第2课时 用计算器求算术平方根及其大小比较
1．会比较两个数的算术平方根的大小；(重点)
2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识；(难点)
3．会用计算器求一个数的算术平方根．
一、情境导入
请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．
因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a2＝2，那么a是多少？这个数是多大呢？
二、合作探究
探究点一：算术平方根的估算
【类型一】 估算算术平方根的大致范围
估算－2的值( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
解析：因为42<19<52，所以4<<5，所以2<－2<3.故选B.
方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 确定算术平方根的整数部分与小数部分
已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
解析：本题综合考查有理数与 ( http: / / www.21cnjy.com )无理数的关系．因为2<<3，所以的整数部分是2，即a＝2.是无限不循环小数，它的小数部分应是－2，即b＝－2，再将a，b代入代数式求值．
解：因为2<<3，a是eq \r(8)的整数部分，所以a＝2.因为b是的小数部分，所以b＝－2.所以(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋(－2＋2)2＝－8＋8＝0.
方法总结：解此题的关键是确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型三】 用估算法比较数的大小
通过估算比较下列各组数的大小：
(1)与1.9; (2)与1.5.
解析：(1)估算的大小，或求1.9的 ( http: / / www.21cnjy.com )平方，比较5与1.92的大小；(2)先估算的大小，再比较与2的大小，从而进一步比较与1.5的大小．
解：(1)因为5>4，所以>，即>2，所以>1.9；
(2)因为6>4，所以>，所以>2，所以>＝1.5，即>1.5.
方法总结：比较两数的大小常用方法有：① ( http: / / www.21cnjy.com )作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：用计算器求算术平方根
用计算器计算：
(1)；(2)(精确到0.001)；(3)(精确到0.001)．
解析：(1)按键：“”“1225 ( http: / / www.21cnjy.com )”“＝”即可；(2)按键：“”“36.42”“＝”，再取近似值即可；(3)按键：“”“13”“＝”，再取近似值即可．
解：(1)＝35；(2)≈6.035；(3)≈3.606.
方法总结：取近似值时要看精确到的位数的下一位，再四舍五入．
探究点三：算术平方根的实际应用
全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？
解析：(1)根据题意可知是求当t＝16时 ( http: / / www.21cnjy.com )d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．
解：(1)当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14(厘米)．
答：冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米；
(2)当d＝35时，＝5，即t－12＝25，解得t＝37(年)．
答：冰川约是在37年前消失的．
方法总结：本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．估算)
2．用计算器求一个正数的算术平方根
在解决问题的同时引导学生对解 ( http: / / www.21cnjy.com )决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值6．1 平方根
第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)
3．了解算术平方根的性质．(难点)
一、情境导入
在我校举行的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，若知道画布的边长，你能计算出它们的面积吗？若知道画布的面积，你能求出它们的边长吗？
表一
正方形的边长 1 2 0.5
正方形的面积 1 4 0.25
表一：已知一个正数，求这个正数的平方.
表二
正方形的面积 1 4 0.36 49
正方形的边长 1 2 0.6 7
表二：已知一个正数的平方，求这个正数．
表一和表二中的两种运算有什么关系？
二、合作探究
探究点一：算术平方根的概念
【类型一】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)2；(3)0.36；(4).
解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；
(2)∵()2＝＝2，∴2的算术平方根是；
(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
(4)∵＝，又∵92＝81，∴＝9.而32＝9，∴的算术平方根是3.
方法总结：(1)求一个数的算术平方根时， ( http: / / www.21cnjy.com )首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 利用算术平方根的定义求值
3＋a的算术平方根是5，求a的值．
解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.
解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.
方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
探究点二：算术平方根的性质
【类型一】 含算术平方根式子的运算
计算：＋－.
解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．
解：＋－＝7＋5－15＝－3.
方法总结：解题时容易出现如＝＋的错误．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂巩固提升”第8题
【类型二】 算术平方根的非负性
已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．
解析：算术平方根和完全平方都具有非负性，即 ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．
解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.
方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
算术平方根
让学生正确、深刻地理解算术平方根的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化第3课时 平方根
1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)
2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点)
一、情境导入
填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________；
(2)的平方等于，那么的算术平方根就是________；
(3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米．
还有平方等于9，，49的其他数吗？
二、合作探究
探究点一：平方根的概念及性质
【类型一】 求一个数的平方根
求下列各数的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
解：(1)∵1＝，(±)2＝，∴1的平方根为±，即±＝±；
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01；
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4；
(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±＝±10－3；
(5)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.
方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 利用平方根的性质求值
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和 ( http: / / www.21cnjy.com )a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题
探究点二：开平方及相关运算
求下列各式中x的值：
(1)x2＝361; (2)81x2－49＝0；
(3)49(x2＋1)＝50; (4)(3x－1)2＝(－5)2.
解析：若x2＝a(a≥0)，则x＝±，先把各题化为x2＝a的形式，再求x.其中(4)中可将(3x－1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x.
解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝±＝±19；
(2)整理81x2－49＝0，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；
(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；
(4)∵(3x－1)2＝(－5)2， ( http: / / www.21cnjy.com )∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－.综上所述，x＝2或－.
方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．平方根的概念：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±.
2．平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．
为学生提供有趣且富有数学含义的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生进行交流、讨论与探索，从中感受学习平方根的必要性
