八年级数学上册新苏科版2015-2016学年期末复习讲义：第1章《全等三角形》教案

2015-16学年第一学期苏科版初二数学《全等三角形》复习讲义
一、知识系统：
二、知识点：
1、定义：能够完全重合的图形叫做全等图形。
（1）“完全重合”是指两个图形的形状相同、大小相等；
（2）全等图形是指两个或两个以上的图形之间的关系。一个图形不能称为全等图形。
特征：（1）形状相同；（2）大小相等。
应用举例：（1）下列四个图形是全等图形的是（ ）
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（2）如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对_____．
2、全等图形作法及分割：
（1）全等图形的作法：依据图形的平移、翻 ( http: / / www.21cnjy.com )折、旋转三种基本变换，作图的关键是先找出关键点，然后确定关键点经过变换后的位置，最后确定图形的位置。
（2）全等图形的分割：把一个图形分割成两个 ( http: / / www.21cnjy.com )或几个全等图形，一般的分割思路有：（1）利用中心对称图形性质分割图形；（2）利用图形在分割前后面积不变寻求分割方法。
（3）利用全等图形设计图案：先把图形割补，在设计图案，最后无缝拼接。
3、全等三角形的定义及表示（重点）
两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。
如图所示：
△ABC与△DEF是全等三角形，记作
△ABC≌△DEF。其中（1）顶点A和D、B和E、C和F叫做对应顶点；
（2）AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边；
（3）∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F叫做对应角。
说明：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
（4）找对应边、对应角的常用方法：
全等三角形的对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
全等三角形的对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
有公共边的，公共边是对应边；
有公共角的，公共角是对应角；
有对顶角的，对顶角是对应角；
全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
应用举例：如图，△ABC≌△ABD，图中有相等的角吗？有相等的边吗？请找出来，并说明你的理由.
4、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等；对应角相等。
几何语言：如果△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，AC=DF，BC=EF。
注意：（1）两个三角形全等是对应边和对应角相等的前提。如果没有全等三角形，就没有对应边相等，对应角相等。
（2）利用全等三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，在用字母表示时，也要对应着写，两个对应角所对的边一定是对应边。
（3）两个三角形全等，就是两个三角形能够完 ( http: / / www.21cnjy.com )全重合。所以不仅对应边相等，对应角相等，对应角平分线、对应高线和对应中线也相等，而且它们的周长和面积也相等。
（4）三角形全等具有传递性。
5、三角形全等的判定条件：（重点）
（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；简写作：“SAS”。
（2）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；简写作：“ASA”。
（3）两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；简写作：“AAS”。
（4）三边分别对应相等的两个三角形全等；简写作：“SSS”。
（5）用“HL”证明两个直角三角形全等。
应用举例：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，
∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．
6、三角形的稳定性：如果一个三角形三边长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
应用举例：工人师傅造门时，常用木条EF固定门框ABCD（如图所示），使其形状不变，这种做法的依据是（ ）
A、两点之间线段最短 B、长方形的对称性
C、长方形四个角都是直角 D、三角形的稳定性
7、尺规作角平分线和垂线：（1）角平分线的作法；（2）过直线外一点作已知直线的垂线。
应用举例：已知：△ABC是等边三角形．
（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O
（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：
△OCF是等边三角形；
（3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积．
三、典型例题：
1、已知，△ABC≌△DE ( http: / / www.21cnjy.com )F，△ABC的周长为12cm，AB=4cm，BC=5cm，则DE= ，EF= ，DF= ．
2、如图，△ABC≌△AEC，B和E为对应顶点，∠B=40°，
∠ACB=70°，求△AEC各个内角的度数。
3、△ABC绕点A旋转得到△ADE，∠B=28°，∠E=95°，则
∠BAD的度数为（ ）
A、75° B、57° C、55° D、77°
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm。已知
△BCD≌△ACE。求四边形AECD面积。
5、已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，
求证：AB=AC．
6、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
7、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．
8、如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,
BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE
说明：证明两个三角形全等时图形中常用的隐含条件：
判定两个三角形全等，寻找条件时，应该注 ( http: / / www.21cnjy.com )意图形中的隐含条件，常见的有：（1）公共边或公共角相等；（2）对顶角相等；（3）等边加（或减）等边，其和（或其差）仍相等；（4）等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等；（5）同角或等角的余角（或补角）相等；（6）有中线或角平分线的定义得出线段或角相等；（7）由垂直定义得出直角相等。另外，一些自然规律如：“太阳光线可以看成是平行的”，“光的反射角等于入射角”等也是常用的隐含条件。
四、基础训练：
1、如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，可增加条件 ，
理由是 定理。
2、下列说法中正确的是（ ）
A、两个直角三角形全等 B、两个等腰三角形全等
C、两个等边三角形全等 D、两条直角边对应相等的直角三角形全等
3、如图，△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，
且CD=6cm，则DE的长为（ ）
A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm
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4、三角形内到三条边的距离相等的点是（ ）
A、三角形的三条角平分线的交点 B、三角形的三条高的交点
C、三角形的三条中线的交点 D、三角形的三边的垂直平分线的交点
5、三角形内到三个顶点的距离相等的点是（ ）
A、三角形的三条角平分线的交点 B、三角形的三条高的交点
C、三角形的三条中线的交点 D、三角形的三边的垂直平分线的交点
6、在△ABC中，∠A=70 ，∠B=40 ，则△ABC是（ ）
A、钝角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形
D、等腰直角三角形
7、如图，AE=BE，∠C=∠D，求证：△ABC≌△BAD。
8、如图，在△ABC和△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。
①AB=DE， ②AC=DF， ③∠ABC=∠DEF， ④BE=CF.
解：我写的真命题是：
在△ABC和△DEF中，
如果 ，
那么 。（不能只填序号）
证明如下：
9、已知：AC ,BD相交于点O，AO=OC，再添加一个什么条件，使两个三角形全等？
10、如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）
11、如图，点E、F在AB上，且AF＝BE，AC＝BD，AC∥BD．求证：CF∥DE
12、如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，
（1）求证: △BCE≌△CAD；
（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
D
C
B
A
O
1
2
3
4
A
B
C
D
E
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
E
B
D
A
图2
C
B
E
C
D
A