2024-2025学年广东省珠海市珠海一中高一（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省珠海一中高一（上）第一次段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
3.已知集合满足，则集合的个数为( )
A. B. C. D.
4.若命题“”为真命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.若，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题：，的否定是真命题，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
11.已知，若对任意的，不等式恒成立，则( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．
13.已知，，则的取值范围为______，的取值范围为______．
14.某购物网站在年月开展“买三免一”活动，规则是“购买件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为元，衣服的价格为元，鞋的价格为元，用户应支付元，减免价格最低商品价格元，实际支付元，实际折扣约折，立省元．
如果在此网站上购买的三件商品价格分别为元、元、元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为______折；
在这个网站上购买件商品，按照“买三免一”的规则，这件商品实际折扣力度最大约为______折保留一位小数．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，且为非空集合．
分别求，；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
17.本小题分
设，二次函数若的解集为，，，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，求证：；
设，，为的三条边，求证：．
19.本小题分
已知集合，为的非空子集，
若为集合中最大数与最小数的和求所有这样的的算术平均数；
若集合中有个元素，证明集合中一定存在两个数，一个能被另一个整除．
参考答案
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15.解：，
又，所以或，
故A，或；
因为是的必要不充分条件，故C是的真子集，非空，
故，解得，
故的范围为．
16.解：设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为，由已知可得，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使得每间虎笼的面积最大；
解：设每间老虎笼的长为，宽为，则，
钢筋网总长为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．
17.解：由题意可知二次函数，
令解得其两根为
由此可知，
当时，，则的充要条件是，
即解得
当时，的充要条件是，
即
解得
综上，使成立的的取值范围为
18.证明：由于，，
则，
，
可得：，
变形可得：；
根据题意，
，
，
，
可得：，
即．
19.解：集合，
集合的非空子集个数为个，
对集合的每一个非空子集，
设，
都有集合的一个子集与之对应，且，
则，，
当时，，
若时，，
所有这样的的算术平均数为；
证明：如果集合中的某个元素与集合中的某个元素具有整除关系，
那么我们可以说在集合中对应的数为，
设，
设，
由题意得集合中任意两个元素不具有整除关系，
现说明集合中元素都能在集合中有对应的元素，
设，由，，
显然给定一个，该不等式至少有一个正整数解，
所以集合中元素都能在集合中有对应的元素，
设，
此时集合中有个元素，因为，故由上可知集合中一定存在两个数，一个能被另一个整除；
设从，，，，这个元素中减少个元素后剩余的元素都是集合中的元素时，
因为集合中有个元素，而，，，，只有个，所以，
则必须从集合中取出个元素进入集合中，
这样才能满足集合中有个元素，
设从，，，，中，取出的数为，
取出的数在中与之对应取进集合的数分别设为，
在，，，，中，剩下的数为，，，，
这些数在中与之对应剩下的数设为，，，，
若进入的数是，，，，这时必须还要从，，，中取出个数设为放入集合中，
由上知必存在整数使得，
中必有元素的整数倍是集合中的元素，也有是集合的元素，
此时集合中一定存在两个数，一个能被另一个整除．
综上所述：集合中一定存在两个数，一个能被另一个整除．
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