八年级数学上册新苏科版2015-2016学年期末复习讲义：第3章《勾股定理》 教案

2015-16学年第一学期苏科版初二数学《勾股定理》复习讲义
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一、知识体系：
二、知识点：
1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方 ( http: / / www.21cnjy.com )。即：a2＋b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）.如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。
注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
2、勾股定理的验证
窗体顶端验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步
( http: / / www.21cnjy.com )
3、勾股定理的逆定理：（重点）
如果三角形的三边长a、b、c且a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”
（2）a2＋b2=c2它只是一种表现形式， ( http: / / www.21cnjy.com )不能因为a2＋b2≠c2就说这个三角形不是直角三角形。如a=5，b=3,c=4. a2＋b2≠c2但此三角形是直角三角形。a为斜边。
利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。
勾股数：满足a2＋b2=c2的3个正整数，且满足a2＋b2=c2。
三、应用举例：
（基础题）利用勾股定理求三角形的边长
已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b（c为斜边、a、b为直角边），
如果a=7，b=24，求c；
如果a=15，c=17，求b。
2、已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长
填空：
（1）直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5，已知这条直角边的长是12，则斜边长为
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=6（c为斜边，a、b为直角边）则c= ，a=
3、利用勾股定理说明边的关系
如图，AD是△ABC的中线，试说明：AB2＋AC2=2（AD2＋CD2）
方法总结：说明三角形各边之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的平方关系的方法：首先观察各边是否在直角三角形中，如果在，可直接利用勾股定理进行说明；否则需要作垂线，使所证明各边在直角三角形中，再利用勾股定理来说明。
4、利用勾股定理求面积：
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝6cm， BC＝8cm，现将直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，求△ACD的面积是多少
5、求等腰三角形底边上的高
如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线，求AD的长。
6、利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＋338=10a＋24b＋26c
试说明：这个三角形是直角三角形。
7、勾股定理及其逆定理的综合应用：
（1）如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。
（2）、下列几组数中是勾股数的是 （填序号）
①32、42、52 ②5、12、13 ③、、 ④0.9、1.2、1.5
（3）如图，在Rt△ABC中，∠A CB＝90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．
(1)若AC＝1，BC＝．求证：AD2＋CF2＝BE2；
(2)是否存在这样的Rt△ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）
8、构造直角三角形求角的度数
如图，在△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.把△ACP绕C点逆时针旋转90°使点A和点B重合，得到四边形ABDC求
∠BPC的度数。
9、规律探究：
观察下列勾股数：
a b c
第一组：3=2×1＋1 4=2×1×（1＋1） 5=2×1× （1＋1）＋1
第二组：5=2×2＋1 12=2×2×（2＋1） 13=2×2×（2＋1）＋1
第三组：7=2×3＋1 12=2×3×（3＋1） 25=2×3×（3＋1）＋1
第四组：9=2×4＋1 40=2×4×（4＋1） 41=2×4×（4＋1）＋1
……
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a、b、c各是多少吗？第n组呢？
10、勾股定理在实际生活中的应用
如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现有C处 ( http: / / www.21cnjy.com )需要爆破，已知C与公路停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，需要暂时封锁吗？
四、基础训练：
（一）选择题：
（1）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
（2）Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
（4）等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）
A、56 B、48 C、40 D、32
（5）已知，如图，一轮船以 ( http: / / www.21cnjy.com )16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
（二）填空题：
（5）在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
（6）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（7）在平静的湖面上，有一支红莲，高出 ( http: / / www.21cnjy.com )水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
（8）已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
（9）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的
（10）正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D
的面积之和为___________cm2。
（三）解答题：
（10）如图，铁路上A，B两点相距25 ( http: / / www.21cnjy.com )km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
（11）如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试证明勾股定理。
（12）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度
2、
B
A
C
D
A
B
C
D
第9题图
7cm
A
D
E
B
C
第10题图
C
第11题图