首师大育新学校2024-2025学年第一学期高二数学期中考试
2024.11
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2. 下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（）
A. 两两垂直 B.
C. D.
3. 在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（）
A B. 10 C. D.
5. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（）
A. 1 B. C. D.
6. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（）
A2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A B. C. D.
9. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为3
C. 在上存在点，使得
D. 上的点到直线的最小距离为1
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为.则该圆锥的体积为________.
12. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________.
13. 过两条直线与交点，倾斜角为的直线方程为____________（用一般式表示）
14. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米，则车辆的最大高度为______________米．
15. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）
①正方体的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
三、解答题（共85分）
16. 已知顶点、、．
（1）求线段的中点及其所在直线的斜率；
（2）求线段的垂直平分线的方程；
（3）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
17. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
18. 已知圆，直线过点.
（1）求圆的圆心坐标及半径长；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相切于点，求.
19. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
（1）①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1“曼哈顿单位圆”方程．
（2）已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
（3）设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．首师大育新学校2024-2025学年第一学期高二数学期中考试
2024.11
一、单选题（每小题4分，共40分）
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】A
9.
【答案】B
10.
【答案】C
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.
【答案】##
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
15.
【答案】②③
三、解答题（共85分）
16
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；
（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；
（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解
【小问1详解】
由、，可知中点为，且，
【小问2详解】
由（1）可得，垂直平分线斜率满足，即，
又的垂直平分线过，所以边的垂直平分线的方程为，
即；
【小问3详解】
当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
17.
【解析】
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【小问1详解】
因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
【小问2详解】
因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
18.
【解析】
【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；
（2）讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程根据点到直线距离公式求解即可；
（3）根据两点间距离公式求出长，再根据勾股定理求解即可.
【小问1详解】
圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为.
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即.
由圆心到直线的距离等于半径得，，解得，
此时直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
【小问3详解】
∵圆的圆心坐标为，，
∴.
如图，由相切得，，，
∴.
19.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面；
（2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解.
【小问1详解】
因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面；
（2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值；
（3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出.
【小问1详解】
如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以，
又，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形，从而，
沿着AE翻折成后，有
又平面，所以平面，
由题意，易知，所以四边形是平行四边形，
故，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，则有，
由（1）知，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令得，故，
又平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为；
【小问3详解】
假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，如图所示：
所以，所以四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以是的中点，
故线段上存在点，使得平面，且.
21.
【解析】
【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；
（2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值；
（3）将的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的，即可得到的最小值.
【小问1详解】
①；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即.
【小问2详解】
设直线上任意一点坐标为，则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
【小问3详解】
如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如：，此时；
（ii）例如：，此时；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如：，此时；
（iiii）例如：，此时；
（iiiii）例如：，此时；
（iiiiii）例如：，此时；
综上所述，的最大值为2，例如：，，，.
