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第27章 相似 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 凉州区一模）下列两个图形一定是相似图形的是
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．（2024秋 诸城市期中）若，则下列式子错误的是
A． B． C． D．
3．（2024秋 鹿城区校级月考）如图，四边形四边形，，，，则的度数为
A． B． C． D．
4．（2024秋 城阳区期中）若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为
A． B． C． D．
5．（2023 朝阳区校级二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是
A． B．
C． D．
6．（2024秋 荷塘区期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为
A． B． C． D．
7．（2023秋 秦都区期末）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024秋 新城区期中）如图，在正方形网格中，，，，是网格线的交点，与相交于点，则△的周长与△的周长的比为
A． B． C． D．
9．（2024 临邑县一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点坐标为，点坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点坐标为
A． B． C．， D．，
10．（2024秋 奉贤区期中）如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 长安区校级月考）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ．
12．（2024秋 荷塘区期中）下列四组线段中：①，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中，，，是成比例线段的有 ．（请填写序号）
13．（2024秋 工业园区校级月考）如图，若，则△△．横线上应填入 ．
14．（2024秋 宝山区校级期中）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么的值是 ．
15．（2024秋 龙岗区期中）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点，旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即，两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即，两点重合），夹嘴间的距离的长为 ．
16．（2024秋 东昌府区校级月考）如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 亳州期末）已知实数，，满足，试求的值．
18．（2024秋 奉贤区期中）如图，是△的中线，是上一点，且，联结并延长交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（2024秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上，且点、、的坐标分别为，，．
（1）以点为位似中心，在第一象限画出△的位似图形△，使△与△的相似比为；
（2）在（1）的条件下，求△的面积．
20．（2024秋 莲湖区校级期中）如图，在△中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
21．（2024秋 皇姑区校级月考）以长为2的线段为边作正方形，取的中点，连接，在的延长线上取点，使，以为边作正方形，点在上．
（1）求，的长；
（2）求证：；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
22．（2022秋 滨江区期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
23．（2024秋 蜀山区校级期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边、上画点、，连接，使△△，且；
（2）在图②中，分别在边、上画点、，连接，使△△，且．
24．（2024秋 屯留区期中）研学实践：
“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元1870年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据．
数据采集：
如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为2米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米．
数据应用：
已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离．
25．（2024秋 蜀山区校级期中）如图1，在△中，平分，，，．
（1）求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，为上的点，作交于点，、相交于点．
①求证：△△；
②若，求．中小学教育资源及组卷应用平台
第27章 相似 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 凉州区一模）下列两个图形一定是相似图形的是
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】
【解析】、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意；
故选．
2．（2024秋 诸城市期中）若，则下列式子错误的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
，
故符合题意；
故选．
3．（2024秋 鹿城区校级月考）如图，四边形四边形，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】四边形四边形，
，
，
，
，，
，
故选．
4．（2024秋 城阳区期中）若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，，是成比例线段，
，
而，，，
．
故选．
5．（2023 朝阳区校级二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】当是的垂线时，．
，
，
，
，
，
．
根据作图痕迹可知，
选项中，是的平分线，不与垂直，不符合题意；
选项中，是边上的中线，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，，不与垂直，不符合题意．
故选．
6．（2024秋 荷塘区期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点是线段的黄金分割点，
，
而，
．
．
故选．
7．（2023秋 秦都区期末）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【解析】
，
又，，，
故选．
8．（2024秋 新城区期中）如图，在正方形网格中，，，，是网格线的交点，与相交于点，则△的周长与△的周长的比为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】观察图象可知．，，
△△，
△的周长：△的周长．
故选．
9．（2024 临邑县一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点坐标为，点坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点坐标为
A． B． C．， D．，
【答案】
【解析】如图，过点作轴于，过点作轴于．
，，，
，，，，
，，，
△，
，
，
，，
△，
，
，
，
，，
故选．
10．（2024秋 奉贤区期中）如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
，
，
，
，
，
，故②正确，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 长安区校级月考）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ．
【答案】；．
【解析】若两个相似三角形的相似比为，则面积比为；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为．
故答案为：；．
12．（2024秋 荷塘区期中）下列四组线段中：①，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中，，，是成比例线段的有 ①② ．（请填写序号）
【答案】①②．
【解析】①，这四条线段成比例，故符合题意；
②，这四条线段成比例，符合题意；
③，
，这四条线段不成比例，故不符合题意；
④，这四条线段不成比例，故不符合题意；
故答案为：①②．
13．（2024秋 工业园区校级月考）如图，若，则△△．横线上应填入 ．
【答案】．
【解析】△△，
，
故答案是：．
14．（2024秋 宝山区校级期中）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么的值是 ．
【答案】．
【解析】，，
，
，
，
故答案为：．
15．（2024秋 龙岗区期中）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点，旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即，两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即，两点重合），夹嘴间的距离的长为 14 ．
【答案】14．
【解析】连接，如图，
，，，
，
又，
△△，
，
，
夹嘴间的距离为；
故答案为：14．
16．（2024秋 东昌府区校级月考）如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的结论有 ①② ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②．
【解析】是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，
，，，，
，
△△，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故①选项正确，符合题意；
，，
，
，
故②选项正确，符合题意；
，
△△，
，
，
故③选项错误，不符合题意；
设△的面积为，则△的面积为，△的面积为，△的面积△的面积，
△的面积为，
，
故④选项错误，不符合题意，
故答案为：①②．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 亳州期末）已知实数，，满足，试求的值．
【解析】设，
，，，
．
18．（2024秋 奉贤区期中）如图，是△的中线，是上一点，且，联结并延长交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1），，
，
为的中点，
，
，
，
（2）根据（1），，
，
，
，
故答案为：（1）；（2）．
19．（2024秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上，且点、、的坐标分别为，，．
（1）以点为位似中心，在第一象限画出△的位似图形△，使△与△的相似比为；
（2）在（1）的条件下，求△的面积．
【解析】（1）如图所示，△即为所求．
（2）△的面积为．
20．（2024秋 莲湖区校级期中）如图，在△中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：，，
△△，
，，
，
；
（2）解：，，
△△，
，
，
．
21．（2024秋 皇姑区校级月考）以长为2的线段为边作正方形，取的中点，连接，在的延长线上取点，使，以为边作正方形，点在上．
（1）求，的长；
（2）求证：；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
【解析】（1）解：在中，，，
，
，
；
（2）证明：，，
；
（3）点是的黄金分割点．理由如下：
，
，
点是的黄金分割点．
22．（2022秋 滨江区期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【解析】（1）不相似．理由如下：
原矩形的长，宽，
划分后小矩形的长为，宽为，
又，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
每个小矩形与原矩形不相似．
（2）原矩形的长，宽，
划分后小矩形的长为，宽为，
又每个小矩形与原矩形相似，
，即．
23．（2024秋 蜀山区校级期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边、上画点、，连接，使△△，且；
（2）在图②中，分别在边、上画点、，连接，使△△，且．
【解析】（1）△△，
，
．
如图①，在上取点，使，再过点作的平行线，交于点，
则点、即为所求．
（2）△△，
．
如图②，在上取格点，使，再取格点，，使，且，连接交于点，
此时△△，
，
，
则点、即为所求．
24．（2024秋 屯留区期中）研学实践：
“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元1870年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据．
数据采集：
如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为2米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米．
数据应用：
已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离．
【解析】于点，于点，
，
，
△△，
，
同理可得，
，
，
米，米，米，
，
，
，
，
（米．
答：秋风楼顶部到地面的距离为32米．
25．（2024秋 蜀山区校级期中）如图1，在△中，平分，，，．
（1）求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，为上的点，作交于点，、相交于点．
①求证：△△；
②若，求．
【解析】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
△△，
，
而，，
则，
则；
（2）①证明：
由（1）可知，，
，，
，
△△；
②解：△△，
，
，
，
由已知及（1）可知，，△△，
，
，
，
过点作交于点，如图，
，，，，
△△，△△，
，
，
．
