2024-2025学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知：，：，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如果在区间上为减函数，则的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是______．
11.若函数为偶函数，则____________．
12. ______．
13.若，则的最大值为______．
14.使得有意义的的集合为______．
15.已知函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算下列各式：
；
．
17.本小题分
解下列不等式：
；
．
18.本小题分
已知函数．
求的值；
写出函数的单调递减区间．
19.本小题分
已知定义在上的函数为偶函数，且．
求的解析式；
判断并用单调性定义证明在的单调性．
20.本小题分
已知，．
解关于的不等式；
若任意的恒成立，试求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.解：原式．
原式．
17.解：，即，
故，
解得．
，则，
即，，解得．
18.解：根据题意，，
所以，
所以．
因为，
函数，其大致图象如图：
当时，，
所以单调递减区间为；
当时，，
此时为，是二次函数，其开口向下，对称轴为，
所以单调递减区间为：；
因此函数的单调递减区间为：，．
19.解：由题意，定义在上的函数为偶函数，
则，则有，
即，必有，
又由，即，
故．
在单调递减，证明如下
设，，
，，，，，
，即，
故在单调递减．
20.解：由，得，即，
令，解得或，
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为．
由题知对任意实数恒成立，
当时，由，得，满足题意；
当时，当时，不等式成立，
当时，令，，
当，即，，，显然不满足题意；
当时，由，得，
即，显然在上不恒成立，
当时，由，得，
即，即在上恒成立，
所以，解得；
当时，当时，不等式成立，
当时，可变形为，
即在上恒成立，
当时，，
当时，即在上恒成立，
所以，解得，
所以满足题意；
所以实数的取值范围为．
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