北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试
高一学科：数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. A
2. B
3. C
4. B
5. A
6. B
7. D
8. C
9. A
10. D
11. C
12. C
二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.
【答案】 x0＞0，x02+2x0-3≤0
17.【答案】 ①. ##0.4 ②. 2
18.
【答案】 ①. ②.
19.【答案】和
20.【答案】
21.【答案】
22.【答案】
三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
23.
【解析】
【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；
（2）根据题意可得到有关的一个方程组，求解即可；
（3）分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
若，则，又或，
则，；
【小问2详解】
集合，或，，
所以，解得，
所以a的取值范围为；
【小问3详解】
因为，则，
，或，
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
综上,若，求a的取值范围为或.
24.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；
（2）先根据不等式得到在上恒成立，令，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.
【小问1详解】
已知，
当时，函数在上递增，
所以，解得；
当时，函数在上递减，
所以，矛盾；
当时，函数在上递减，在上递增，
所以或，解得，均不符合题意；
综上；
【小问2详解】
当时，若不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，该函数对称轴为，
①当，即时，函数在上递减，
只需让即可，
则，解得，即；
②当，即时，
此时，
解得，即；
③当，即时，函数在上递增，
此时，解得，即；
综上m的取值范围为.
25.
【解析】
【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；
（2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
关于的函数解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，，解得舍去，
当时，，解得，
当时，，解得舍去，
综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为15.
26.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和可解得，的值，即可得函数的解析式；令可解得函数的零点；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又，即，解得，
所以，
令得，解得，即函数的零点为0；
【小问2详解】
函数在上单调递减；
证明：设，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递减；
【小问3详解】
函数的图像如下：
27.
【解析】
【分析】（1）根据定义，，直接求解即可，
（2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明，
（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值．
【小问1详解】
由题意，得，，
【小问2详解】
证明：因为，，且，
所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为，
又因为，所以且，
所以集合中其他元素为，，，
即，剩下的，
因为，所以，
即，即，所以
【小问3详解】
设，满足题意，其中，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，
所以，
实际当，时满足题意，证明如下：
设，，
则，，
由题意得，
即，故的最小值为674．
即时，满足题意，
综上所述，集合中元素的个数为（个．北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试
高一学科：数学
（考试时间120分钟满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中是偶函数的是（）
A. B.
C. D.
3. 已知，且，则下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象是（）
A B.
C. D.
5. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）
A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值
C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值
6. 随着我国经济不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
7. 已知，则的最小值为（）
A. B. 3 C. 4 D. 5
8. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
9. “”是“关于x的不等式对恒成立”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
11. 函数的值域为（）
A B.
C. D.
12. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（）
A. 没有最大元素，有一个最小元素
B. 没有最大元素，也没有最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 有一个最大元素，没有最小元素
二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
13. 函数的定义域为______.
14. 关于的不等式的解集是______.
15. 计算：______.
16. 命题“ x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．
17. 已知，当时，函数的最小值是______，最大值是______.
18. 如图是一份纸制作矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.
19. 函数的单调递增区间是______.
20. 函数的值域是______.
21. 已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为______.
22. 已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是______.
三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
23. 记全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若，求a的取值范围.
24. 已知函数
（1）当，的最大值为3，求实数m的值.
（2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
25. 了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12的部分 3元/
超过12但不超过18的部分 6元/
超过18的部分 9元/
（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；
（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？
26. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式以及零点.
（2）判断并用函数单调性的定义证明在的单调性.
（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域上的准确示意图.
27. 设集合为非空数集，定义，．
（1）若，写出集合、；
（2）若，，且，求证：；
（3）若，且，求集合元素个数的最大值．
