7.3 复数的三角表示——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
7.3 复数的三角表示——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．复数的辐角主值是( )
A. B. C. D.
2．已知：棣莫弗公式（i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．已知，，则( )
A. B. C. D.
4．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的( )
A.辐角唯一 B.辐角主值唯一
C.辐角主值为 D.辐角主值为
5．已知，则( )
A. B. C. D.
6．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，( )
A.1 B.0 C.-1 D.
7．复数的三角形式为( )
A. B.
C. D.
8．任意复数（、，i为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.若，则有
B.若，，则
C.若，则
D.设，则在复平面上对应的点在第一象限
10．已知i是虚数单位，下列说法正确的是( )
A.已知，若，，则
B.复数，满足，则
C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D.复数z满足，则
三、填空题
11．已知为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为______.
12．已知复数，则__________.
13．复数的辐角主值为__________.
14．欧拉公式（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.试用欧拉公式计算______.
四、解答题
15．设.
(1)求证：
(2)求证：
(3)在复数范围内，解方程
16．已知复数,的实部分别为，,虚部分别为，,其中.
（1）求的取值范围；
（2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：，
，，
辐角主值，
故选：D.
2．答案：B
解析：由，
所以，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，
所以，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．答案：D
解析：
.
故选：D.
4．答案：B
解析：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值.
故选：B.
5．答案：B
解析：
所以，
故选：B
6．答案：C
解析：因为，
所以.
故选：C.
7．答案：C
解析：因为，所以，辐角为，所以复数的三角形式为，
故选：C.
8．答案：A
解析：复数，因此，复数的辐角主值为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：对于A，，故A正确；
对于，
由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，
所以的辐角是复数z的辐角的n倍，模是，故C正确；
对于，
，所以，故B错误；
对于，
设，故，
故复数在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：对A，虚数不能比较大小，可知A错误；
对B，根据共轭复数的定义知，当时，，
则，故B正确；
对C，因为复数z满足，
则复数在复平面上对应的点到，两点间的距离相等，
则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，
即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；
因为，
则，
又，
故D正确，
故选：BCD.
11．答案：
解析：因为复数是纯虚数，
所以，解得，
所以，即z的虚部为，
故答案为：.
12．答案：
解析：
所以，
所以.
故答案为：
13．答案：
解析：
所以复数的辐角主值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题设，
所以，则.
故答案为：.
15．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)或或
解析：(1)因为
所以
(2)因为
所以
所以
(3)
令则
故故
故
故或或
16．答案：（1）
（2）不能，理由见解析
解析：（1）由复数,的实部分别为，,虚部分别为，,
可得，,,
可得，
因此的取值范围是.
（2）因，,,
所以，
因此，且，
化简得，即，可得，
此时，,,故不能为纯虚数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)