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第26章 反比例函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蒙城县期中）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024秋 市中区校级月考）在同一坐标系中，函数和的图象大致是
A． B．
C． D．
3．（2024 开福区校级三模）若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为
A． B． C． D．
4．（2024 定安县二模）已知一个函数满足如表为自变量），则这个函数的表达式为
1 2 3
3 4.5 9
A． B． C． D．
5．（2024 东莞市一模）对于反比例函数，下列结论不正确的是
A．图象必经过点 B．随的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称
6．（2024秋 莱芜区期中）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
7．（2024 天河区校级三模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为
A．18 B．36 C． D．
8．（2024 东营一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（2024 南皮县二模）设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是
A．， B．， C．， D．
10．（2024 赣州模拟）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
二．填空题（共6小题）
11．（2024 大渡口区模拟）已知函数是反比例函数，则的值为 ．
12．（2023 西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数 和 的图象如图所示，的值可以是 ．（写出一个即可）
13．（2024 江南区校级三模）如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则 ．
14．（2023 城阳区校级一模）上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观．京沪线铁路全程为，某次列车的全程运行时间（单位：与此次列车的平均速度（单位：的函数关系式是 ．（不要求写出自变量的取值范围）
15．（2024 武威三模）如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则△的面积为 ．
16．（2024 辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知函数，点在轴的正半轴上，点在轴上，过点作轴的垂线分别交函数，的图象于，两点，连接，，则△的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 碧江区 校级月考）已知与成反比例，且其函数图象经过点．
（1）求与的函数关系式；
（2）求当时，的值．
18．（2024秋 金安区月考）已知反比例函数为常数）．
（1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；
（2）当时，随的值增大而减小，求的取值范围．
19．（2024 惠阳区校级三模）综合探究
请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是 ；
（2）下表列出了与的几组对应值，请写出其中，的值： ， ；
0 2 3 4
2 1
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）根据图象直接写出时的取值范围： ．
20．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，．
（1）求双曲线的解析式；
（2）已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标．
21．（2022秋 阜平县期末）已知函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系内，函数的图象与坐标轴交于，两点，点是直线上一点，点与点关于轴对称，线段交轴于点．
（1） ， ．
（2）如果线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，求的值．
22．（2024秋 蒙城县期中）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的矩形科技园，其中一边靠墙，墙长为．设的长为 ，的长为 ．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
23．（2024秋 张店区校级月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式及的面积；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点的坐标．
24．（2023秋 绥中县期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接．
（1）求值；
（2）计算图形阴影部分面积之和．
25．（2024春 东台市月考）阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．
问题：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径：
（1）填写下面的空格．
问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径：
（2）理解应用
将函数的图象先向左平移1个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
（3）灵活应用
如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点和点．将函数的图象和直线同时向右平移个单位长度，得到的图象分别记为和，已知图象经过点．
①求出平移后的图象对应的函数表达式；
②直接写出不等式的解集．
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第26章 反比例函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蒙城县期中）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】
【解析】①，是二次函数不是反比例函数；
②，是反比例函数；
③，不是反比例函数；
④，是反比例函数；
⑤，是正比例函数不是反比例函数．
综上所述，能表示是的反比例函数的有2个．
故选．
2．（2024秋 市中区校级月考）在同一坐标系中，函数和的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误；
、反比例函数两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误；
、反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象符合，选项正确；
、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误；
故选．
3．（2024 开福区校级三模）若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是．
故选．
4．（2024 定安县二模）已知一个函数满足如表为自变量），则这个函数的表达式为
1 2 3
3 4.5 9
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，
设函数的解析式为，
把，代入得，，
该函数的解析式为：，
故选．
5．（2024 东莞市一模）对于反比例函数，下列结论不正确的是
A．图象必经过点 B．随的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称
【答案】
【解析】、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意；
、，在每一个象限内，随的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
、，函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；
、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意．
故选．
6．（2024秋 莱芜区期中）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】反比例函数，
，
反比例函数的图象在二、四象限，
点．在第四象限且点在点的左侧，点在第二象限，
．
故选．
7．（2024 天河区校级三模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为
A．18 B．36 C． D．
【答案】
【解析】连接，
点是点关于轴的对称点，
，
，
的面积为18，
，
．
又反比例函数的图象在第二象限，
．
故选．
8．（2024 东营一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】
【解析】在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数图象上，
，
，
由题意得关于的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
关于的不等式的解集为或，
故选．
9．（2024 南皮县二模）设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是
A．， B．， C．， D．
【答案】
【解析】，
随的增大而减小，
，
当时最大，
即，
，
，
，
随的增大而增大，
，
当时最小，
即，
，
，
解得：，
，
故选．
10．（2024 赣州模拟）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
【答案】
【解析】开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，故选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，与的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故选项正确，不符合题意；
令，则，
，
从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
当时，，
即此时的水温为，故选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为，故选项错误，符合题意．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 大渡口区模拟）已知函数是反比例函数，则的值为 ．
【答案】．
【解析】函数是反比例函数，
，
解得：．
故答案为：．
12．（2023 西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数 和 的图象如图所示，的值可以是 2（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）．
【解析】如图，
当时，、的坐标分别为，，
，
．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．（2024 江南区校级三模）如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则 12 ．
【答案】12．
【解析】由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，
则圆的面积为．
因为在第一象限，则，，
根据勾股定理，．
于是，，（负值舍去），故．
点坐标为．
将代入，
得：．
故答案为：12．
14．（2023 城阳区校级一模）上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观．京沪线铁路全程为，某次列车的全程运行时间（单位：与此次列车的平均速度（单位：的函数关系式是 ．（不要求写出自变量的取值范围）
【答案】．
【解析】由题意，有全程除以平均速度等于全程所用时间．
即：
故答案为：．
15．（2024 武威三模）如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则△的面积为 9 ．
【答案】9．
【解析】点为△斜边的中点，且点的坐标，
点的坐标为，
把代入双曲线，
可得，
即双曲线解析式为，
，且点的坐标，
点的横坐标为，代入解析式，
，
即点坐标为，
，
又，
．
故答案为：9．
16．（2024 辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知函数，点在轴的正半轴上，点在轴上，过点作轴的垂线分别交函数，的图象于，两点，连接，，则△的面积为 4 ．
【答案】4．
【解析】分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
轴，，轴，
四边形是矩形．
点在反比例函数的图象上，
，
即，
．
同理可得，，
，
．
故答案为：4．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 碧江区 校级月考）已知与成反比例，且其函数图象经过点．
（1）求与的函数关系式；
（2）求当时，的值．
【解析】（1）设与的函数关系式为，
又图象经过点，则，
与的函数关系式为．
故答案为：；
（2）将代入，得到，
当时，．
18．（2024秋 金安区月考）已知反比例函数为常数）．
（1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；
（2）当时，随的值增大而减小，求的取值范围．
【解析】（1）反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
的取值范围是；
（2）反比例函数为常数），当时，随的值增大而减小，
，
解得，
的取值范围是．
19．（2024 惠阳区校级三模）综合探究
请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是 ；
（2）下表列出了与的几组对应值，请写出其中，的值： ， ；
0 2 3 4
2 1
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）根据图象直接写出时的取值范围： ．
【解析】（1），
，
故答案为：；
（2）当时，；
当时，则，解得，
，；
故答案为：
（3）如图所示：
（4）由图象可知，时的取值范围为或．
故答案为：或．
20．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，．
（1）求双曲线的解析式；
（2）已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标．
【解析】（1）如图1中，作轴于，连接．
，，
，
，
，
反比例函数经过点，
，
．
（2）如图2中，作轴于，轴于．设．
，
，
，
当时，整理得，解得或（舍弃），
当时，整理得，解得或3（舍弃）．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
21．（2022秋 阜平县期末）已知函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系内，函数的图象与坐标轴交于，两点，点是直线上一点，点与点关于轴对称，线段交轴于点．
（1） 2 ， ．
（2）如果线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，求的值．
【解析】（1）在直线的图象上，
，
，
点与点关于轴对称，
，
当时，，当时，，
，
．
故答案为：2，8；
（2），，
，
线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，且交点为，
①当时，即：，
，
，
，
②当时，即：，
，
，
．
故的值为或2．
22．（2024秋 蒙城县期中）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的矩形科技园，其中一边靠墙，墙长为．设的长为 ，的长为 ．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
【解析】（1）根据题意得：，
．
又墙长为，
，
，
与之间的函数关系式为；
（2），，均为正整数，且，
或或或或或或，
又，
或或，
共有三种围建方案，
方案的长为5，的长为12；
方案的长为6，的长为10；
方案的长为10，的长为6．
23．（2024秋 张店区校级月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式及的面积；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点的坐标．
【解析】（1）反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
将与坐标代入反比例解析式得：，，
、，
代入一次函数解析式得：，
解得：，
一次函数的解析式为，
直线与轴、轴的交点坐标为、，
；
（2），，
观察图象可知，不等式的解集是或．
（3），
，
设，即，
，
解得：或，
则、，
同理可得、，
点的坐标为或或或．
24．（2023秋 绥中县期末）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接．
（1）求值；
（2）计算图形阴影部分面积之和．
【解析】（1）点在反比例的图象上，
；
（2）连接角于，设与交于点，如图所示：
四边形为菱形，
与互相垂直平分，，
点，
，，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为菱形，
和互相垂直平分，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
，
图形阴影部分面积之和为：．
25．（2024春 东台市月考）阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．
问题：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径：
（1）填写下面的空格．
问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径：
（2）理解应用
将函数的图象先向左平移1个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
（3）灵活应用
如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点和点．将函数的图象和直线同时向右平移个单位长度，得到的图象分别记为和，已知图象经过点．
①求出平移后的图象对应的函数表达式；
②直接写出不等式的解集．
【解析】（1）设平移后新的函数图象上任意点的坐标为，将点向右平移1个单位长度得点，
平移后的图象对应的函数表达式为，
故答案为：，，．
（2）将函数的图象先向左平移1个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
（3）①反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点和点，
，
，
把代入，得，
正比例函数表达式为，
根据正比例函数图象和反比例函数图象的对称性可得：，
将函数的图象和直线同时向右平移个单位长度，得到对应的函数表达式，，即，
把点代入，得，
解得：，
平移后的图象对应的函数表达式为；
②点，，分别向右平移2个单位后对应点坐标为：，，
观察图象可知：不等式的解集为：或．
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