北京市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. A
2. B
3. D
4. D
5. C
6. C
7.A
8. A
9. B
10. B
11. D
12. B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
13.【答案】
14.
【答案】．
15.
【答案】
16.
【答案】（答案不唯一）
17.
【答案】②③④
三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
18.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合，即可求解；
（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
由一元二次方程有两个不相等的实数根，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为方程有两个不相等的实数根，
由（1）知，且，
因，可得，即，
可得，即，解得或，
因为，所以.
19.
【解析】
【分析】（1）由题设得，或，根据集合交并补运算求集合；
（2）根据包含关系有或，即可求参数范围.
【小问1详解】
由题设，或，
当时，或，故，
且，故.
【小问2详解】
由，则或，可得或.
20.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；
（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集
【小问1详解】
由题设，开口向上且对称轴为，
结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为.
【小问2详解】
由题意，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
21.
【答案】（1）是奇函数，理由见解析
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）对于本题，需要先求出，然后与和进行比较.
（2）利用函数单调性的定义,设且，然后计算，根据其正负判断函数的单调性.
（3）函数在上有两个零点，等价于与的图象在上有两个交点，需要先分析在上的单调性和值域，从而确定的范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，关于原点对称.
.根据奇函数的定义，对于定义域内任意，，所以函数是奇函数.
【小问2详解】
设且.
则,
对分子进行化简：.
因为，所以，，，.
所以，
即.所以在上是减函数.
【小问3详解】
时，,当且仅当取得最小值.
当时，且，,,.
则，即，
则当单调递减；
当时，且，,,.
则，即，
则当,单调递增；
并且，，.
因为函数在上有两个零点，所以.
22.
【解析】
【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）.
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
23.
【解析】
【分析】（1）令结合题设可得，即可证；
（2）令得到，若，结合已知即可求范围；
（3）令，应用函数单调性定义求证即可.
【小问1详解】
令，则，
当时的取值范围是，即，故，
显然存在，使，得证；
【小问2详解】
令，则，即，
若，则，故，即，
而，则，当时，取值范围是；
【小问3详解】
单调递减，证明如下：
令，则，
所以，则，
由题设及（2）知，，则，即，
所以单调递减，得证.北京市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
注意事项 1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 出题人：高一备课组 审核人：高一备课组
一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则()
A. B. C. D.
2. 设命题，则的否定为（）
A. B. C. D.
3. 方程组的解集是（ ）
A. (－5，4) B. (5，－4)
C. {(－5，4)} D. {(5，－4)}
4. 已知全集，集合，，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
5. 不等式的解集为（）
A B. C. 或 D.
6. 函数零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.
7. 下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）
A. B. C. D.
8. 如果函数对于任意实数t都有，那么（）
A. f(2)C. f(4)9. 已知，，且，那么的最大值等于
A. B. C. D.
10. 已知，则“”是“且”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
12. 设函数，若互不相等的实数满足：.则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
13. 函数的定义域是_______.
14. 已知是定义在R上的奇函数，且当x>0时，=，则=________．
15. 设函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.
16. 命题“”为假命题的一个充分不必要条件是______.
17. 设函数
①若，则；
②若，则的最小值为；
③存在实数，使得为R上增函数；
④若恰有2个零点，则实数的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
19. 设全集，集合，集合，其中．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）当时，分别求出函数在上的最大值和最小值；
（2）求关于的不等式的解集.
21. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）若函数在上有两个零点，求的范围．（直接写出答案）
22. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
23. 设函数是定义在R上函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是．
（1）求证：存在实数使得；
（2）当时，求的取值范围；
（3）判断函数单调性，并予以证明．
