素个数不多于的元素个数，即；
对于，根据定义可知：，，，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故和也是中不同的元素，
可见的元素个数不多于的元素个数，即；
由可知．
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