2024-2025学年广东省汕头市育能实验学校高三（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕头市育能实验学校高三（上）第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.给出下列四个结论：
“”是“”的充分不必要条件；
若命题：，，则：，；
若，则是的充分不必要条件；
若命题：对于任意，为真命题，则
其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.设有下面四个命题，其中假命题为( )
A. 若复数满足，则
B. 若为虚数单位，则
C. 若复数，满足，则或
D. 若复数满足，则
5.已知向量，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量单位：平方米的计算公式是长宽在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是平方米，每平方米收费元，请估算平整完这块场地所需的最少费用单位：元是( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最大值为
10.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
11.已知函数，，则下列结论中正确的有( )
A. 必有唯一极值点
B. 若，则在上单调递增
C. 若，对有恒成立，则
D. 若存在，使得成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，复数，满足，在复平面中的第一象限，且实部为，则为______
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ______．
14.如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求、的值；
求的单调区间与极值；
求函数在上的最大值、最小值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，为侧棱上一点，．
求证：平面；
求二面角的大小；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数
若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值．
若在只有一个零点，求．
18.本小题分
如图，且，，且，且，平面，．
证明：；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调区间．
参考答案
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15.解：易知，
解得，
可得，
因为，
所以；
由知，
因为恒成立，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值；
当时，取得极小值，极小值；
由知，函数在和上单调递增，在上单调递减，且极大值为，极小值为；
又．
所以函数在上的最大值为，最小值为．
16.解：证明：在直三棱柱中，平面，
平面，，
又，，
，平面，平面，
平面，
平面，．
，，B、平面，
平面；
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设点，则，
，
，
解得，．
设平面的一个法向量为，
由，
可得，
令，则，，
平面的一个法向量为，
显然，是平面的一个法向量，
，
结合图形知，二面角为锐角，它的大小为；
易知点到平面的距离为．
17.解：，
所以，因为曲线在处的切线与轴垂直，
所以，解得，
所以，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值为，无极大值．
若在只有一个零点，即函数在只有一个零点，
即方程在只有一个根，即在只有一个根，
即函数与的图象在只有一个交点，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，，当时，，
所以要使函数与的图象在只有一个交点，
则．
18.解：证明：且，四边形为平行四边形，
，四边形为菱形，．
平面，平面，，
，，平面，，平面，
平面，，
，，平面，，平面，
平面，．
由平面，，平面，则，，
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
假设线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为．
设，，
则直线与平面所成的角的正弦值为：
，，解得，
线段上存在点，且时，使得直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为，即．
由题意可知：的定义域为，且，
若，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
若，令，解得或，
当，即时，令，解得或；
令，解得，
可知在内单调递减，在，内单调递增；
当，即时，则，可知在内单调递增；
当，即时，令，解得或；
令，解得，
可知在内单调递减，在，内单调递增；
综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
若，的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，的单调递减区间为，单调递增区间为，．
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