通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测
数学试卷
2024年11月
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】A
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】B
9.
【答案】C
10.
【答案】B
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.【答案】
12.
【答案】
13.【答案】2
14.
【答案】 ①. 3 ②.
15.
【答案】①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.
（2）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可.
【小问1详解】
因为，
所以，的最小正周期为.
【小问2详解】
由题意可知，两点的坐标为，，
则，即，
故
，
因为，所以，
所以，
所以在时的最大值为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可.
（2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可.
【小问1详解】
由和余弦定理可得.
因为为的内角，所以，故，
由变形得，由正弦定理得.
【小问2详解】
选择条件①：，
由正弦定理得，解得，
因为为的内角，所以，故，
与相互矛盾，故不存在这样的三角形，
所以我们不选择条件①，
选择条件②：，
因为，，所以，
解得，由余弦定理得，
化简得，解得或（舍），
所以.
选择条件③：，
因为，所以.
因为，所以，
由余弦定理得，化简得.
解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，
所以.
18.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先由数列的前项和和通项的关系式求出相邻项之间的关系，
判断出数列的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用分组求和法及公式法进行求和即可．
【小问1详解】
解：因为，，①
所以有，．②
②①得．
所以数列成以为首项，以为公比的等比数列．
所以．
又数列是等差数列，且，．
所以，．
所以．
【小问2详解】
因为
设数列的前项和为，
所以
．
19.
【解析】
【分析】（1）根据极值点及极值可求的值；
（2）根据导数讨论其符号后可得单调性，从而可求何时取何最值；
（3）可证曲线上任意点关于的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性.
【小问1详解】
，
由题意函数在处取得极小值8得，
解得，.
此时，
当或时，，当时，，
故为的极小值点，故，满足条件.
【小问2详解】
由（1）分析列表得：
x 0 2 3
- 0 +
24 单调递减 8 单调递增 15
所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24.
【小问3详解】
曲线的对称中心为，证明如下：
设点为曲线上任意一点，则点关于(0，24)对称点为，
因为在图象上，
所以.
又.
所以点也在图象上.
所以曲线是中心对称图形.
20.
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可；
（2）将，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可；
（3）将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，利用导数求解即可.
【小问1详解】
当时，，的定义域为.
，
令，解得.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
当时，，.
设曲线的切点为，
则切线方程为，
假设切线过原点，则有，
整理得：.
令，则.
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，，
所以方程无解.
综上可知，曲线在点的切线不过原点.
【小问3详解】
曲线与直线在区间上有两个不同的交点，
等价于在区间上有两个不同的解，
即，在区间上有两个不同的解，
设，则，
令，解得，
又因为，所以，
当，，所以单调递增；
当，，所以单调递减；
所以，
当时，，
当时，，
要使在区间上有两个不同的解，
只需使即可.
所以实数a的取值范围是.
21.
【解析】
【分析】（1）根据数列的通项公式求得正确答案.
（2）根据数列、的通项公式以及单调性进行判断.
（3）首先假设存在有限个正整数使得数列中的某些项满足条件，然后通过反正法证明了这一假设不成立，因此得出数列与的公共项有无数多个.
【小问1详解】
依题意，数列的通项公式为，
所以，，，，，.
【小问2详解】
是数列中的项，不是数列中的项.
；
下面证明不是数列中的项
因为，
所以数列不单调递减，
，，
所以不是数列中的项.
【小问3详解】
先证明存在无穷多个正整数k使得，（其中表示x的小数部分）
假设只有有限个正整数k使得，
不妨设是使成立的最大正整数，
则有
即①.
因为是正的常数，故当m足够大时，有，与①矛盾.
所以存在无穷多个正整数k使得.
对于每个满足的正整数k，令，
则有
所以有.
即.
从而.
所以数列与数列的公共项有无数多个.通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测
数学试卷
2024年11月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B.
C D.
2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）
A B.
C. D.
3. 下列函数中，在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
4. 已知角终边经过点，且，则（）
A. B. C. D.
5. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在中，，，，则（）
A. B. C. D.
7. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（）
A. B. C. D.
8. 设函数，已知，，则的最小值为（）
A. B. C. D.
9. 设集合，则（）
A对任意实数a， B. 对任意实数a，
C. 当且仅当时， D. 当且仅当时，
10. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（）
A. 1 B. C. 2 D. 4
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是___________．
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________.
13. 已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________.
14. 设函数
①若，则函数的零点个数有________个.
②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.
15. 已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：
①，；
②数列为单调递减数列；
③，使得；
④，均有.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数，.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）直线与函数，的图象分别交于两点，求的最大值.
17. 记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求及；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
18. 已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设求数列的前项和．
19. 设函数，若函数在处取得极小值8.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；
（3）证明：曲线中心对称图形.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当，曲线的切线不经过点；
（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
21. 已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最大整数），数列的通项公式为.
（1）写出数列的前6项；
（2）试判断与是否为数列中的项，并说明理由；
（3）证明：数列与数列公共项有无数多个.
