深圳市中考备考百师助学培优课程——第10讲：求线段比问题 教学设计

罗湖区中考备考“百师助学”课程
《求线段比问题的常见解决方法》
教学设计
-----布心中学刘蕊
一、内容分析
求线段比值的考试题型，一般出现在选择题，填空题，甚至还是出现在最后一道压轴题中。所以这是一个难点和重点。
求三角形中线段的比值问题的考试题型，一般思路：
1.不需要做辅助线直接找相似三角形
2.利用平行线构造相似三角形证线段比
3.通过垂直线段构造全等或者三角形，设参数求线段比
特别是在题目条件中没有给出线段长度的前提下，很多同学感到毫无头绪，这个时候，需要引入能表示线段长度的量，即设参数。
设参数也是初中数学的常用方法，可广泛用于求线段比值，角度比值，面积比值，因为在求比值的过程中，参数通常会被消掉，使用参数，一定记得“过河拆桥”，即消参
在使用参数之前，如何想到用参数？题目条件没有线段长，却要求比值是其一，存在特殊边长之间的关连。例如等腰直角三角形，含30゜角的直角三角形等是其二，存在等量关系例如全等，对称等是其三。
教材以及学情分析
学生已经学习了相交线，平行线，三角形，四边形（主要是四边形）等图形的性质和图形的判定，积累的较为丰富的教学活动经验，空间观念逐步增强，几何直观与推理能力都得到了一定的培养，对数学思想，方法也有了初步的感悟，特别是经过有关平行线、三角形、平行四边形性质与判定的学习，合理推理能力和演绎推理能力都得到了大幅度的提高。以上都为本节课的学习打下了坚实的基础
教学重点
构造相似三角形的思路联想
设参数的思想渗透
一题多解开拓解题思维
教学难点：
构造全等或者相似三角形求线段比
综合知识点的应用
三、教学过程
模块一：作平行线构造相似三角形求线段比
这之类的题目主要思路是：1.过已知的比例节点作平行构造相似三角形
向外补齐作平行构造相似三角形
过未知的节点作平行线
知识梳理：
例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2.D为边AB上一点，连接CD.且tan∠BCD＝，E为BC中点，连接AE交CD于点F，求的值.
解法一： 过点作EM//AB交CD于点M
∴∠CEM=∠B 又∵∠C=∠C ∴ΔCEM∽ΔCBD
∴ ∴ ∴EM=
∵EM//AB ∴ ∠FEM=∠A 又∵∠EFM=∠AFD
∴ΔEFM∽ΔAFD ∴
∴
∴
解法二： 过点A作AM//BC交CD的延长线于点M
∴∠C=∠M 又∵∠BDC=∠ADM ∴ΔCBD∽ΔMAD
∴ ∴ ∴AM=6
∵AM//BC ∴ ∠C=∠M 又∵∠EFC=∠AFM
∴ΔEFC∽ΔAFM ∴ ∴
∴
解法三： 过点F作FM//BC,交AB于点M
∴∠DMF=∠B 又∵∠BDC=∠BDC ∴ΔDMF∽ΔDBC
∴ ∴
设DM=x,MF=2x
∵MF//BE ∴∠AMF=∠B ∴ΔAMF∽ΔABE
∴ ∴ ∴
又∵ΔAMF∽ΔABE ∴ ∴
∴
总结：胡乱作平行，但是从已知节点作平行线构造三角形会更加方便我们解题
跟进练习：
1.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则 的长为　　．
【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝， 解得：BN＝∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
2.在ΔABC中，AD是ΔABC的中线，点E为AB上一点.
（1）如图①，若点E是AB的中点，CE与AD交于点0，证明：AO=2OD
（2）如图②，点F为AC上一点，连接EF交AD于点0，若,
，求 的值.
【解答】
证明：过点D作DM//CE交AB于点M
∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD
∴BM=EM ∵E是AB的中点 ∴BE:EA=1:1
则AO:OD=AE:EG=2:1 ∴AO=2OD
延长CB,FE交于点M,过点D作DN//FE交AC于点N，
∴△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN
∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3
∵AF:FC=3:2=6:4, ∴FN:NC=MD:DC=3:1
∵BD=CD ∴MD:CD=MD:BD=3:1
过点B作BP//EF交AD于点于点P
∴△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO
∴MB:BD=OP:PD=2:1 ∵AO:OD=2:1=6:3 ∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1
∴AE:BE=3
3.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝　　．
【解答】
解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴＝＝，
设BC＝4a，
由＝＝得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，
∴＝＝＝．∴=
故答案为：．
模块二：通过作垂直线段求线段比
例.如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是
解法一：
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB＝，
∴x+＝105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH＝BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，
∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，
∴＝，
解法二：
过点D作DN AB于点N，过点D作DM BE，BE延长线的延长线于点M
在 ABCD中 ，CD//AB, ∴ ∠A=180°-105 °=75°
∵AD＝BD ∴∠BDA=180°-75°×2=30°
又∵DN AB ∴∠BDN==
∴ 在△BDN和△DBM中
,
∴△BDN≌△DBM（AAS）
∴MD=BN
设MD=BN=x，
在 ABCD中，AB=CD=2X
在Rt△BEM中,
∴DE=
∴
方法总结：
作垂线段的题目中，往往都暗示有特殊角：30度，45度，60度角，或者有等腰三角形，或者有三角函数或者有角平分线或者和面积有关的计算
跟进练习：
1. 如图，，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，H为AC上一点，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，直接写出＝ ．
【解答】:解法一：
解：过点C作CM AB于点M，过点C作CN DH于点N，过点D作DP AH于点P
设BC=3,AC=4,AB=5
则△BMC∽△BCA ∴ ∴
∵BC＝DC且CM AB，∴,∴
∵DP AH,∠ACB＝90°且∠A=∠A ∴△ADP∽△ABC
∴ ∴
∵∠ABC＝∠HDC ∠ABC=∠BDC ∴∠BDC =∠HDC
又∵CM AB，CN DH
∴
∵∠DHP＝∠CHN ∠DPH=∠CNH= ∴△DPH∽△CNP
∴
解法二：过点C作CE⊥CD交DH的延长线于E，过点C作CF⊥AB于F，
∴∠DCE＝∠BCA＝90°，
∵∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴∠A＝∠E，CE＝AC，
∵∠AHD＝∠EHC，
∴△ADH∽△ECH，
∴，
设AC＝CE＝4x，
∵，∠ACB＝90°，
∴BC＝3x，AB＝5x，
∴cosB＝，
∴BF＝BC＝x，
∵CB＝CD，
∴DF＝BF＝x，
∴AD＝5x﹣x﹣x＝x，
∴＝，
2．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为 ．
【解答】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，
∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，
∴△BFG为等腰直角三角形，
设BG＝FG＝a，
∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，
∴DF为△AGB的中位线，
∴DF＝a，AG＝2a，
∴AB＝a，
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴CD＝a，
∴CF＝a，
∵CF∥GB，
∴△CFE∽△BGE，
∴＝＝，
故答案为：．
3．如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，，连接DE，F是BC上一点，且∠DEF＝30°，，则＝　 　．
【解答】
解：过点F作FN⊥DE于N,延长DE,CB相交于点M
设FN=3,DN=4,DF=5;
则EN=,EF=6 ∴
设AE=，BE=2x
由8字相似△DAE∽△MBE，得, ∴
∴
∵∠M＝∠M ∠MBE=∠MNF=90°
∴△MEB∽△MNF
∴ ∴ ∴
∴ ∴
模块三：图形变换中求线段比
例.如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则＝ ．
解法一：
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C，
设CG＝a，则AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a，
在Rt△ABF中，tanB＝＝，
∴BF＝AF，
∴，
解得：或AF＝（舍去），
∴AH＝AF＝，BF＝EH＝，
在Rt△AGH中，GH＝＝＝，
∴EG＝EH﹣GH＝＝，
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即，
∴，
∴＝，
解法二：
过点G作GM⊥AE于点M,过点A作AN⊥BC于点N
设AG=3,CG=1,∴AC=AB=4
在Rt△ABN中,BN=
∴在等腰三角形ABC中，BC=2BN=2
由翻折可知
∴
在Rt△MEG中，设
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG
∴
∴
∴ ∴
∴
可得：x=1，或者x=
∵GE＜DG,∴x=1舍去
方法总结：此类问题往往含有相等的线段，相等的角，折叠后往往有相似三角形，再分别求出线段长
跟进练习：
1.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于点E，则的值为（ ）
B． C． D．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，
∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，
∴AB＝＝＝10，S△ABC＝×10×20＝100，
∵点D为斜边中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD＝5，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，
∴sin∠BCD＝sin∠DBC＝＝，
∴＝，
∴BH＝4，
∴CH＝＝＝2，
∴DH＝3，
∵将△BCD沿CD翻折得△B′CD，
∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，
∴tan∠BDC＝tan∠B'DC＝，
∴＝＝，
∴设DF＝3x，EF＝4x，
∵tan∠DCA＝tan∠DAC＝，
∴，
∴FC＝8x，
∵DF+CF＝CD，
∴3x+8x＝5，
∴x＝，
∴EF＝，
∴S△DEC＝×DC×EF＝，
∴S△CEB'＝50﹣＝，
∴＝，
故选：A．
2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 ．
【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：
设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），
∵E为OD中点，
∴E（﹣，），
设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：
，
解得，
∴直线CE解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（﹣，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，﹣），
∵H是EF中点，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案为：．
3. 如图，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，的值．
【解答】过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF＝AD＝BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝x．
∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．
∴＝．