2015年四边形考题汇总之一

2015年四边形考题汇总之一
　
一．选择题（共11小题）
1．（2015 德阳）如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）
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A．60° B．45° C．30° D．75°
　
2．（2015 青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
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A．4 B．4 C．4 D．28
　
3．（2015 桂林）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　　）
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A．18 B．18 C．36 D．36
　
4．（2015 南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　）
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A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
　
5．（2015 安徽）如图，矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）
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A．2 B．3 C．5 D．6
　
6．（2015 温州）如图，在Rt∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
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A．y= B．y= C．y=2 D．y=3
　
7．（2015 昆明）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）
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A．①② B．③④ C．②③ D．①③
　
8．（2015 梧州）如图，在菱形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（　　）
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A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4
　
9．（2015 徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）
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A．3.5 B．4 C．7 D．14
　
10．（2015 台州）如图，在菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）
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A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
　
11．（2015 丹东）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（　　）
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A．2 B．3 C． D．
　
　
二．填空题（共12小题）
12．（2015 辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于　　　　　　．
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13．（2015 本溪）如图，在菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　　　　　．
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14．（2015 吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为　　　　　　．
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15．（2015 营口）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2，则菱形ACEF的面积为　　　　　　．
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16．（2015 海南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　　　　　．
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17．（2015 鞍山）如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为　　　　　　．
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18．（2015 南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　　　　　．
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19．（2015 徐州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　　　　　　．
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20．（2015 黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于　　　　　　度．
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21．（2015 上海） ( http: / / www.21cnjy.com )已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=　　　　　　度．
　
22．（2015 凉山州）菱形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　　　　　　．
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23．（2015 潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　　　　　　．
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三．解答题（共7小题）
24．（2015 义乌市）正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
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25．（2014 滨州）如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．
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26．（2013 昭通）如图，在菱形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．
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27．（2015 玉林）如图，在矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
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28．（2015 乐陵市模拟）已知，正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　　　　　　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
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29．（2014 曲靖模拟）（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．
（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．
（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．
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30．（2014 云阳县校级模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．
（1）若OF=4，求FG的长；
（2）求证：BF=OG+CF．
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2015年四边形考题汇总解析
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共11小题）
1．（2015 德阳）如图，在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）
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A．60° B．45° C．30° D．75°
【考点】直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CED=∠A ( http: / / www.21cnjy.com )，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，
∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED=60°，
∴∠B=∠CED=30°．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED=60°．
　
2．（2015 青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
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A．4 B．4 C．4 D．28
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
　
3．（2015 桂林）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　　）
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A．18 B．18 C．36 D．36
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC=60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=3，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如图： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴AE=3，
∴菱形ABCD的面积是=18，
故选B
【点评】本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键．
　
4．（2015 南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　）
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A．1：2 B．1：3 C．1： D．1：
【考点】菱形的性质．
【分析】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
【解答】解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
故选D．
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【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直．
　
5．（2015 安徽）如图，矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）
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A．2 B．3 C．5 D．6
【考点】菱形的性质；矩形的性质．
【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故选C．
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【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．
　
6．（2015 温州）如图，在Rt∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
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A．y= B．y= C．y=2 D．y=3
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依 ( http: / / www.21cnjy.com )次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
【解答】解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x，
∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE tan30°=x，
∴EF=2CF=x，
∴S△DEF=DE CF=x2，
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG=MG=FE=x，
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，
∴△FMG是等边三角形，
∴S△FGH=x2，
∴S菱形FGMH=x2，
∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2．
故选B．
【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形是关键．
　
7．（2015 昆明）如图，在菱形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）
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A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质即可直接作出判断．
【解答】解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；
根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．
④错误．
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质，正确记忆性质的基本内容是关键．
　
8．（2015 梧州）如图，在菱形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（　　）
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A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【分析】首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．
【解答】解：∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=1，
∴EF=AC=1，
过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×cos30°=，
∴AF=CE=2AG=，
∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF=1++1+=2+2，
故选B．
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【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．
　
9．（2015 徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）
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A．3.5 B．4 C．7 D．14
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB， ( http: / / www.21cnjy.com )再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×7=3.5．
故选A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
　
10．（2015 台州）如图，在菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）
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A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，
解得：AE=5.5，
故选C
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．
　
11．（2015 丹东）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（　　）
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A．2 B．3 C． D．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利 ( http: / / www.21cnjy.com )用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．
【解答】解：∵矩形对边AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°﹣30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB=，
∴CD=AB=，
∵∠DCF=30°，
∴CF=÷=2，
∴EF=2．
故选A．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．
　
二．填空题（共12小题）
12．（2015 辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于　8　．
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【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．
【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB=2DE=2×5=10，
∴在Rt△ABD中，
BD===8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质，得出AB的长是解题关键．
　
13．（2015 本溪）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．
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【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC==5，
∵OE⊥BC，
∴OE BC=OB OC，
∴OE==．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．
　
14．（2015 吉林）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为　（4，4）　．
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【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
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【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
15．（2015 营口）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2，则菱形ACEF的面积为　12　．
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【考点】菱形的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】新定义．
【分析】首先取AC的中点G，连接BG、DG ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据∠ADC=90°，∠ABC=90°，判断出A、B、C、D四点共圆，点G是圆心；然后求出∠BGD=90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可．
【解答】解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，
∴∠ACD=∠ABD=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°，
∵∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，
∴∠BGD=30°+60°=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG=DG=，
∴AC=2，
∴AD=2，
∴，
∴菱形ACEF的面积为：
3
=
=
故答案为：12．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的性质和应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）此题还考查了解直角三角形问题，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
　
16．（2015 海南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　14　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】矩形的性质．
【分析】运用平移个观点，五个 ( http: / / www.21cnjy.com )小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
【解答】解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了平移的性质，矩形性质，勾股定理的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．
　
17．（2015 鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为　　．
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【考点】矩形的性质；勾股定理．
【分析】过B作BH⊥OC于H，过 ( http: / / www.21cnjy.com )E作EM⊥BH于M，由四边形EGHN是矩形，得到EN=HM，根据矩形的性质得到∠A=∠D=90°，AB=CD，证得△ABO≌△CDO，得到OB=OC，推出△BEM≌△BEG，得到BG=EM，等量代换得到BH=EM+EN，由△BCH∽△CDO，得到比例式，即可得到结论．
【解答】解：过B作BH⊥OC于H，过E作EG⊥BH于G，
则四边形EGHN是矩形，
∴EN=HM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∵O是AD的中点，
∴AO=DO，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠GEB=∠OCB，
在△BEM与△BGE中，
，
∴△BEM≌△BEG，
∴BG=EM，
∴BH=EM+EN，
∵AD∥BC，
∴∠DOC=∠OCB，
∵∠D=∠BHC=90°，
∴△BCH∽△CDO，
∴，
∵OC==，
∴BH=，
∴EM+EN的值为：．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
18．（2015 南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　45°　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．
　
19．（2015 徐州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　（）n﹣1　．
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【考点】正方形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+12，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n﹣1．
故答案为（）n﹣1．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．
　
20．（2015 黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于　65　度．
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【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．
　
21．（2015 上海）已知E是正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=　22.5　度．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．
【解答】解：如图，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠FAD=22.5°．
故答案为：22.5．
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【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．
　
22．（2015 凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　（）　．
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【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．
【专题】压轴题．
【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．
【解答】解：连接ED，如图，
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∵点B的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（1，），
∴点C的坐标为（3，），
∴可得直线OC的解析式为：y=x，
∵点E的坐标为（0，﹣1），
∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组的解，
解方程组得：，
所以点P的坐标为（），
故答案为：（）．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．
　
23．（2015 潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　（，﹣）　．
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【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．
【解答】解：∵A（1，0），B（0，），
∴AB==2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵=125…15，
∴移动到第2015秒和第15秒的位置相同，当P运动到第15秒时，如图所示，可得，
如图所示，根据相似的性质可知，，，
∴PE=×=，PF=1×
∴P（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
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【点评】本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．
　
三．解答题（共7小题）
24．（2015 义乌市）正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
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【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；
（2）当α=180°时，DF=BF．
（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
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∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）解：图形（即反例）如图2，
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（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．
【点评】本题主要考查正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．
　
25．（2014 滨州）如图，已知正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．
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【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出．
【解答】解；图中的等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴DC=DC′=DA，
∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，
∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC′=60°，
∴△AC′D为等边三角形，
∴AC′=AD=AB，
∴△C′AB为等腰三角形，
∵∠C′AB=90°﹣60°=30°，
∴∠CDC′=∠C′AB，
在△DCC′和△ABC′中
，
∴△DCC′≌△ABC′（SAS），
∴CC′=C′B，
∴△BCC′为等腰三角形．
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【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AC′D为等边三角形是解题关键．
　
26．（2013 昭通）如图，在菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．
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【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据菱形的性质可得ND ( http: / / www.21cnjy.com )∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
∵点E是AD中点，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，
，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）AM=1．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四边形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠DMA=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=AD=1．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．
　
27．（2015 玉林） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
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【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．
【解答】解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB==4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，
解得x=，
∴AQ=．
（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=QC，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF=DC=，
∴ME=，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．
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【点评】本题考查了矩形的性质，三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键．
　
28．（2015 乐陵市 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　AH=AB　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
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【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】证明题；压轴题；探究型．
【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB，
（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，
（3）分别沿AM、AN翻折△AMH ( http: / / www.21cnjy.com )和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．
【解答】解：（1）如图①AH=AB．
（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∴∠EAM=∠NAM=45°，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM．
∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH．
（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．
设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2
∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）
解得x1=6，x2=﹣1．（不符合题意，舍去）
∴AH=6．
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【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．
　
29．（2014 曲靖模拟）（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．
（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．
（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．
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【考点】正方形的性质；三角形的面积．
【专题】压轴题．
【分析】（1）三角形的面积为×底×高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解．
（2）正方形ABCD的面积加上以CD为长CE为宽的长方形的面积减去△ABD，△BEF，△DGF的面积即可求出解．
（3）两个正方形的面积减去△ABD，△BEF，△GDF的面积可求出解．
【解答】解：（1）三角形DBF的面积：×3×3=．（2分）
（2）三角形DBF的面积：32+3×1﹣×3×3﹣（3+1）×1﹣×2×1=．
（3）三角形DBF的面积：a2+b2﹣ a a﹣（a+b） b﹣（b﹣a） b=．（2分）
结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与b无关．
【点评】本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到．
　
30．（2014 云阳县校级模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．
（1）若OF=4，求FG的长；
（2）求证：BF=OG+CF．
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【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；
（2）在BF上截取BH=CF，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )OH．通过条件可以得出△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，从而得出OG∥FH，OH∥FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．
【解答】（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF=∠ECF．
∵OC=CG，CF=CF，
∵在△OCF和△GCF中，
，
∴△OCF≌△GCF（SAS）．
∴FG=OF=4，
即FG的长为4．
（2）证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠OCB=180°﹣∠BOC﹣∠DBC=45°．
∴∠OCB=∠DBC．
∴OB=OC．
∵BF⊥CF，
∴∠BFC=90°．
∵∠OBH=180°﹣∠BOC﹣∠OMB=90°﹣∠OMB，
∠OCF=180°﹣∠BFC﹣∠FMC=90°﹣∠FMC，
且∠OMB=∠FMC，
∴∠OBH=∠OCF．
∵在△OBH和△OCF中
，
∴△OBH≌△OCF（SAS）．
∴OH=OF，∠BOH=∠COF．
∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，
∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．
∴∠OHF=∠OFH=（180°﹣∠HOF）=45°．
∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．
∵△OCF≌△GCF，
∴∠GFC=∠OFC=135°，
∴∠OFG=360°﹣∠GFC﹣∠OFC=90°．
∴∠FGO=∠FOG=（180°﹣∠OFG）=45°．
∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．
∴OG∥FH，OH∥FG，
∴四边形OHFG是平行四边形．
∴OG=FH．
∵BF=FH+BH，
∴BF=OG+CF．
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【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．