2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（三）
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知终边经过点，则可能是( )
A. B. C. D.
4.若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是( )
A. B. C. D.
5.，则满足( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
6.向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知，，均为非零向量，则“，，”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点若甲、乙两同学当下的知识储备量均为，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为天后，甲同学的知识储备量为，乙同学的知识储备量为，则甲、乙的知识储备量之比为时需要经过的天数约为参考数据：，，
A. B. C. D.
10.等差数列的前项和为已知，记，则数列的( )
A. 最小项为 B. 最大项为 C. 最小项为 D. 最大项为
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知为第三象限角，且，则 ______， ______．
12.抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则 ______．
13.已知函数，满足：恒成立，则 ______，函数在区间内有______个零点．
14.边长为的等边中，，，则的最小值为______．
15.已知函数，下面命题正确的是______．
存在，使得；
存在，，使得；
存在常数，使得恒成立；
存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点．
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
若函数从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
Ⅰ求的解析式与最小正周期；
Ⅱ求在区间上的最值．
条件：；
条件：，恒成立；
条件：函数的图象关于点对称．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
当时，判断函数在上零点的个数；
已知在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.解：
，
若选条件：，
，而，
，这种情况不存在；
若选条件：Ⅰ，恒成立，
则，
，又，
．
，；
Ⅱ，
当，即时，取得最小值，；
当，即时，取得最大值，．
若选条件：Ⅰ函数的图象关于点对称，
则，
即，又，
，
，；
Ⅱ，
当，即时，取得最小值，；
当，即时，取得最大值，．
17.解：，则，，
，
故切线方程为；
当时，，则，
当时，，，
，
在上单调递增，
又，，
在上有且仅有一个零点；
当时，，在上无零点，
综上，在上有且仅有一个零点．
由在上恒成立，
即在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，
则，
当时，对任意有，又，，
，此时在上单调递增，
，符合题意；
当时，令，
则
即，
在上，恒成立，
即在上单调递增，
又，，
当，即时，在上，有，
此时在上单调递增，，符合题意；
当，即时，若，即，
由零点存在定理，存在，使，故上，，
在上单调递减，此时，不合题意；
若，即，
此时对，恒有且不恒为，
即在上单调递减，
，不合题意．
综上，的取值范围是．
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