北京十四中2024-2025学年度第一学期期中检测
高二数学测试卷
一、
1.C
2. B
3. A
4. D
5. B
6. D
7. A
8. D
9. C
10. C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分.
11.##
12.
13.
14. ##
15. ③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.
【解析】
【分析】（1）先求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程并化简.
（2）根据两直线垂直，确定边上高的斜率，再根据点斜式写出边上的高的方程并化简.
（3）利用“割补法”求三角形的面积.
【小问1详解】
因为.
所以直线的方程为：即.
【小问2详解】
因为，所以边上的高的斜率为：.
所以边上的高所在的直线为：即.
【小问3详解】
如图：作轴于点，轴于点，则，.
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）证明平面平面，利用面面平行的性质可证得平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；
（3）设，则，，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的范围可求得的值.
【小问1详解】
证明：在矩形中，.
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
解：因为平面，平面，平面，
所以，，又因为是矩形，，
所以、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、，所以，.
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，
取平面的一个法向量为，则，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.
【小问3详解】
解：设，则，，所以，
因为点到平面的距离.
因为，解得，故.
18.
（1）
（2），或，或，或
（3）为常数，理由见详解
【解析】
【分析】（1）椭圆的标准方程为，由已知可得，，进而得到，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设，由，在中，由勾股定理，再可得，与椭圆的方程联立，即可求出点的坐标；
（3）设，由，，可得，即为常数.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，
因为长轴端点分别为，，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，则，
所以，
则椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，
因为，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且，
所以，
由（1）知椭圆为，，
所以，
整理得，与联立，
解得，
所以点的坐标为，或，或，或.
【小问3详解】
设，又，，
则，，
所以，
又，所以，
则，
即为常数.
19.
【解析】
【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一和勾股定理可证得，由线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取中点，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
取中点，连接，，
，，，，，
，，，又，
，，
，平面，平面，
又平面，平面平面.
【小问2详解】
取中点，连接，
分别为中点，，又，，
由（1）知：平面，
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.
【解析】
【分析】根据圆的对称性及圆心在x轴上列方程分别求得D、E，进一步求得圆的标准方程；
根据圆的切线性质及面积计算得到，进一步当M在x轴上时取得最小值时四边形的面积最小，求得结果；
根据切线性质得到四点ACBM共圆，AB是两圆的公共弦，通过求得以MC为直径的圆的方程进一步求得直线AB的方程，最后根据无论m为何值直线恒过证得结果．
【小问1详解】
圆C的方程的圆心坐标为，半径，
由圆心在x轴上，圆关于直线对称得到，，，
，，所求圆C的标准方程为．
【小问2详解】
如下图所示，过点M引圆C两条切线MA、MB，切点分别为A、B，
，，，
，
当最小时，四边形的面积最小，
当点M在x轴上时，
此时S的最小值为．
设点，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上，
该圆的圆心为，半径为，
，即，
是圆C与以MC为直径的圆的公共弦，
直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项，
得到，
时，，
无论m取何值直线恒过点．
21.
【解析】
【分析】（1）焦点，，由题意可得，求出即可；
（2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即，设直线OA的方程为，直线OB的方程为，求出的范围，再根据即可得出结论.
【小问1详解】
方法一：设焦点，，
曲线与x轴正半轴交于点，
由题意知，
于是，，
因此，；
方法二：设焦点，，
由题意知，
即，
整理得，于是，.
因此，，；
【小问2详解】
假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为，直线OB的方程为，
将直线OA的方程与曲线C联立，得，
即.
解得，同理，
因此不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.北京十四中2024-2025学年度第一学期期中检测
高二数学测试卷
2024.11
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（）
A. B.
C. D.
3. 椭圆的焦点坐标为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4已知三点A（ 1，0，1），B（2，4，3），C（5，8，5），则
A. 三点构成等腰三角形 B. 三点构成直角三角形
C. 三点构成等腰直角三角形 D. 三点构不成三角形
5. 如图，在长方体中，为中点，.记，，，则等于（）
A. B.
C. D.
6. 已知圆与圆相切，则（）
A. B. C. D. 或
7. “”是“直线与直线平行”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（）
A. B. C. D.
9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（）
A. B. C. D.
10. 材料一:已知三角形三边长分别为，，，则三角形面积为，其中，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；
材料二:阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.
根据材料一或材料二解答:已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分.
11. 两条平行直线与之间的距离为_____.
12. 过点的直线与圆相切，切点为，则_____.
13. 已知，，则的最大值是________．
14. 如图，已知是正方体，，分别是棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为_____.
15. 如图，正方体，则下列四个结论中:
①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变;
②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变;
③点在直线上运动时，二面角的大小不变;
④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变.
所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知的顶点为、 、.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程；
（3）求的面积.
17. 如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上.
（1）求证：平面；
（2）求二面角余弦值；
（3）若点到平面的距离为，求线段的长.
18. 已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且.求点的坐标；
（3）为椭圆上任意一点（不与、重合），设直线斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由.
19. 如图所示，在三棱锥中，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②求证：直线AB恒过定点．
21. 中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布 伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线.
（1）求曲线C的焦点，的坐标；
（2）试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
