浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. （ ）
A. B. C. D. 2
2. 若直线与直线平行，则的值是（）
A. 1或 B. C. D. 或
3. 已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A. B.
C D.
4. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（）
A. B.
C D.
5. 现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（）
A B. C. D.
6. 已知空间中的点，则到直线AB的距离为（）
A. B. C. D. 2
7. 的面积为，且，则的形状是（）
A. 等腰三角形（非等边） B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 钝角三角形
8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（）
A B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 已知随机事件A、B，若，且，则正确的是（）
A. B. A、B为互斥事件
C. A、B相互独立 D.
10. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（）
A. 的最大值为5
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 圆心到直线的距离最大为4
11. 定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（）
A. 若，则
B.
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为______.
13. 若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是______.
14. 在四边长均为的菱形ABCD中，沿对角线BD折成二面角为的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为______.
四、解答题：共5题，共77分.
15. 已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于A，B两点，若AB中点为，求
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求边长和角；
（2）若的面积为，求中线AD的长度.
17. 某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）若用这组数据估计全市对文明城市创建推行满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率
18. 如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程；
（3）过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值.浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BC
11.
【答案】AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】12
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：共5题，共77分.
15.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质列方程，然后解方程得到，，即可得到椭圆方程；
（2）根据直线的斜率得到，然后利用点差法求的斜率即可.
【小问1详解】
由题意得，即①，
因为椭圆过点，所以②，
由①②得，，
所以椭圆得方程为.
【小问2详解】
设，，则，，
因为直线的方程为，所以，
由题意得，
两式相减得，
整理得，则，，
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求得和，再由，两边平方求中线长度.
【小问1详解】
，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或0（舍去）．
【小问2详解】
由，得，
由余弦定理可知，，
由（1）可得，所以，
又，
所以
，
即，
所以中线的长度为.
17.
【解析】
【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1列方程，然后解方程即可；
（2）根据中位数的性质列方程，解方程即可；
（3）用样本估计总体，然后利用二项分布的概率公式计算概率.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
【小问2详解】
因为，，
所以中位数在间，
设中位数为，则，解得，
所以这组数据的中位数为.
【小问3详解】
由题意得这组数据满意度在80分及以上的频率为，
设这三人中恰有一人满意度在80分及以上为事件，
则.
18.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可；
（2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解.
【小问1详解】
如图建系，设
则,
,
设平面法向量为,
,
,
可得
即得，
因为所以,不在平面内，所以平面.
【小问2详解】
设平面法向量为,
,
可得,
即得,
设二面角为，
则,
因为所以
19.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程；
（2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可；
（3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可.
【小问1详解】
设，则，
整理得，即，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
设，，则①，②，
因为为线段的中点，所以，即，
将代入②中得③，
联立①③得，则，
所以，
直线的方程为.
【小问3详解】
由题意得点在直线上运动，
设曲线的圆心为，则，
由题意得，，
则，
所以当长度最小时，线段的长度最小，
当垂直直线时，长度最小，
则，
所以.
【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可.
