6.4.3.3.余弦定理、正弦定理应用举例——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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.余弦定理、正弦定理应用举例——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．一电线杆CD位于某人的正东方向上,某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为45°,此人往电线杆方向走了10米到达点B,测得电线杆顶端C的仰角为60°,则电线杆CD的高度约为( )米（,忽略人的身高）
A.22.66 B.23.66 C.24.66 D.25.66
2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为45°，，则两山顶A、C之间的距离为( )
A. B. C. D.
4．在,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C..等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
5．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则( )
A. B. C. D.
6．在中，，，，则的面积是( )
A. B. C.或 D.或
7．如图所示，为了测量山高，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，，从C点测得.已知山高，则山高（单位：m）为( )
A. B. C. D.
8．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.在中,
B.在中,若,则为等腰三角形
C.中,是的充要条件
D.在中,若,则
10．在梯形ABCD中，，，，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
11．邯郸丛台又名武灵丛台,相传始建于战国赵武灵王时期,是赵王检阅军队与观赏歌舞之地,是古城邯郸的象征.如图,某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB,选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得,,米,在点D处测得丛台台顶的仰角为,则丛台的高度为______米（结果精确到0.1米,取,）.
12．甲船在B岛的正南方向A处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为________千米.
13．已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为_________.
14．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,为锐角,的外接圆半径为,且满足,则边a等于______.
四、解答题
15．现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出所有可能的三角形的面积.
（2）如图，在平面凸四边形中，，，，.
①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值.
②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.
16．已知在中，，.
（1）求；
（2）设，求AB边上的高.
参考答案
1．答案：B
解析:设,
在中,,所以,
在中,,所以,
因为,所以,即米
故选:B.
2．答案：D
解析：,,
,
,
或,或,
故选:D.
3．答案：B
解析：过A作，垂足为F，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
在直角三角形中，，
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：根据正弦定理边角互化得,
所以,
所以,
所以,即,
所以或,
所以或,即的形状是等腰或直角三角形.
故选：D.
5．答案：A
解析：由余弦定理可得：，，
由条件及正弦定理可得：
，
所以，则.
故选：A.
6．答案：C
解析：由，，及正弦定理，得.由角C为三角形的内角可知或.因此或.在中，由，，或，得面积或.
7．答案：A
解析：在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
8．答案：B
解析：由余弦定理可得.
故选：B.
9．答案：AC
解析：由正弦定理
可得:
即成立,
故选项A正确;
由可得或,
即或,
则是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误;
在中,由正弦定理可得
,
则是的充要条件,
故选项C正确;
在中,若,则或,
故选项D错误.
故选:AC.
10．答案：ABD
解析：中，，，
则，，由正弦定理知，
即，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，故C错误；
，
故，，故D正确.
11．答案：26.4
解析：在中,,,则米.在中,,则米.
12．答案：
解析：设甲、乙两船相距最近时，甲、乙分别行至C、D处，如图所示，则，
设，则，
在中，由余弦定理知，
当时，取得最小值75，即取得最小值，
所以甲、乙两船的最近距离为千米.
故答案为：.
13．答案：或
解析：设，，，则，.
在中，；在中，.
因为，所以，
所以，整理①.因为，所以.
在中，，即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立.
14．答案：
解析：设三角形外接圆的半径为R,则,
即,可得,
又因为角C为锐角,所以,
因为,即,
因为,所以,即,
因为,所以,
所以,解得,在中,由正弦定理得,
即,解得.
故答案为:.
15．答案：（1）答案见解析；
（2）①，；②存在，
解析：（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为，3，4和2，，4，
当三角形三边为，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.
当三角形三边为2，，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.
（2）①连接BD，由余弦定理知，，
，，
∴，
∴.
又，
.
又，
.
.
故
，
当且仅当时，，取得最大值，
此时，，
，，，，.
②把绕A逆时针旋转60°，如图，则，，连接.
为等边三角形，则，，，，
（当且仅当，，P，B共线时取得最小值），
此刻，
最小值为.
16．答案：（1）
（2）AB边上的高为6
解析：（1）在中，，
因为，所以，所以.
因为，
所以，
展开并整理得，
得，
又，且，
所以.
（2）由正弦定理得，
得，
由余弦定理得，
则，
整理得，
解得或，
由（1）得，，所以，
又，所以，
即，所以，所以，
设AB边上的高为h，则，
即，解得，
所以AB边上的高为6.
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