浙江省金华市金华第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（含答案)

浙江省金华第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比某地区进行调研考试，共名学生参考，测试结果单位：分近似服从正态分布，且平均分为，离散系数为，则全体学生成绩的第百分位数约为( ) 附：若随机变量服从正态分布．
A. B. C. D.
5.设抛物线的焦点为，直线与交于，两点，，且，则的斜率是( )
A. B. C. D.
6.某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为( )
A. B. C. D.
7.设三点在棱长为的正方体的表面上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，的外接圆为，则( )
A. 点的坐标为 B. 的面积是
C. 点在外 D. 直线与相切
10.连续投掷一枚均匀的骰子次，记次掷出点数之积为，掷出点数之和为，则( )
A. 事件“为奇数”发生的概率
B. 事件“”发生的概率为
C. 事件“”和事件“”相等
D. 事件“”和事件“”独立
11.设，为大于的正整数，函数的定义域为，，，则( )
A. B. 是奇函数
C. 是增函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于各数位均不为的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为 ．
13.过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 ．
14.已知四面体各顶点都在半径为的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，曲线在点处的切线斜率为．
求的值；
求不等式的解集．
16.本小题分
如图，在三棱台中，上下底面是边长分别为和的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足．
证明：平面；
若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积．
17.本小题分
在中，角所对的边分别为已知成公比为的等比数列．
求的取值范围；
求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆过点，且的右焦点为．
求的方程：
设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点．
若，求；
若的面积与的面积相等，求点的坐标．
19.本小题分
设为正整数，为正实数列．我们称满足其中的三元数组为“比值组”．
若，且为等差数列，写出所有的比值组；
给定正实数，证明：中位数为即中的比值组至多有个；
记比值组的个数为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知，得，
又函数在点处的切线斜率为，
即，
解得；
由得，，
则恒成立，
即在上单调递增，
又，
即函数为奇函数，
由，可知，
即，解得，
即不等式的解集为．

16.解：
由题意知，
根据三角形三边关系知：
解得；
【小问详解】
由及正弦定理、余弦定理知：
，
由对勾函数的性质知：
在上单调递减，在上单调递增，
所以，则
即的取值范围为．
由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
因为，所以，又，平面，
所以平面；
【小问详解】
取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，
过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则
设平面的法向量为，
则，即
令，可得平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，
，
所以
由，得，
由知，所以，
解得，所以三棱台的体积．

17.解：由题意知，
根据三角形三边关系知：
解得
所以的取值范围为；
由及正弦定理、余弦定理知：
，
由对勾函数的性质知：，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，则
即的取值范围为．

18.解：
根据题意有，
且由椭圆的几何性质可知，
所以．
所以的方程为．
如下图所示：
若可得，为的中点，可得，
即的斜率为，所以直线的方程为；
设，联立直线和椭圆方程可得，
所以，即可得
因此可得；
显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有：
，其中．
则可得，
以下证明：直线平分，
易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为．
设的斜率分别为，则：
，
，
代入，
有，故直线平分，即．
因为的面积等于的面积，
故，即，故．
故在线段的垂直平分线上．
易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，
故的坐标为或．

19.解：
因为为等差数列，设其公差为，
若，则，，
所以当且时，，即，此时比值组为；
当且时，，即，此时比值组为；
当且时，，即，不符合；
当且时，，即，此时比值组为；
当且时，，即，不符合；
当且时，，即，此时比值组为；
当且时，，不符合；当且时，，不符合；
综上，若且为等差数列的所有的比值组为．
因为，，
所以当固定时，则至多有一个使得成立，
因为，所以或或共三种取法，
所以中位数为即中的比值组至多有个．
对给定的，满足，且的三元数组的个数记为，
因为，所以当固定时，则至多有一个使得成立，
因为，所以值有种取法，故，
同理，若当固定时，则至多有一个使得成立，
因为，所以值有种取法，故，
所以，
当为偶数时，设，
则当时，，
当时，，
所以
，
当为奇数时，设，
则当时，，
当时，，
则有
，
所以综上，记比值组的个数为，则．

第1页，共1页