宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A B.
C. D.
2. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知，，，则（）
A. B.
C. D.
4. 已知正实数，满足，则的最小值为（）
A. B. 14 C. 15 D. 27
5. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
6. 设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（）条件.
A. 充分必要 B. 充分不必要
C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
7. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（）
A. B. C. D.
8. 已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 的值域为
B. 关于原点对称
C. 在上单调递增
D. 在上的最大值、最小值分别为、，则
11. 已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为______.
13. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，，.以下描述正确的是______.（请填写序号）
①若，则，②若，则，
③是上的奇函数，④在上单调递增.
14. 已知，满足，则的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15求值
（1）
（2）
16已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与使用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？
18. 已知函数为奇函数，
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）求关于的不等式的解集.
19. 已知函数，，
（1）若，求关于方程的解；
（2）若关于的方程有三个不同的正实数根，，且，
（i）求取值范围；
（ii）证明：.宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
2. D
3. A
4. A
5. D
6. C
7. B
8. B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AD
10. ABDBCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】①②
14.
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解.
（2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
16.
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合；
（2）利用集合间的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解.
【小问1详解】
由，得，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，，
当时，，得，满足条件；
当时，且，解得；
综上所述，m的取值范围是.
17.
【解析】
【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.
（2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.
【小问1详解】
依题意，
.
【小问2详解】
当时，，则当时，取得最大值；
当时，
令，，函数在上单调递减，
当时，，此时，取得最大值，而，
因此当时，，
所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是元.
18.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；
（3）利用的奇偶性与单调性，将问题转化为，从而得解.
【小问1详解】
因为为奇函数，且定义域为，
所以，则，解得，此时，
则，即为奇函数，
所以.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，且，则，
则
，
所以，故在上单调递增.
【小问3详解】
因为，
所以，
则，即，解得，
所以的解集为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意得由，分类讨论与两种情况去掉绝对值即可得解；
（2）（i）分段讨论的解析式，结合对勾函数的性质分析得的单调性，进而得到关于的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中结论，分析得与关于的表达式，进而得解.
【小问1详解】
当时，，
则由，得，
当时，则，即，解得或（舍去）；
当时，则，即，无实数解，
综上，.
【小问2详解】
（i）因为，
当时，，
当时，，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
易知在上单调递增，
当时，则在上单调递增，在上单调递增，
又当时，，所以在上单调递增，
故方程不可能存在3个不同正实根，
所以，则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
故，解得，
即的取值范围为；
（ii）是方程，即的两个根，故，
是方程的较大根，即的较大根，
则且在区间上单调递减，
所以.
