北京市第十九中学2024-2025学年第一学期期中考试试卷
高一数学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题纸相应位置上.）
1. B
2. C
3. C
4. C
5. B
6. A
7. B
8. B
9. C
10. B
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分.）
11.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. 1 ②.
15.
【答案】①②④
三、解答题（共4小题，共40分，解答应可出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据集合的交并补运算求解；
（2）由可得，再根据子集关系求解出的取值范围.
小问1详解】
由，解得，
，或，
，.
【小问2详解】
由可得，
当时，即，即；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
17.
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）根据减函数的定义证明；
（3）利用奇偶性变形不等式，再由单调性化简即可得．
【小问1详解】
任取，则，
，所以是奇函数；
【小问2详解】
设，且是上的任意两个实数，
，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
【小问3详解】
不等式化为，
是奇函数，则，
又在区间上是减函数，
所以，解得．
18.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案；
（3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案.
【小问1详解】
由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，则，解得.
【小问3详解】
由不等式，整理可得，
令，则其对称轴，
①当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
②当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
③当，时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解；
综上所述，
19.
【答案】（1）函数是，不是，理由见解析；
（2）9； （3）.
【解析】
【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可.
（2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可.
（3）作出的图象，再借助函数图象变换列式求解.
【小问1详解】
对于函数，因为，，
所以函数为区间上的增长函数；
对于函数，当时，，
所以函数不为区间上的增长函数.
【小问2详解】
依题意，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，而，则函数在上单调递增，
，因此，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
【小问3详解】
依题意，当时，，当时，，
而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示：
于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，
观察图象知，当且仅当，即时，恒成立，
所以实数a的取值范围为.北京市第十九中学2024-2025学年第一学期期中考试试卷
高一数学
（时间：90分钟满分：100分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题纸相应位置上.）
1已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中正确的是（）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增是（）
A. B. C. D.
6. 已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（）
A. 2080 B. 20 C. D. 400
8. “”是“”的（）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，，则
10. 设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分.）
11. 函数的定义域为_____________.
12. 绝对值不等式解集为________..
13. 已知函数的图象如图所示，则的值为______.
14. 已知函数.若，则________；若的值域是，则实数的取值范围是________.
15. 函数，给出下列四个结论
①的值域是；
②任意且，都有；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______________．
三、解答题（共4小题，共40分，解答应可出文字说明，演算步骤或证明过程）
16已知全集，，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
17. 已知函数.
（1）证明：为奇函数；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
18. 已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数.
（1）已知函数，，判断和是否为区间上增长函数，并说明理由；
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.
