罗湖区中考备考”百师助学“课程之
《反比例函数的k值问题》
周刚山
知识技能梳理
根据课程标准分析反比例函数的教学目标，核心知识为画出反比例函数的图像，根据图像和解析表达式探索并理解其性质（K>0,k<0时图像的变化），探索为行为动词，但是不够具体，可以分解为：画图，分析，交流等.反比例函数的k值对反比例函数的图像及性质起到决定作用，反比例函数的k值具有代数和几何意义，考试中常见的考察题型主要有：（1）根据图像判断k值与0的关系，根据K值与0的关系判断图像的位置，（2）k值与反比例函数的面积的关系，（3）反比例函数的K值与反比例函数图像上点的关系，（4）反比例函数有关的综合题型，但是只要考察反比例函数，就离不开对k值问题的分析，从近几年中考真题来看，考察的核心思想是让学生体会反比例函数中“数”与“形”的相互转化，模型的构建，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. 在历年的深圳中考试题中反比例函数的k值是重点考察的知识点.
概述:反比例函数与K值有关的线索
（1）反比例函数的定义：
一般地，如果两个变量、之间的关系式可以表示成的形式，那么称是的反比例函数。反比例函数的自变量不能为0.从定义发现，反比例函数也可以写成的形式.解析式隐含了反比例函数的代数意义和几何意义：
代数意义：若点P(m,n)在反比例函数上，那么必然有个等量关系：mn=k,
在画出反比例函数图像的过程中，当k>0时，图像分布在第一，三象限，当k<0时，图像分布在第二，四象限，解题技巧就是：点在反比例函数上,设（a,b），必有ab=k,反之k值已知，假设点的坐标（a,），建立点和k值的联系是解题的关键。
(4).几何意义：（面积不变性）
对于反比例函数, 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是
反比例函数的图像及性质
反比例函数
k的符号 k >0 k<0
图象 （双曲线）
位置 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在图像所在的象限内单调递减 在图像所在的象限内单调递减
面积不变性
对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形. 反比例函数与正比例函数y=kx的交点关于 原点 对称； 反比例函数与一次函数y=x+b或y=-x+b的交点关于直线y=x或y=-x 对称；
三 、反比例函数的k值核心考点
考试中常见的考察题型主要为填空题（近5年深圳中考）
考察内容：
（1）根据图像判断k值；
（2）k值与反比例函数的面积的关系；
（3）反比例函数的K值与反比例函数图像上点的关系；
（4）反比例函数中构造“K”型图求k值；
从近几年中考真题来看，考察的核心思想是让学生体会反比例函数中“数”与“形”的相互转化，模型的构建，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
本课程从简单问题入手 ，解决简单的问题，提供基本的解题思路。
本课程共分三个模块：
模块一：看图找k,数形结合
模块二：看图构型，利用结论
模块三：由“K”找k
四、学习过程
模块一 反比例函数图形与k值的关系；
典例精讲
【例题1】 . 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
B. C. D.
【例题2】. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
跟进练习
（1）.如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
3 B. 4 C. 5 D. 6
（2）.如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是______．
模块二 反比例函数的面积与k值
知识铺垫
反比例函数面积不变性与k值的主要图形
掌握上图中常见的图形结论，辅助线的作法，未知数的假设，典型模型的构造，可以较快的帮助我们解决问题.
典例精讲
【例题1】. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
4 B. 3 C. 2 D. 1
【例题2】．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
跟进练习
（1）如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数y＝（x＞0）的图象分别交BA，BC于点D，E．当AD：BD＝1：3，且△BDE的面积为18时，则k的值是（ ）
A．9.6 B．12 C．14.4 D．16
（2）.如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形间面积为6，，则k的值为_______．
模块三 由“K形图”找k值
知识铺垫
反比例函数的k值与”k”形图
图1 图2
其他特殊角，构造“一线三直角”（反比例函数背景下构造“k”形图，解决k值问题）
45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如下图；
2.tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如下图；
常见的角度有30°，45°，90°，它们分别对应构造等边三角形，等腰直角三角形相关的“k”形图.
典例精讲
【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB＝3BC，双曲线y＝（m＞0）经过A点，双曲线y＝﹣经过C点，则m的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【例题2】.
如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为(0，4），点B在x轴上，点C在反比例函
数的图像上，则点B的坐标为________________.
跟进练习
(1).如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在直线AB的左侧作正方形ABDC，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值是（ ）
﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
（2）.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，AO＝2BO，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2罗湖区中考备考”百师助学“课程之《反比例函数的k值问题》（答案详解）
模块一 反比例函数图形与k值的关系
典例精讲
【例题1】 . 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
B. C. D.
【解析】
设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】如图所示，
设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【例题2】 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
【解析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
详解】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
跟进练习
（1）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．
【详解】∵四边形是正方形，
∵
∵点为的中点，
∴
设点C的坐标为，则,
∴，
∵点C，E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
故选：B．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是______．
【解析】【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．
【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，
设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，
∴四边形HFGO的面积为，
∴，解得，
∴k=6
模块二 反比例函数的面积与k值
知识铺垫
反比例函数面积不变性与k值的主要图形
掌握上图中常见的图形结论，辅助线的作法，未知数的假设，典型模型的构造，可以较快的帮助我们解决问题.
典例精讲
【例题1】. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．
【详解】设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
故，
又∵，
即，
故，∴，故选：C．
【例题2】．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
【方法一】坐标法
解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
【方法二】k的几何意义法
由上知，S△AOC=1，
所以，k=2S△AOC=2
故答案为：2．
跟进练习
（1）如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数y＝（x＞0）的图象分别交BA，BC于点D，E．当AD：BD＝1：3，且△BDE的面积为18时，则k的值是（ ）
A．9.6 B．12 C．14.4 D．16
【解答】解：如图，过点D作DF⊥x轴于点F，过点E作EG⊥y轴于点G．
设B（4a，b），E（4a，d）．
∵AD：BD＝1：3，
∴D（a，b）．
又∵△BDE的面积为18，
∴BD＝3a，BE＝b﹣d，
∴×3a（b﹣d）＝18，
∴a（b﹣d）＝12，即ab﹣ad＝12，
∵D，E都在反比例函数图象上，
∴ab＝4ad，
∴4ad﹣ad＝12，
解得：ad＝4，
∴k＝4ad＝16．
故选：D．
（2）．如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形间面积为6，，则k的值为_______．
【解析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】设点，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，
∴CD=3a，
∵．轴，
∴BC∥y轴，
∴点B， ∴，
∵，四边形间面积为6，
∴，解得：．
模块三 反比例函数的k值与”k”形图
知识铺垫
反比例函数的k值与”k”形图
图1 图2
其他特殊角，构造“一线三直角”（反比例函数背景下构造“k”形图，解决k值问题）
45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如下图；
2.tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如下图；
常见的角度有30°，45°，90°，它们分别对应构造等边三角形，等腰直角三角形相关的“k”形图.
典例精讲
【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB＝3BC，双曲线y＝（m＞0）经过A点，双曲线y＝﹣经过C点，则m的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵A点的横坐标是2，且在双曲线y＝上，
∴A（2，2m），∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE∽△BCF，
∴＝＝＝，
∴CF＝1，BF＝，
∴C（﹣1﹣，1），
∵双曲线y＝﹣经过C点，
∴﹣1﹣＝﹣m，
∴m＝3，
故选：D．
【例题2】. 如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为(0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数的图像上，则点B的坐标为________________.
【解答】如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，
∵△ABC是等边三角形，CD⊥BA，
∴BD=AD，
设点C的坐标为，点B的坐标为（a，0），
∵A（0，4）
∴AB的中点D的坐标为
∵CD⊥AB，∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠DAE=90°
∴∠DAE=∠CDF
又∵∠ADE=∠CFD=90°
∴△DFC∽△AED（“一线三直角”模型）
∴
∴
∴整理可得 ①， ②，
由①②可得，，
解得，（舍去），
∴B
跟进练习
(1).如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在直线AB的左侧作正方形ABDC，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值是（ ）
﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．
作DF⊥x轴，交x轴于点F，作EB⊥y轴交DF于点E，
∵直线y＝﹣3x+3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），
∵BD＝BA，∠BED＝∠BOA，∠EBD＝∠OBA，
∴△BED≌△BOA（AAS），
∴BE＝BO＝3，ED＝OA＝1，∴DF＝2，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴2＝，得k＝﹣6，
（2）.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，AO＝2BO，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2
解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC：S△BOD＝（）2，
∵AO＝2BO，
∴S△AOC：S△BOD＝4，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝×4＝2，
∴S△BOD＝×|k|＝﹣k，
∴2＝﹣4×，解得k＝﹣1．
故选：C．
