广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于( )
A. B. C. D.
4.在中，是上一点，满足，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.若两个等比数列，的公比相等，且，，则的前项和为( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上是减函数，且，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为随机事件，且，是，发生的概率．，，则下列说法正确的是( )
A. 若，互斥，则
B. 若，则，相互独立
C. 若，互斥，则，相互独立
D. 若，独立，则
10.在中，内角，，所对的边分别为，，若，内角的平分线交于点，，
，以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
11.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若，，，则 ．
13.如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为 ．
14.已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角、、所对的边分别为、、，，．
若，求的值
求面积的最大值．
16.本小题分
某商场举行有奖促销活动，凡月日当天消费不低于元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，每有个红球，可立减元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出个球，连摸次，每摸到次红球，立减元．
设方案一摸出的红球个数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
设方案二摸出的红球个数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
17.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点．
证明：
求面与面夹角的正切值．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为．
求的方程；
求弦的长用表示；
若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
如果项有穷数列满足，，，，即，则称有穷数列为“对称数列”．
设数列是项数为的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
设数列是项数为且的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和．
若，，，构成单调递增数列，且当为何值时，取得最大值
若，且，求的最小值．
参考答案
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15.解：，
，，
；
，
，
，
，
，
，
，
当且仅当时，等号成立．
16.解：设方案一摸出的红球个数为，则的所有可能取值为，
，，．
的分布列为：
所以，
．
设方案二摸出的红球个数为，则的所有可能取值为．
则，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以，．
因为，，
即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，
所以应选择方案一的抽奖方式．

17.证明：是三棱柱，
是平行四边形．
，，
是等边三角形．
又是的中点，
，
．
又平面平面，平面平面，
面．
平面
．
由得面，平面
，．
，，，即：，
，，两两垂直．
故，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
设面与面的法向量分别为，，
面，不妨取．
设，，
取，得，．
设面与面的夹角为，则，，，
所以，面与面的夹角的正切值为．
18.解：由题意知解得，，
所以的方程为．
当时，设的方程为，，，，
联立得，
其中，且，，
所以．
当时，．
综上，对任意的，．
由题意知，由知，，
所以
．
令，，
则，．
因此，当时，四边形的面积取得最小值．
19.解：因为数列是项数为的“对称数列”，所以，
又因为，，，成等差数列，其公差，
所以数列的项依次为，，，，，，．
由，，，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，
可知，，，构成公差为的等差数列，，，，构成公差为的等差数列．
故
．
所以当时，取得最大值．
因为即，
所以即．
于是．
因为数列是“对称数列”，
所以
，
因为，故，解得或，所以．
当，，，构成公差为的等差数列时，满足，且，
此时，所以的最小值为．
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