天津市部分区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学（含答案）

天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习高三数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，练习用时120分钟。
使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上：不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上。
第Ⅰ卷（共45分）
注意事项：
本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则（ ）
A． B．1 C． D．5
3．若x，，则“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．若为偶函数，则实数______．
11．已知函数，则______．
12．设，，，则的最小值为______．
13．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m．
14．在中，已知，，，则______；若点P在线段上，则的最小值为______．
15．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，，，，那么实数的最大值为______．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
17．（本小题满分15分）
已知为等差数列，为等比数列，，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（本小题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求C的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
19．（本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为－3，求a的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若，对任意，，，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列的前n项和为，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和；
（Ⅲ）证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得．
天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C B A A D C B D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．0 11．1 12．9
13． 14．； 15．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分）
解（Ⅰ）…2分，
则的最小正周期．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当时，，
当，即时，函数单调递增，
时，函数单调递减，
，
故在区间上的最小值为－1
（17）（本小题满分15分）
解（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由，，可得，所以
由，，又，可得，解得，
从而的通项公式为．…5分
（Ⅱ）设数列的前n项和为．因为，
所以，
，
两式相减得，
，
即，．
（18）（本小题满分15分）
解（Ⅰ）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以．
（Ⅱ）由，得，得，得，
由正弦定理，得．
又∵，∴．
∴的面积．
（19）（本小题满分15分）
解（Ⅰ）∵，∴，
∵曲线在处的切线的斜率为－3，所以，
∴；
（Ⅱ）定义域为，，
当时，，故在上单调递减；
当时，，，单调递增，
，，单调递减．
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，递增区间为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及可得，在上单调递增．
不妨设，且，，
则可化为，
设，
则，所以为上是增函数，
即在上恒成立，
等价于在上恒成立，
对于函数，，当时，，
故在上是增函数，所以，
所以，即k的取值范围为．
（20）（本小题满分16分）
解（Ⅰ）当时，，解得．
当时，，
所以，即，
而，故，故，，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…6分
所以
所以
（Ⅲ）∵，，，，，所以结论成立．