6.3.2平面向量的正交分 解及坐标表示——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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6.3.2平面向量的正交分 解及坐标表示——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．已知点，，O为坐标原点，则下列结论正确的个数为( )
①的坐标为；
②，其中，；
③线段AB的中点坐标为.
A.0 B.1 C.2 D.3
2．下列说法中正确的个数是( )
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知向量，点，则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
4．在菱形中,,,,若,则( )
A. B. C. D.
5．设平面向量,,且,则( )
A.1 B.14 C. D.
6．已知，，平面向量的坐标是( )
A. B. C. D.
7．已知点，，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是( )
A. B. C. D.
8．已知，向量，，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知，，，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是( )
A.， B.， C.， D.，
10．若，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标.现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知，，，且，则__________.
12．已知，，，若，则________.
13．已知,,,,五个点，满足：，，则的最小值为______.
14．在梯形ABCD中,,,,若,则的值为________.
三、解答题
15．平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学解题思路和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以x轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点A按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题：
（1）若，，，求向量的坐标；
（2）用向量法证明余弦定理；
（3）如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
参考答案
1．答案：C
解析：由向量的坐标表示可得，①正确；
，，所以，②正确；
AB的中点坐标为，故③错误.故选C.
2．答案：C
解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误，易知①②④正确，故选C.
3．答案：B
解析：设，则，则得所以，故选B.
4．答案：D
解析：作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设,
因为,,所以,因为,
所以,即M是的中点,
所以,,,
所以,
由题知,故,所以,所以.
故选:D.
5．答案：B
解析：因为,所以又,
则
所以,
则,
故选：B.
6．答案：D
解析：，，，即平面向量的坐标是，综上所述，答案选择：D.
7．答案：C
解析：因为点，，所以.将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，所以.
8．答案：B
解析：若向量，则，即，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B.
9．答案：B
解析：对于A：，则，
可得，不共线，则，可以作为一组基底，故A不满足题意；
对于B：，则，
可得，共线，则，不可以作为一组基底，故B满足题意；
对于C：，则，
可得，不共线，则，可以作为一组基底，故C不满足题意；
对于D：，则，
可得，不共线，则，可以作为一组基底，故D不满足题意；
故选B.
10．答案：D
解析：在基底，下的坐标为，.
设为在基底，下的坐标，则，即，解得在基底，下的坐标为.故选D.
11．答案：
解析：，，
因为，所以，解得.
12．答案：
解析：由，，，得，，
由，得，解得，则，
所以.
故答案为：.
13．答案：1
解析：因为，
所以，，，
由题意设，则，，
设，如图，因为求的最小值，
则，，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为1.
故答案为：1.
14．答案：0
解析：根据题意作图如下:
在中,,
,,则,
,
.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1），，，则，
.
（2）设，，，，
，
所以，
同理可得，.
（3）设，又，，则，，
由，，
，
，
得，，
所以DE的中点坐标为.
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