8.5.2 直线与平面平行——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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8.5.2 直线与平面平行——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为( )
A. B. C. D.
2．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；
③若外一条直线l与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
3．如图，在三棱台中，从A，B，C，，，中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是( )
A.，B，C B.，B， C.A，B， D.A，，
4．在三棱柱中,点D在棱上,满足,点M在棱上,且,点N在直线上,若平面,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是( )
A. B. C.平面 D.平面
6．如图,在直三棱柱中,点D,E分别在棱,上,,点F满足,若平面,则的值为( )
A. B. C. D.
7．如图，三棱柱中，，，，，D为中点，E为上一点，，，M为侧面上一点，且平面，则点M的轨迹的长度为( )
A.2 B. C. D.1
8．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
二、多项选择题
9．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A.
B.存在点M，使平面SBC
C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为
D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
10．如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F且,则下列结论中正确的是( )
A.
B.平面ABCD
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
三、填空题
11．设，，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，则；
④若，，，，则.
其中真命题的编号为_________.
12．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①平面平面ADE；②平面ABF；③平面平面AFN；④平面平面NCF，其中正确结论的个数是__________.
13．如图，在三棱柱中，D是BC的中点，E是上一点，且平面，则的值为___________.
14．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线，上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线有可能平行.
其中真命题有______(填序号).
四、解答题
15．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,点E,F分别为AD,PC的中点,设平面平面.
（1）证明:平面PBE;
（2）证明:;
（3）在棱AB上是否存在点N,使得平面FBD 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
16．如图，在三棱台中，平面，，，，M为中点，N为的中点，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点C到平面的距离.
参考答案
1．答案：B
解析：连接交于点D，连接，，，则平面即为平面，
因为，平面，平面，所以，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以，，
所以且，所以，
又，所以，所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：对于①，设、为平面内两条相交直线，m、n为平面内两条相交直线，
且满足，，
因为，，，所以，，同理可得，
因为a、b为平面内两条相交直线，故，①对；
对于②，设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若外一条直线l与内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，，③对.
所以，真命题的个数为2.
故选：C.
3．答案：C
解析：由于几何体是三棱台，则，又平面，平面，所以，平面，
当平面，平面平面时，由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求.
故选：C.
4．答案：D
解析：
5．答案：D
解析：对于A，E，F分别为，的中点，，与平面平行
过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，，故AB正确；
对于C，，平面，平面，平面，故C正确；
对于D，的位置不确定，与平面有可能相交，故D错误.
6．答案：C
解析：在上取一点G使得,连接CG,AG,
AG与BD交于一点F,即为所求(如图所示).
证明如下:
根据已知,,
在直三棱柱中,,且,
四边形为平行四边形,,
平面ACG,平面ACG,平面ACG
即平面ACF.
又,
,即的值为.
故选:C.
7．答案：B
解析：由题意知，，，在上取点，使得，，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又，，平面，
所以平面平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.故选：B
8．答案：D
解析：A选项，如图1，满足，，但a，b不平行，A错误；
B错误，如图2，满足，，，但a，b不平行，B错误；
C选项，如图3，满足，，，但，不平行，C错误；
D选项，若，，，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：依题意可知AB，AD，AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，设，，，，所以，所以，A选项正确.
点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，为定值，D选项正确.
易知，，，
设平面SBC的法向量为，则令，可得，又平面SBC，要使平面SBC，
则，
解得，所以存在点M，使平面SBC，B选项正确.
，
若直线OM与直线AB所成的角为，则
，
即，，无实数解，所以C选项错误.故选ABD.
10．答案：ABC
解析:因为,,,
平面,平面,所以平面,
又因为平面,所以,故A项正确;
易知,所以,且平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD,故B项正确;
如图1,连结BD交AC于G点.
图1
因为平面,平面,所以,
所以
因为,,,平面,平面,,所以平面.
所以A到平面的距离为,
所以为定值,故C项正确;
D.当,,取F为,如下图2所示:
图2
因为,所以异面直线AE,BF所成角为,,
且;
当,,取E为,如下图3所示:
图3
易知,,所以四边形是平行四边形,所以.
因为,G是AC的中点,所以.
又,,,
所以异面直线AE,BF所成角为,且,
由此可知:异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.
故选:ABC.
11．答案：①③④
解析：对于①，由面面平行的传递性可知①正确；对于②，若，，，，则或与相交，所以②错误；对于③，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以③正确；对于④，因为，，，所以，同理，由平行线的传递性可得，所以④正确.
12．答案：4
解析：由正方体的平面展开图还原几何体并连接AN，NF，FC，EB，BD，DM，如图所示.
①根据正方体的几何特点，平面BCM显然与平面ADE平行，故①正确.
②因为，，所以四边形BCNE为平行四边形，所以.又平面，平面ABF，所以平面ABF，故②正确.
③由四边形ADMF为平行四边形，得，又平面，平面BDM，故平面BDM.由四边形ANMB为平行四边形，得，又平面，平面BDM，故平面BDM.又，平面AFN，故平面平面BDM，故③正确.
④由四边形EDCF为平行四边形，得，又平面，平面NCF，故平面NCF.由四边形ENCB为平行四边形，得，又平面，平面NCF，故平面NCF.又，平面BDE，故平面平面NCF，故④正确.
则正确结论的个数是4.
13．答案：
解析：如图，连接交于点F，连接EF.
因为平面平面，平面，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为D是BC的中点，所以，所以.
14．答案：①②④
解析：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面，
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，而这两个平面位置固定不变，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，
过C点做，，，
此时，的值最小，
由题可知，，，，
，
则，
故，又，
故的最小值为，故③错误；
对于④，在正方体中易证平面，
设，则即为二面角的平面角，
又正方体棱长为1，故，，则，
由余弦定理得，故，同理，故在上必然存在一点E，使得二面角为，
即平面平面，平面EBD与平面的交线为ED，
则，过P点作BD的垂线PR，此时平面，
又平面，故，故④正确.
故答案为：①②④.
15．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）1
解析：（1）取PB的中点Q,连接QF,EQ,
因为点E,F分别为AD,PC的中点,
由题意可证得,且,,
所以,且,
所以四边形DEQF为平行四边形,所以,
而平面PBE,平面PBE,
所以平面PBE.
（2）设平面平面,
由（1）可得平面PBE,平面PCD,
所以.
（3）在棱AB上存在点N为AB的中点,连接EN,BD,
因为E为AD的中点,所以,平面FBD,平面FBD,
所以平面FBD,
此时.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）
连接，.由M，N分别是，的中点，根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，由可知，四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面.
（2）过M作，垂足为E，过E作，垂足为F，连接，.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]
过作，垂足为P，作，垂足为Q，连接，，过P作，垂足为R.由题干数据可得，，，
根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点C到平面的距离是P到平面的距离的两倍，
即点C到平面的距离是.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点C到平面的距离为h.
，
.
由，即.
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