6.4.1 平面几何中的向量方法——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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6.4.1 平面几何中的向量方法——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的( )
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
2．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形中，，，中点为E，则的值为( )
A. B. C.4 D.2
3．如图，矩形中，，，与相交于点O，过点A作，垂足为E，则( )
A. B.3 C.6 D.9
4．在中,,D点是AB边上的中点,,,则的值为( )
A.-14 B.-6 C.14 D.-12
5．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折.将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．若非零向量与满足，且，则为( ).
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形
7．对于任意非零向量，，，若，在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
8．若向量a，b满足，，，则( )
A.2 B. C.1 D.
9．已知向量，，，且，则实数k的值为( )
A. B.0 C.3 D.
10．P是所在平面内一点,满足,则的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
二、填空题
11．在直角中，，，，平面ABC内动点P满足，则的最小值为__________.
12．如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,DC边上,且,,若,,,则______.
13．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为__________.
14．已知线段AB经过半径为12的圆的圆心C,且,,若D,E为此圆上的两个动点,则的取值范围为________.
三、解答题
15．如图所示，在中，，，点D在线段BC上，且.
（1）求AD的长；
（2）求的大小.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
，
，因此，点P的轨迹经过的垂心，
故选：D.
2．答案：D
解析：因为在黄金矩形中，，，
所以，故，
而，，
所以.
故选：D.
3．答案：B
解析：，
.
故选：B.
4．答案：A
解析：以C为原点,建立如图所示的直角坐标系,
则,,,
所以,,
所以.
故选：A.
5．答案：B
解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设点，易知以AD为直径的左半圆的方程为，
以BC为直径的右半圆的方程为，所以点P的横坐标x的取值范围是.又因为，，所以.故选B.
6．答案：D
解析：由，知，
中，的平分线与边BC垂直，.
又，.
，，为等边三角形，故选D.
7．答案：D
解析：由题意得，在上的投影为，
同理，在上的投影为，
因为任意非零向量，在上的投影向量互为相反向量，
所以，在上的投影互为相反数，
所以，则，即.
故选：D.
8．答案：B
解析：，，，，，，，.故选B.
9．答案：C
解析：，又，，即，解得.故选C.
10．答案：B
解析：P是所在平面上一点，
且，
即,
两边平方并化简得，，，
即是直角三角形.
故选：B.
11．答案：
解析：由题可知点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
，
，
，，又向量是长度为的一个向量，
由此可得，点P在圆C上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.
12．答案：-24
解析：因为,,
所以,,,
因为,,,
所以.
故答案为：-24.
13．答案：
解析：由，得，即，因为，，所以，所以.又，所以向量与的夹角为.故答案为.
14．答案：
解析：构建如下图示,以C为原点的直角坐标系,且,,
由圆的半径为12,
要使最小,需要至少保证,反向共线,
而时恰好满足要求,故最小值为;
要使最大,需要至少保证,同向共线,如上图,
所以,只需保证最大即可,
由于是中点,此时圆心到的距离相等,如上图,
所以直线与圆相交弦长相等,即,
根据圆的对称性知,故,
由,则,故,
所以,即最大值为108;
综上,
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，则.
，.
（2）设，则向量与的夹角为.
，，即.
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