深圳市中考备考百师助学培优课程——第8讲：用平行线解函数中三角形面积问题 课件

(共17张PPT)
利用平行线解决函数中的
三角形面积问题
罗湖区中考备考“百师助学”课程第八讲
罗湖外语初中学校 黄永稳
1.利用平行线转换三角形面积，进而解决问题；
2.体会数学中的数形结合思想、转化思想等，提高综合解决问题能力。
学习目标
知识铺垫1
知识铺垫1
知识铺垫2
b1
b2
y=kx+b1
y=kx
y=kx+b2
一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行则可以推出k1=k2
反之若k1=k2则可推出一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行，其中b1≠b2.
模块一 利用平行转换面积
例题精讲：1. 如图，已知二次函数y＝﹣ x2+ x+4的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B（-2，0）和点C（8，0），连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积等于5时，求此时点N的坐标；
H
解题思路：
1、连接MC，∵NM∥AC，∴S△AMN=S△CMN
把S△AMN转化为S△CMN
2、作OH⊥于x轴交于点H，设未知数表示CN、
MH的长。
3、列方程、解方程、作答
模块一 利用平行转换面积
例题精讲：1. 如图，已知二次函数y＝﹣ x2+ x+4的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B（-2，0）和点C（8，0），连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积等于5时，求此时点N的坐标；
H
解：连接MC，作MH⊥BC交BC于点H，设NC=m，
∵B（-2，0），C（8，0）∴BC=10
∵MN∥AC，∴∠MNB=∠ACB，∠MBN=∠ABC
∴
模块一 利用平行转换面积
学生练习：1、已知：如图，抛物线y＝x2+4x+3交x轴于E、F 两点，交y轴于A点，若Q为抛物线上一点，连接QE，QA，设点Q 的横坐标为t（t＜﹣3），△QAE的面积为S，求S与t函数关系式；
P
点拨：过点Q作PQ∥AE交y轴于点P，连接PE。则S△QAE=S△PAE
模块二：同底三角形面积比问题
典例精讲：例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y＝-x2+2x+3与交x轴于点A，与y轴交于点C．点M的坐标为（4，-5），在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等（即S△PMC：S△AMC=1：1）？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解题思路：
1、求出A、C坐标和直线MC表达式
2、过点A作AB∥MC，利用直线MC的k值和点A坐标求出直线AB的表达式
3、分情况讨论：a、当点P在AC的上方时，联立直线AB表达式和二次函数组成方程组，求出两函数交点P的坐标。
4、分情况讨论：b、当点P在AC的下方时利用平移表示出点P所在的直线，联立二次函数进而解决点P的坐标。
P1
B（0，6）
P2
P3
Q
E
F
P1
B（0，6）
P2
P3
解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0），当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）
设直线CM的解析式为y＝mx+n，
把C（0，3），M（4，﹣5）代入得m＝﹣2，n＝3，
∴直线MC的解析式为y＝﹣2x+3，
∵△PMC的面积与△AMC的面积相等，
∴AP∥MC，
设AP的解析式为y＝﹣2x+p，
把A（3，0）代入得p＝6，
∴AP的解析式为y＝﹣2x+6，
解方程组
得
或
∴此时P点坐标为（1，4）
直线AP的解析式为y＝﹣2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∵6﹣3＝3，
把直线CM向下平移3个单位得到y＝﹣2x，
得
或
解方程
模块二：同底三角形面积比问题
典例精讲：例2. 如图，抛物线y＝﹣ x2+3x+8与x轴交于点A、B点，与y轴交于点C点，P是抛物线上第一象限上的动点，连接PB，PC，
当 时，求点P的坐标．
D
M
N
E
P1
P2
解题思路：
1、根据抛物线的表达式，求出点A、B、C的坐标以及BC的表达式。
2、过点A作AD平行于BC交y轴于点D，求出CD的长。
4、联立方程，求出点P的坐标
3、在y轴上点C的上方截取CE= CD，过点E作EP平行于CB
模块二：同底三角形面积比问题
D
M
N
E
P1
P2
解：把x=0和y=0分别代入二次函数表达式得
A（-2，0），B（8，0）， C（0，8）
进而求得BC：y＝﹣x+8
作AD//BC，交y轴于D，求得AD：y＝﹣x-2，
∴点D（0，-2） CD=10，
在C点上方截取CE=6，过E作EP//BC,
交抛物线于点P，则P为所求的点
PE：y＝﹣x+14，
联立方程组，
可得点P的坐标为P1（2，12）或P2（6，8）
模块三 利用相切解决面积最值问题
例题精讲1、如图，在平面直角坐标系内抛物线 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．在点P的运动过程中，是否存在点P使得△AEP的面积最大，若存在，请求出点P的坐标．
解题思路：1、平移直线AE使得AE与抛物线相切，平移后的直线与抛物线的交点为P点，则此时△AEP的面积最大
2、联立方程，利用根的判别式求出P点坐标的横坐标，进而求出点P的坐标。
模块三 利用相切解决面积最值问题
M
N
模块三 利用相切解决面积最值问题
学生练习：2．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝ （k为常数，且k≠0）的图象交于A、B两点．点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．
点拨：1、平移直线AB使得平移后的直线与第三象限的双曲线相切，平移后的直线与抛物线的交点则为P点，此时△PAB的面积最小
2、联立方程组，利用根的判别式求出平移后直线的表达式，进而求出点P的坐标。
P
二次函数面积问题
转移面积
课堂小结
面积比
转为水平线段比
转为铅垂线段比
面积最值
直线与曲线相切
转为边与x轴或y轴平行或重合的三角形的面积
祝同学们中考旗开得胜！！