浙江省金华十校2025届高三上学期11月模拟考试数学试题（含答案）

浙江省金华十校2025届高三上学期11月模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面中，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.某高中高三班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题、可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题的人数多于选辩题的人数，则( )
A. 选辩题的女生人数多于选辩题的男生人数
B. 选辩题的男生人数多于选辩题的男生人数
C. 选辩题的女生人数多于选辩题的男生人数
D. 选辩题的男生人数多于选辩题的女生人数
8.已知正方体的棱长为，为正方体内部一动点，球为正方体内切球，过点作直线与球交于，两点，若的面积最大值为，则满足条件的点形成的几何体体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.设函数，则( )
A. 的图像有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间上单调递增 D. 的图像关于点中心对称
11.从棱长为个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则( )
A. B.
C. 时，为定值 D. 数列的最大项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列为等差数列，，，则 ．
13.从，，，，，这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种．
14.已知双曲线：，为右焦点，斜率为的直线与交于，两点，设点，，其中，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，直线交于，两点，且点为线段的中点，则点的坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为等腰三角形且腰长为，求的底边长．
16.本小题分
如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
若，求的单调区间；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求椭圆的离心率；
过点的直线与椭圆交于，两点不在轴上．
(ⅰ)若的面积为，求直线的方程；
(ⅱ)直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
19.本小题分
已知正边形的每个顶点上有一个数．定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：
记个顶点上的个数顺时针排列依次为，，，，则，为整数，，，设共个，表示次变换
若，，，求，，，；
对于正边形，若，，证明：；
设，，，证明：存在，使得不全为整数．
参考答案
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15.解：，
，
，
，
，，
，，
当为顶角，则底边，，，
当为底角，则该三角形内角分别为，，，
则底边，则底边为
16.解：连
为中点，为中点
，又面，面
面
设
取中点，则，
又与平面垂直，则垂直平面内所有直线，
在平面内，故AD，
则垂直平面内两条相交直线，，
面，
在平面内，则面面
又面面，作，
面．
连，则为所求线面角，
在中，，，，
即为所求线面角的正弦值．

17.当时，
时，，时，
的单调增区间为，减区间为，
，
时，，时，
又，．
令
则，显然递减，且，
必然存在唯一使得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
由于时，，成立，
当时，递减，且，因此成立，
综上，成立的范围为．
18.解：由可知，代入，得，
可知椭圆的离心率为，
由可知椭圆的方程为，
设，，过点的直线为，
与联立得：
所以，，
，
得，所以，直线的方程为：．
(ⅱ)由可知，，
，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
记以为直径的圆与轴交于，两点，
由圆的弦长公式可知，
，
所以，为定值．
19.解：当时，的变换如下：
所以，，，．
，，
成等差数列，令公差为，
又，
则，
，则．
反证法，假设对任意，均为整数，
由于，为整数，故与的奇偶性相同，故，，，同奇偶，
，，，同奇偶，而，，，，中有个奇数，
个偶数，故可不妨设，为奇数，设，为偶数．
，
又为整数，且或，
和除的余数相同，
同理，
和除的余数相同，
和除的余数相同．
，，，，除的余数相同．
和除的余数相同，
，和除的余数相同，
，和除的余数相同．
，，，，除的余数相同．
综上，，，，除以的余数都相同，而，矛盾
假设不成立，所以存在，使不全为整数
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