人教版七年级下册（新）第八章《8.4 三元一次方程组的解法》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版七年级下册（新）第八章《8.4 三元一次方程组的解法》教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-16 20:06:48 | ||
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文档简介
8.4 三元一次方程组的解法
1．理解三元一次方程(组)的概念；
2．能解简单的三元一次方程组．
一、情境导入
《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中 ( http: / / www.21cnjy.com )第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．
问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？
二、合作探究
探究点一：三元一次方程组的概念
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1) ( http: / / www.21cnjy.com )方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：三元一次方程组的解法
解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
解析：(1)观察各个方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
解：(1)将①代入②、③，消去z，得解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组
解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解是
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根 ( http: / / www.21cnjy.com )据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点三：三元一次方程组的应用
【类型一】 三元一次方程组在非负数中的应用
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组解得
方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 利用三元一次方程组求数字问题
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地 ( http: / / www.21cnjy.com )用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b.如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】 列三元一次方程组解决实际问题
某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
解析：题中有三个等量关系：①上坡路 ( http: / / www.21cnjy.com )长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm.
由题意，得解得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.
方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
三元一次方程组
通过对二元一次方程组的类比学习，让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯
1．理解三元一次方程(组)的概念；
2．能解简单的三元一次方程组．
一、情境导入
《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中 ( http: / / www.21cnjy.com )第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．
问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？
二、合作探究
探究点一：三元一次方程组的概念
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1) ( http: / / www.21cnjy.com )方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：三元一次方程组的解法
解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
解析：(1)观察各个方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
解：(1)将①代入②、③，消去z，得解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组
解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解是
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根 ( http: / / www.21cnjy.com )据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点三：三元一次方程组的应用
【类型一】 三元一次方程组在非负数中的应用
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组解得
方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 利用三元一次方程组求数字问题
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地 ( http: / / www.21cnjy.com )用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b.如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】 列三元一次方程组解决实际问题
某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
解析：题中有三个等量关系：①上坡路 ( http: / / www.21cnjy.com )长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm.
由题意，得解得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.
方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
三元一次方程组
通过对二元一次方程组的类比学习，让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯