罗湖区中考备考“百师助学”课程第17讲
《45度角问题处理策略——构造半角模型》
—— 段玲
自主学习单
（答案详解）
模块一： 45度角问题一
一、例题精讲
例题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
【解答】解：如图，在AD上取点M使得AM=AB=2，过点M 作MN垂直BC于点N，与AF 交于点G ，连接EG .
则由“半角模型常用结论”得EG=BE+MG.
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==1,
设EG＝x，则GN＝2﹣x，EG＝x+1，
Rt△ENG中，由勾股定理得
解得x=
∵∠FAD＝∠GAM，∠D＝∠AMG＝90°
∴△ADF∽△AMG
∴
∴ ，∴ DF=2
在Rt△ADF中，由勾股定理得AF==
例题2．在平面直角坐标系中，四边形OCNM为矩形，如图，M点坐标为（m，0），C点坐标为（0，n），已知m，n满足．S，G，R，H分别为OC，OM，MN，NC上一点，SR，HG交于点D．若∠SDG＝135°，，则RS＝ 。
【解答】解：∵，
又∵≥0，|5﹣m|≥0，
∴n﹣5＝0，5﹣m＝0，
∴ n＝m＝5．
如图，过C作CE∥SR，在x轴负半轴上取一点E′，使OE′＝EN，得 CSRE，且△CEN≌△CE′O，则CE＝SR，
过C作CF∥GH交OM于F，连接FE，得 CFGH，则CF＝GH＝，
∵∠SDG＝135°，
∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，
∴∠FCE＝∠SDH＝45°，
∴∠NCE+∠OCF＝45°，
∵△CEN≌△CE′O，
∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，
∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，
∴∠E′CF＝∠FCE，
∵CF＝CF，
∴△E′CF≌△ECF（SAS），
∴E′F＝EF
在Rt△COF中，OC＝5，FC＝，
由勾股定理得：OF＝＝，
∴FM＝5﹣＝，
设EN＝x，则EM＝5﹣x，FE＝E′F＝x+，
则（x+）2＝（）2+（5﹣x）2，
解得：x＝，即EN＝，
由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴SR＝CE＝．故答案为．
二、跟进练习
1．（2021.宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，
∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，
∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，
在△CPH和△CPN中，
，
∴△CPH≌△CPN（AAS），
∴NP＝PH，CH＝CN＝4，
∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN＝CB＝4，
∴四边形BCNM是正方形，
∴MN＝BM＝4，
∴EM＝2，
∵EP2＝EM2+PM2，
∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DCF＝，
∴，
∴DF＝2，故选：A．
2.如图，边长为3的正方形ABCD中，E、F、G分别是边AB、CD、BC上的点，EF与AG相交于点O，且∠AOE＝45°，EF＝，线段AG的长为 ．
【解答】解：如图，过点A作AH∥EF交CD于点H．
∵AE∥FH，AH∥EF，
∴四边形AHFE是平行四边形，
∴AH＝EF＝，
∵AD＝CD＝3，∠D＝90°，
∴DH＝＝＝1，
∴CH＝CD﹣DH＝3﹣1＝2，
设BG＝x，则由“半角模型常用结论”得GH＝DH+BG＝1+x，CG＝3﹣x，
∵∠HCG＝90°，
∴22+（3﹣x）2＝（x+1）2，
∴x＝，
∴BG＝，
∴AG＝＝＝．
3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，线段DM的长为 ．
【解答】解：如图，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由“半角模型常用结论”得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝2，即DM的长是2．
4.如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF＝1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与O、F不重合），且∠GPE＝45°，设AG＝m，求m的取值范围．
【解答】解：如图1，点H与点C重合，作CK∥EF，交AB于点K，连结GK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∴EK∥CF，
∴四边形EKCF是平行四边形，
∴AE＝CF＝EK＝1，
∴AK＝2，BK＝5﹣2＝3，
∵CB＝CD，∠GCK＝∠GPE＝45°＝∠BCD，
∠BCD+∠A＝180°， 图1
∵AG＝m，
∴DG＝5﹣m，
∴由“半角模型常用结论”得GK＝BK+DG＝3+5﹣m＝8﹣m，
由AK2+AG2＝GK2，得22+m2＝（8﹣m）2，解得m＝，
∴m的最大值为；
如图2，点P与点O重合，则∠GOE＝45°，
过点O作MN∥BC，交AB于点M，交CD于点N，
则MN∥BC∥AD；
过点O作OQ∥AB，交AD于点Q，则OQ∥AB∥CD， 图2
∵OE＝OF，
∴，
∴AQ＝DQ＝AD＝，OM＝ON，
∵∠AMN＝∠B＝90°，∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM＝DN，
∴BM＝CN，
∵∠EOM＝∠FON，OE＝OF，OM＝ON，
∴△EOM≌△FON（SAS），
∴EM＝FN，
∴AM＝AE+EM＝CF+FN＝CN，
∴AM＝BM＝AB＝，
∵AQ＝AM，∠AQO＝∠D＝90°，∠A＝∠AMO＝90°，
∴四边形AMOQ是正方形，
∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°，
∴∠GOE＝∠MOQ，∠A+∠MOQ＝180°，
∵EM＝﹣1＝，GQ＝﹣m，
∴由“半角模型常用结论”得EG＝EM+GQ＝+﹣m＝4﹣m，
由AE2+AG2＝EG2，得12+m2＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴m的取值范围是＜m≤．
模块二： 45度角问题二
例题精讲
例题1.如图四边形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°，
AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，
且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．
∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD＝45°
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADE＝90°，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，
设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2， a＝1，
∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，
∴BG＝BE＝，
∴S△ABE＝S△ABG
＝××4
＝．
例题2．如图，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，
求S△AEF．
【解答】解：如图，将△AEG沿AE折叠得到△AEB，
将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
∴AD＝AG＝AB，∠D＝∠AGF＝90°，∠B＝∠AGE＝90°，
∠DAF＝∠GAF，∠BAE＝∠GAE，
∵∠EAF＝45°＝∠FAG+∠GAE，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠DAB＝45°+45°＝90°，
即∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴四边形ABCD是正方形．
由折叠知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE＝EG＝3，DF＝FG＝2，
∵EF＝5，
设AG＝x，则AB＝BC＝CD＝AG＝x，CE＝CB﹣BE＝x﹣3，CF＝x﹣2．
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52．
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）．
∴AG＝6．
∴△AEF的面积＝EF AG＝×5×6＝15．
跟进练习
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．CE的长度为 ．
【解答】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，
，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，
即∠ABE＝∠ABG＝45°，
在△ABE与△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE＝10，
设CE＝x，则AM＝10﹣x，
AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；
解得：x1＝4，x2＝6．
故CE的长为4或6．
2．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于点F，连接AF．求证：∠EAF＝45°．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0）、点B的坐标为（b，0）且a，b满足|a﹣4|+（b+6）2＝0，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝45°．
①a＝ ，b＝ ；
②求点C的坐标；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△ABE沿AE翻折得△AHE，
∴AH＝AB，∠HAE＝∠BAE，∠AHF＝∠AHE＝∠B＝90°，
∴AH＝AD，∠AHF＝∠D，
∵AH＝AH，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF＝∠HAF，
∵∠BAE+∠HAE+∠HAF+∠DAF＝90°，
∴2∠HAE+2∠HAF＝90°，
∴∠HAE+∠HAF＝45°，
∴∠ACB＝45°；
（2）解：①由题意得，
，
∴a＝4，b＝﹣6，
②如图1，
分别作△BOC和△AOC的关于CB和AC的对称△BDC和△AEC，延长DB和EA相交于点F．
∴∠D＝∠BOC＝90°，∠E＝∠AOC＝90°，CD＝OC＝CE，BD＝OB＝6，AE＝OA＝4，
∠BCD＝∠BCO，∠ACE＝∠ACO，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴四边形CEFD是矩形，
∴矩形CDFE是正方形，
∴∠F＝90°，
∴BF2+AF2＝AB2，
设DF＝EF＝x，则BF＝x﹣6，AF＝x﹣4，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，
∴x1＝12，x2＝﹣2（舍去），
∴OC＝CD＝DF＝12，
∴C（0，12）.
模块三：隐含45度角问题
一、例题精讲
例题1 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上，AE=1．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，则CG的长为 ．
【解答】解：如图，延长EF与CD交于点H，连接BH；延长BF，与AD交于点M，与CD的延长线 交于点N
由折叠可知，AB=FB=3，AE=FE=1，∠BAE＝∠BFE=90°，
∴DE=3
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝BF＝3，∠ABC=∠BCH=90°，
由勾股定理得，AC=
又∵BH为公共边
∴Rt△BFH≌Rt△BCH（HL），
∴CH＝FH
设CH＝FH＝x，
∴HD＝3﹣x，EH＝1+x，
∴在Rt△DEH中，
解得x＝，即CH＝FH＝，DH=
在Rt△NHF和Rt△EHD中，
∵FH=DH= ，∠NHF＝∠EHD，∠NFH＝∠EDH=90°
∴△NHF≌△EHD
∴NH=EH= ，CN=CH+NH=4
∵CN∥AB
∴∠N＝∠GBA，∠NCG＝∠BAG
∴△NCG∽△BAG
∴，
∴CG==
例题2如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上且EF⊥AB，AE＝2EB．将一个量角器摆放在矩形中，使它的0°线MN与EF重合，半圆与BC相切，现将该量角器绕点F顺时针旋转（如图2所示），使得它的半圆与EF交于点P，过点M作GH⊥MF，分别交边AE，AD于G，H，若＝，则的值为 。
【解答】解：如图1，连O与切点H，OH⊥BC，
设半径为r，EF＝BE＝2r，
∵AE＝2EB，
∴AE＝2r，AB＝3r，
如图2，连接FG，FH，
∵EF＝MF＝DF＝2r，
又∵FG＝FG，
∴Rt△EFG≌Rt△MFG（HL），
同理，Rt△DFH≌Rt△MFH（HL），
∴MG＝EG，MH＝DH，
设MG＝EG＝x，
∵＝，
∴MH＝3x＝HD，AG＝2r﹣x，AH＝2r﹣3x，
∴（2r﹣x）2+（2r﹣3x）2＝（4x）2，
解得r＝x或r＝x（舍去），
连MP，MF是直径，
∴∠MPF＝90°，
∵∠AGH+∠MGE＝180°，∠MFE+∠MGE＝180°，
∴∠AGH＝∠MFE，
∴＝＝＝，
二、跟进练习
1.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
【解答】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵点M是BC边的中点，
∴CM＝BM＝BC＝2cm，
由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，
∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF，
设AF＝x cm，则EF＝x cm，
∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，
∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，解得：x＝，
∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，FM＝+2＝cm，
∵∠FEG＝∠DEM＝90°，
∴∠FEG＝∠B＝90°，
∵∠EFG＝∠BFM，
∴△FGE∽△FMB，
∴＝，即＝，
∴FG＝cm，故答案为：．
2．如图，正方形ABCD边长为6，点E为BC边中点，沿直线DE折叠，点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接BF，则△BEF的面积为 ．
【解答】解：连接GD，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
根据折叠可知DC＝DF，∠C＝∠DFE＝90°，
∴AD＝DF，∠A＝∠DFG＝90°，
又GD＝GD，
∴△AGD≌△FGD（HL），
∴AG＝GF，
设AG＝GF＝x，则BG＝6﹣x，
∵正方形ABCD边长为6，点E为BC边中点，
∴BE＝EC＝EF＝3，
在Rt△GBE中，GE＝EF+FG＝3+x，BE＝3，
∴GE2＝BE2+BG2，
即（3+x）2＝（6﹣x）2+32，解得：x＝2，
∴GB＝6﹣2＝4，GE＝2+3＝5，
∴，
故答案为：．
3．如图1，已知一个量角器的直径MN与正方形ABCD的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧与边BC交于点P，过点M作GH⊥MN，交边AB，AD于G，H．在量角器绕点C顺时针旋转的过程中，若的度数为60°，则的值为 ．
【解答】解：如图1，连接CH，CG，
在Rt△CGM和Rt△CGB中，
∴Rt△CGM≌Rt△CGB（HL），
∴GM＝BG，
在Rt△CHM和Rt△CHD中，
，
∴Rt△CHM≌Rt△CHD（HL），
∴MH＝DH，∠DCH＝∠MCH，
∵的度数为60°，
∴∠MCP＝30°，
∴∠MCD＝60°，
∴∠DCH＝∠MCH＝30°，
∴CD＝DH，
设HD＝MH＝x，则CD＝x＝AB，
∴AH＝x﹣x，
∵AG2+AH2＝GH2，
∴（x﹣GM）2+（x﹣x）2＝（x+GM）2，
∴GM＝（2﹣3）x，
∴＝＝2﹣3.
4．（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 度；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，
则①∠AEF＝ 度；
②若AB＝，求线段AP的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE＝1，AB＝a，则＝ ．（用含a、n的代数式表示结果）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠得：∠BAE＝∠EAM，∠DAF＝∠FAM，
∴∠EAF＝∠EAM+∠FAM＝×90°＝45°，
故答案为：45°；
（2）①如图2，由折叠得：∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠CEF＝∠AEB，
∵∠AEF+∠AEB+∠CEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，故答案为：60；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴∠BAE＝∠EAM＝30°，
∵AB＝BC＝，
∴BE＝1，AE＝2，
∴EN＝EC＝﹣1，
∴AN＝AE﹣EN＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
Rt△ANP中，cos30°＝＝，
∴AP＝2﹣2；
（3）解：如图3，延长EM交AF于点P，过点P作HN⊥AD于N，
∵将矩形纸片沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，
∴AB＝AM＝a，∠PAM＝∠PAN，BE＝EM＝1，∠B＝∠AME＝90°，
在△APM和△APN中，
，
∴△APN≌△APM（AAS），
∴NP＝PM，AN＝AM＝a，
∵∠B＝∠BAN＝90°，HN⊥AD，
∴四边形ABHN是矩形，
又∵AN＝AB，
∴四边形ABHN是正方形，
∴HN＝BH＝a，
∴EH＝a﹣1，
∵EP2＝EH2+PH2，
∴（1+NP）2＝（a﹣1）2+（a﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DAF＝＝，
∴＝，
∴DF＝，
∴＝＝．
故答案为：．罗湖区中考备考“百师助学”课程第17讲
《45度角问题处理策略——构造半角模型》
—— 段玲
自主学习单
知识梳理
在初中几何中，45°角是一个比较特殊的角，以45°角为载体的中考题层出不穷。构造正方形半角模型(下文简称半角模型)，是初中平面几何中处理有关45°角的问题的常见基本构图之一。半角模型蕴含很多优美的结论，熟练掌握半角模型常见的结论和证明方法、能添加适当的辅助线构造半角模型、体会研究几何图形的方法，都有助于提高学生的解题能力。
1、半角模型原理 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=∠BAC，则可将△ABD绕点A旋转至△ACE处，使得AB和AC重合，连接EF，（如图2）,进而可得△AED ≌△AEF. （共顶点、等线段，见了半角作旋转）
图1 图2
2、正方形内半角模型的部分常用结论
(1)如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、AF、EF。利用半角模型研究原理（如图4），则有以下结论成立：
①△AEG ≌△AEF②BE+DF=EF； ③∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AFD
图3 图4 图5
进一步可推出：
如图5，若AH⊥EF于点H，则
①△ABE ≌△AHE，△ADF ≌△AHF,，AH=AB
②点A、B、E、H四点共圆，点A、D、F、H四点共圆
③∠BAH=∠CEF，∠DAH=∠CFE
二、学习过程
模块一： 45度角问题一
一、例题精讲
例题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
例题2．在平面直角坐标系中，四边形OCNM为矩形，如图，M点坐标为（m，0），C点坐标为（0，n），已知m，n满足．S，G，R，H分别为OC，OM，MN，NC上一点，SR，HG交于点D．若∠SDG＝135°，，则RS＝ 。
二、跟进练习
1．（2021.宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．2 B． C． D．3
2.如图，边长为3的正方形ABCD中，E、F、G分别是边AB、CD、BC上的点，EF与AG相交于点O，且∠AOE＝45°，EF＝，线段AG的长为 ．
3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，线段DM的长为 ．
4.如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF＝1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与O、F不重合），且∠GPE＝45°，设AG＝m，求m的取值范围．
模块二： 45度角问题二
例题精讲
例题1.如图，四边形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．如图，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，求S△AEF．
跟进练习
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．CE的长度为 ．
2．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于点F，连接AF．求证：∠EAF＝45°．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0）、点B的坐标为（b，0）且a，b满足|a﹣4|+（b+6）2＝0，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝45°．
①a＝ ，b＝ ；
②求点C的坐标；
模块三：隐含45度角问题
一、例题精讲
例题1 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上，AE=1．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，则CG的长为 ．
例题2如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上且EF⊥AB，
AE＝2EB．将一个量角器摆放在矩形中，使它的0°线MN与EF重合，半圆与BC相切，现将该量角器绕点F顺时针旋转（如图2所示），使得它的半圆与EF交于点P，过点M作GH⊥MF，分别交边AE，AD于G，H，若＝，则的值为 。
二、跟进练习
1.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
2．如图，正方形ABCD边长为6，点E为BC边中点，沿直线DE折叠，点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接BF，则△BEF的面积为 ．
3．如图1，已知一个量角器的直径MN与正方形ABCD的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧与边BC交于点P，过点M作GH⊥MN，交边AB，AD于G，H．在量角器绕点C顺时针旋转的过程中，若的度数为60°，则的值为 ．
4．（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 度；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，
则①∠AEF＝ 度；
②若AB＝，求线段AP的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE＝1，AB＝a，则＝ ．（用含a、n的代数式表示结果）
