江西省赣州市十八县(市、区)二十四校2025届高三上学期期中联考数学试题(含答案）

江西省赣州市十八县(市、区)二十四校2025届高三上学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“函数在定义域上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，记，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，则下列说法错误的是( )
A. 的最小值为 B. 数列为递减数列
C. 数列为递增数列 D. 的最小值为
7.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，若函数在区间上恰好有个最大值，个最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子中最小值为的是( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数则( )
A.
B.
C. 是与的等差中项
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，公比，且，则 ．
13.在中，已知，点为的中点，，则的最大值为 ．
14.已知点，定义为的“可测距离”若点在曲线上，且的最小值为，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为已知．
求及；
求．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
若函数，试求在区间上的最值．
17.本小题分
已知函数是偶函数，且经过点．
求曲线在点处的切线方程；
设曲线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点为坐标原点，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
若恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”．
若数列为“线性可控数列”，求的取值范围；
若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由；
若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，即，
即，解得或舍．
由知，且为锐角，所以．
所以
．

16.解：由图象可得，的最小正周期，
，
，
，
解得，又，
．
由题，
由知，，
则当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以，
而，
所以．

17.解：由是偶函数，可得：，即，可得；
又及，解得：，
所以，所以．
由，可知切线斜率，又，
所以切线方程为，整理得：．
由可知，
所以曲线在点处的切线斜率是．
又，所以切线方程为，即，
所以，所以．
当时，，记，则．
当时，，此时在区间上单调递减；
当时，，此时在区间上单调递增．
所以．
当时，，记，则．
当时，，此时在区间上单调递增；
当时，，此时在区间上单调递减．
所以．
综上所述，当时，的最小值为．

18.解：由题可知，
则函数在上单调递增，且．
由，得；由，得．
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．
由，
得．
令，则．
由，得．
由，得，则在区间上单调递增，
在区间上单调递减，从而．
由知的最小值，
所以要使恒成立，只需，
解得，即．
方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极最值问题处理．

19.解：由“线性可控数列”的定义可知，，
解得因为，所以，即．
数列不是“线性可控数列”，理由如下：
令，得．
当时，也符合，
所以，所以．
要使为“线性可控数列”，则需，
即恒成立．
因为
，显然不可能恒小于等于零，
所以不能恒成立，
所以数列不是“线性可控数列”．
由题可知，且，
则，即
假设，得，所以，所以．
因为，所以，所以由式可得
，得，
即
同理由，得
因为，所以，所以，所以．
因为，所以，
所以式可得，
即，所以，
所以和式矛盾，所以假设不成立，所以不能同时大于．
当时，再假设，则由式，
因为不能大于，所以，即．
这与第一次的假设又会相矛盾，所以，且
所以当时，
，所以．

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